Transcript DIARIO DEL CORSO DI TEORIA DEI GRUPPI Prima settimana

DIARIO DEL CORSO DI TEORIA DEI GRUPPI
SANDRO MATTAREI
A.A. 2014/15
Prima settimana.
Lezione di mercoled´ı 18 febbraio 2015 (un’ora)
Definizione di monoide e gruppo. Gli elementi invertibili di un monoide formano
un gruppo. Esempi: il gruppo degli elementi invertibili di un anello, in particolare,
il gruppo U (Z/nZ).
Il gruppo GLn (R) delle matrici n × n invertibili, a coefficienti in un anello
commutativo con unit`a. Caratterizzazione mediante il determinante.
Lezione di venerd´ı 20 febbraio 2015 (due ore)
Ordine di un elemento, propriet`a delle potenze.
Sottogruppi e loro laterali. Teorema di Lagrange. L’ordine di un elemento
divide l’ordine del gruppo (se finito). Applicazioni: il teorema di Eulero-Fermat;
un gruppo di ordine primo `e ciclico.
Omomorfismi. Nucleo. Sottogruppi normali. Gruppo quoziente (con i due
possibili approcci alla sua costruzione).
Il primo teorema di isomorfismo (o teorema fondamentale sugli omomorfismi).
Applicazione del primo teorema di isomorfismo: ogni gruppo ciclico `e isomorfo
a Z/nZ, per qualche intero non negativo n.
Seconda settimana.
Lezione di mercoled´ı 25 febbraio 2015 (un’ora)
Altre applicazioni del primo teorema di isomorfismo: se p `e primo esiste un unico
gruppo di ordine p, a meno di isomorfismo; l’ordine di una potenza di un elemento
di un gruppo (in due modi: usando hgi ∼
= Z/nZ, oppure usando l’endomorfismo
k
x 7→ x di hgi).
Il teorema di corrispondenza. Un gruppo ciclico di ordine n ha esattamente un
sottogruppo di ordine d per ciascun divisore d di n.
Lezione di venerd´ı 27 febbraio 2015 (due ore)
Permutazioni: notazione e decomposizione in prodotto di cicli disgiunti. Il
gruppo simmetrico Sn . Potenze e ordine di una permutazione. Interpretazione
concreta delle permutazioni: numerare gli oggetti o numerare le loro posizioni?
Scrittura di una permutazione come prodotto di trasposizioni. Segno (o parit`a)
di una permutazione. Il gruppo alterno An .
Date: Aggiornato al 24 marzo 2015.
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SANDRO MATTAREI
A.A. 2014/15
Terza settimana: nessuna lezione
Quarta settimana.
Lezione di mercoled´ı 11 marzo 2015 (un’ora)
Applicazione del segno di una permutazione al “gioco del 15”.
Elementi coniugati in un gruppo.
Il coniugio nei gruppi simmetrici. Due elementi di Sn sono coniugati se e solo se
hanno la stessa struttura ciclica. Esempi: le classi di coniugio di S3 e S4 . Cenni a
strutture cicliche, partizioni e diagrammi di Young.
Lezione di venerd´ı 13 marzo 2015 (due ore)
Azione di un gruppo su un insieme. Orbite e stabilizzatori.
Le orbite di un’azione come classi di un’opportuna relazione di equivalenza. In
particolare, le orbite di un’azione formano una partizione.
Azione indotta di un sottogruppo, o di un gruppo quoziente quando possibile.
Azioni transitive, azioni regolari.
Gli stabilizzatori di punti di una stessa orbita sono coniugati.
Il teorema orbita-stabilizzatore.
Quinta settimana.
Lezione di mercoled´ı 18 marzo 2015 (un’ora)
Esempi di azioni. Azione indotta sull’insieme delle parti, e su prodotti cartesiani.
Lezione di venerd´ı 20 marzo 2015 (due ore)
L’azione di G su se stesso per moltiplicazione a destra. Il teorema di Cayley.
Esempio: l’omomorfismo di S3 in S6 corrispondente all’azione per moltiplicazione a destra.
Nell’azione regolare, un elemento di ordine n va nel prodotto di cicli disgiunti
tutti di lunghezza n.
Qualche azione del gruppo GLn (K). L’ordine di GLn (Fq ) ricavato in vari modi
mediante le azioni.