GEOMETRIA COMBINATORIA a.a. 2014-2015

Insegnamento:

Geometria Combinatoria

Docenti:

Francesco Mazzocca – Vito Napolitano

Settore Scientifico Disciplinare: MAT/03 CFU 8=8L

riguardo alle loro proprietà algebriche e combinatorie caratteristiche.

ORE 64 Obiettivi formativi:

Introduzione allo studio delle strutture geometriche finite, con particolare

Propedeuticità:

Nessuna.

Prerequisiti:

si richiedono conoscenze di base di geometria e di algebra.

Modalità di svolgimento:

lezioni ed esercitazioni in aula.

Modalità di accertamento del profitto:

superamento di una prova orale e/o di una prova scritta. Legenda: L= Lezioni, E= Esercitazioni, La= Attività di Laboratorio.

PROGRAMMA Richiami e argomenti preliminari

. Corpi e campi, Anelli dei polinomi a coefficienti in un campo in una variabile. Teoria dei campi: elementi algebrici, estensioni semplici, estensioni algebriche, campo di spezzamento di un polinomio. Spazi proiettivi su campi.

Campi Finiti

. Proprietà algebriche dei campi finiti, teorema di esistenza e unicità dei campi finiti, teorema di esistenza ed unicità dei sottocampi di un campo finito, teorema dell’elemento primitivo. Automorfismi di un campo finito. Gruppo dei q-automorfismi di GF(q n ). Spazi proiettivi su campi finiti.

Polinomi e varietà algebriche su campi finiti

. Radici dell'unità e potenze. Quadrati e non quadrati di un campo finito di caratteristica dispari. Le funzioni traccia e norma. Risoluzione di un’equazione di 2° grado a coefficienti in GF(q). L'anello dei polinomi in più variabili su un campo finito. Funzioni. Ideali di polinomi e varietà algebriche. Teorema di Chevally-Warning e conseguenze.

Sottopiani, archi e calotte di ordine massimo

. Caratteri di un insieme di punti in un piano proiettivo finito. Sottopiani. Archi in PG(2,q). Ovali e iperovali. Ovali in

PG

(2

; q

),

q

dispari: lemma delle tangenti, teorema di Segre. Iperovali in

PG

(2

; q

) ed

o-

polinomi,

q

pari: teorema di Segre. Calotte e ovoidi in PG(3,q).

Insiemi lineari.

Definizione di F_q-insieme lineare di PG(r,q^n) e proprietà. Esempi di insiemi lineari. Peso di un sottospazio in un insieme lineare. Ordine di un insieme lineare. Teorema di caratterizzazione.

Strutture di incidenza e geometrie proiettive

. Geometrie. Rango di una geometria. Geometrie di rango 2: strutture di incidenza. Duale di una geometria di rango 2. Principio di dualità di geometrie di rango 2. Isomorfismi e collineazioni. Spazi proiettivi. Piani

proiettivi e principio di dualità per piani proiettivi. Struttura di uno spazio proiettivo: Teorema dello scambio(di Steinitz), teorema di estensione della base, dimensione e formula dimensionale. Geometrie quozienti. Spazi proiettivi finiti. Spazi proiettivi PG(n, F). Dimostrazione del teorema di Desargues in PG(n, F). Spazi affini. Un esempio di piano non desarguesiano: il piano di Moulton. Coordinate omogenee. Curve razionali normali. Coordinazione di uno spazio proiettivo d’ordine 2. Un’applicazione degli spazi proiettivi d’ordine 2 in teoria dei codici. Cenni sulla coordinazione di uno spazio proiettivo nel caso generale. Spazi lineari finiti. Il teorema di de Bruijn-Erdös per gli spazi lineari finiti. Un’applicazione del teorema di de Bruijn- Erdös: un problema di comunicazione. Insiemi differenza. Piani proiettivi finiti costruiti da insiemi differenza. Cicli di Singer. Una caratterizzazione dei piani proiettivi finiti costruiti a partire da insiemi differenza. Proprietà dei cicli di Singer di uno spazio proiettivo finito desarguesiano. Quadrati latini. M.O.L.S. ed esistenza di piani proiettivi. Disegni a blocchi. Disuguaglianza di Fisher. Disegni simmetrici. Disegni dalla geometria finita. Il teorema di Dembowski-Wagner

Applicazioni della geometria in crittografia

. Prime nozioni di crittografia. Principio di Kerchoffs. Cifratura: Algoritmo one-time pad. Cifrari a scorrimento. Teorema di Shannon e postulati di Golomb. Sequenze periodiche e cicli di Golomb. Cicli di Golomb ottenuti da vettori di incidenza di iperpiani di PG(2, q). Autenticazione: sistemi di autenticazione cartesiani. Teorema di Gilbert, Mac Williams, Sloane. Sistemi di autenticazione perfetti. Un sistema di autenticazione perfetto costruito da piani proiettivi finiti. Reti. Parallelismo. Ogni sistema di autenticazione perfetto è geometrico. Sistemi di autenticazione n-fold perfetti e curve razionali normali. Cenni di crittografia asimmetrica (a chiave pubblica): algoritmo RSA.

Testi consigliati

Beutelspacher A., Rosenbaum U.,

Projective Geometry: from foundations to applications

, Cambridge University Press. Cameron P. J.,

Projective and Polar spaces

, QMW Math Notes 13. Cameron P.J.,

Combinatorics: topics, techniques and algorithms

. Cambridge University Press (1996). Lidl R., Niederreiter H.: Mazzocca F.,

Finite Fields,

Encyclopedia of Matehmatics and its Applications 20, Cambridge University Press.

Note di Geometria Combinatoria.

Cromografica Roma S.r.l., Roma, per il Grupp o Editoriale l’Espresso S.p.A. (2013). Small C.,

Arithmetic of finite fields,

Pure and Applied mathematics 148, Dekker.