Transcript Programma Analisi Matematica II modulo I

Programma del corso di Analisi Matematica II,
modulo: calcolo differenziale e integrale in pi`
u variabili
Corso di Laurea in Scienze Fisiche A.A. 2013-2014
Docente: Dr. Giorgia Bellomonte, [email protected]
Aula B, Lun, Mer 8:30 - 10:00, Mar 8:30-10:30
Successioni e serie di funzioni. Sviluppi in serie
Successioni di funzioni. Convergenza puntuale, assoluta e uniforme. Continuit`a del
limite uniforme di successioni di funzioni continue. Teorema d’inversione dei limiti.
Criteri di Cauchy. Teorema dello scambio limite-derivata e dello scambio
limite-integrale. Serie di funzioni. Convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale.
Criteri di Cauchy per le serie. Continuit`a della somma di una serie uniformemente
convergente di funzioni continue. Teorema d’integrazione e di derivazione per serie.
Serie di potenze. Intervallo di convergenza e raggio di convergenza. Minoranti e
maggioranti definitivi. Massimo e minimo limite. Teorema di Cauchy-Hadamard.
Teorema di d’Alembert. Teorema di derivazione e d’integrazione d una serie di
potenze. Convergenza uniforme nei compatti dell’intervallo di convergenza. Sviluppi
in serie di Taylor. Criterio sufficiente per lo sviluppo. Funzioni analitiche. Test-M di
Weierstrass. Teoremi di Abel. Teorema di Ascoli-Arzel`a.
Spazi metrici
Spazi metrici. Esempi e definizioni di base: metrica e sue propriet`a, intorni, insiemi
aperti, insiemi chiusi, unione e intersezione di aperti e di chiusi, relazioni di De
Morgan. Metrica euclidea di Rn . Topologia generata da una metrica. Disuguaglianza
di Cauchy-Schwarz. Insiemi limitati. Diametro di un insieme. Successioni
convergenti. Teorema di unicit`a del limite negli spazi metrici. Funzioni
sequenzialmente continue e funzioni continue. Spazi metrici completi. Richiami sugli
spazi vettoriali reali: definizione, vettori linearmente indipendenti e dipendenti,
dimensione dello spazio, basi. Applicazioni lineari. Spazio duale di uno spazio
vettoriale. Spazi normati. Norma euclidea in Rn . Spazi di Banach. Spazi con
prodotto scalare. Spazi con prodotto scalare come spazi normati. Legge del
parallelogramma. Insiemi compatti in uno spazio metrico. Teorema di Heine Borel.
Funzioni continue e uniformenmente continue in spazi metrici. Teoremi di
Weierstrass e di Heine-Cantor. Insiemi connessi di Rn . Segmenti e poligonali.
Teorema dei valori intermedi. Caratterizzazione delle funzioni continue. Contrazioni.
Teorema del punto fisso di Banach-Caccioppoli.
Funzioni di pi`
u variabili reali
Intorni nello spazio Rn con la norma euclidea. Punti interni, esterni, di frontiera, di
accumulazione e isolati di un sottoinsieme di Rn . Insiemi aperti e insiemi chiusi.
Chiusura di un insieme. Dominˆı. Insiemi limitati, compatti, connessi. Limiti (finiti e
infiniti) di funzioni reali di variabile vettoriale.
Calcolo differenziale per funzioni di pi`
u variabili reali
Derivate parziali prime. Derivate successive. Matrice hessiana. Il Teorema di
Schwarz. Gradiente e differenziabilit`a. Differenziale di una funzione. Derivate lungo
un vettore (in particolare, derivate direzionali). Differenziabilit`a e differenziale di una
funzione in un punto. Differenziabilit`a e continuit`a. Differenziabilit`a e derivabilit`a. Il
Teorema del differenziale. Il gradiente di una funzione reale. Espressione della
derivata lungo un vettore mediante il gradiente. Derivate e differenziali per funzioni
vettoriali. La matrice jacobiana. Differenziabilit`a e differenziale di una funzione
composta. Derivate parziali di una funzione composta. Differenziali di ordine
superiore. Formule di Taylor col resto di Peano e di Lagrange. Funzioni omogenee e
Teorema di Eulero. Massimi e minimi relativi e assoluti per una funzione reale di pi`
u
variabili reali. Il Teorema di Fermat. Punti critici (o stazionari). La matrice hessiana
per una funzione C 2 e suo uso per la determinazione della natura di un punto critico.
Studio del caso generale (n qualsiasi) mediante lo studio degli autovalori della
matrice hessiana e con il metodo dei minori principali di nord-ovest. Studio locale del
segno di una funzione reale per lo studio della natura dei punti critici.
Integrazione per funzioni reali di pi`
u variabili
Integrale inferiore e superiore per una funzione limitata di due variabili definita su un
rettangolo. Integrabilit`a ed integrali doppi per funzioni limitate di due variabili
definite su rettangoli. Criterio d’integrabilit`a di Riemann. Integrabilit`a delle funzioni
continue. Teorema di riduzione. Integrabilit`a su insiemi arbitrari. Misura di
Peano-Jordan e sue propriet`a. Il Teorema della media integrale. Domini normali ed
integrazione di una funzione continua su un dominio normale. Teorema sul
cambiamento di variabili in un integrale e applicazioni. Coordinate polari nel piano.
Estensione a funzioni di pi`
u variabili. Coordinate polari nello spazio tridimensionale.
Volumi dei solidi di rotazione.
Integrali dipendenti da un parametro
Studio della continuit`a e della derivabilit`a parziale di una funzione definita per mezzo
di un integrale. Caso generale degli estremi d’integrazione variabili.
Curve
Curve in R3 . Curve regolari. Curve regolari a tratti. Cambiamenti di parametro e
curve equivalenti. Curve rettificabili. Lunghezza di una curva e sua indipendenza da
riparametrizzazioni. Curve in coordinate polari.
Funzioni e campi vettoriali
Campi vettoriali: definizioni di base, esempi, derivabilit`a e differenziabilit`a. Campi
conservativi. Divergenza e rotore di un campo vettoriale. Campi irrotazionali. Lavoro
di un campo vettoriale.
Forme differenziali lineari
Forme differenziali lineari (di classe C 0 ). Integrale di una forma differenziale lineare
lungo una curva regolare a tratti. Effetto di un cambiamento di parametro. Forme
differenziali esatte e loro primitive. Forme chiuse (di classe C 1 ) e forme irrotazionali.
La chiusura e l’irrotazionalit`a come condizioni necessarie per l’esattezza. Insiemi
stellati e Lemma di Poincar´e. Cenni sugli spazi semplicemente connessi ed estensione
del lemma di Poincar´e. Costruzione di primitive di fdl in R2 e in R3 .
Testi consigliati
• C.D. Pagani - S. Salsa, Analisi matematica (Volume 2), Zanichelli.
• C. Trapani, Un modulo di Analisi due, Aracne.
• N. Fusco - P. Marcellini - C. Sbordone, Analisi Matematica due, Liguori
editore, Napoli.