Transcript Document 9653473

Matakuliah
Tahun
: K0094 / Analisis Real
: Tahun 2008
Pertemuan 25
HIMPUNAN KOMPAK DAN FUNGSI KONTINU
Sasaran
PENGKAJIAN TENTANG
HIMPUNAN KOMPAK DAN FUNGSI KONTINU
Pokok Bahasan
HIMPUNAN KOMPAK DAN FUNGSI KONTINU
Definisi
Misalkan A adalah himpunan bagian dari R. yang dimaksud
dengan “open cover” dari A adalah koleksi {G } dari
himpunan – himpunan terbuka dalam R yang gabungannya
memuat A, yaitu
A   G

Definisi
Himpunan bagian K dari R disebut kompak bila
setiap open cover dari K mempunyai finite
subcover.
Contoh - contoh
1. Bila setiap himpunan berhingga K adalah kompak.
2. Himpunan H := [0,) adalah tidak kompak.
Teorema
Bila K adalah himpunan bagian kompak dari R
maka K adalah tertutup dan terbatas.
Teorema
(Heine – Borel)
Himpunan bagian K dari R adalah kompak bila
dan hanya bila himpunan bagian tersebut
tertutup dan terbatas.
Teorema
Himpunan bagian dari R adalah kompak bila
dan hanya bila setiap barisan dalam K
mempunyai barisan bagian yang konvergen
ke suatu titik dalam K.
Lemma
Fungsi f : A  R kontinu di titik C dalam A
bila dan hanya bila untuk setiap persekitaran
U dari f(c), terdapat persekitaran V dari c
sedemikian sehingga bila x  V  A, maka
f(x)  U.
Teorema
(Kontinuitas Global)
Misalkan A himpunan bagian dari R dan misalkan f : A  R.
maka kedua pernyataan ini ekuivalen:
(a)
f kontinu di setiap titik dari A.
(b)
Untuk setiap himpunan terbuka G dalam R,
terdapat himpunan terbuka H dalam R sedemikian
sehingga
H  A  f 1 (G ) .
Akibat
Fungsi f : R  R adalah kontinu bila dan hanya
1
f
(G ) terbuka dalam R bila diketahui G
bila
terbuka.
Teorema
Bila K adalah himpunan bagian kompak dari R
dan bila f : K  R kontinu pada K, maka f(K)
adalah kompak.