Transcript PROBABILITAS DAN DISTRIBUSI

PROBABILITAS DAN DISTRIBUSI
Percobaan Random
Seringkali pada sebuah percobaan, hasilnya
tidak dapat diprediksikan secara pasti, tetapi
himpunan dari semua hasil yang mungkin
terjadi dapat diketahui.
Jika percobaan ini dapat diulang di bawah
kondisi yang sama, maka percobaan ini
disebut percobaan random.
• Ruang Sampel
Himpunan dari semua hasil yang mungkin dari
percobaan random disebut ruang sampel
Titik sampel
adalah : elemen dari ruang sampel
• Contoh :
-Pelemparan suatu mata uang.
Jika pelemparan ini dilakukan berulang-ulang
dibawah kondisi yang sama, maka percobaan ini
adalah contoh dari percobaan random, dengan
ruang sampelnya adalah {M,B} atau C = {M,B}
- Percobaan yang dilakukan ahli pertanian untuk
mengetahui efek dari pupuk tertentu terhadap
hasil panen padi varitas tertentu.
Kejadian
• Misalkan C menyatakan sebuah ruang sampel,
dan C menyatakan subset dari C atau C C .
Himpunan C disebut kejadian. Jadi kejadian
adalah subset dari ruang sampel atau subset
dariC .
Kejadian C disebut terjadi apabila hasil dari
percobaan random ada di C.
• Contoh : Pelemparan sebuah dadu
C ={muka1,muka2,…,muka6}
Misalkan C ={muka1,muka3,muka5}
Kapan kejadian C disebut terjadi?
Jika pada saat melempar dadu muncul muka 5,
maka kejadian C disebut terjadi. Demikian
seterusnya apabila dalam pelemparan berikutnya
yang muncul adalah muka1,atau muka3 atau
muka5, maka kejadian C disebut terjadi.
Probabilitas dari Suatu Kejadian C
atau P(C)
• Misalkan terdapat N pengulangan dalam suatu
percobaan random. Dalam hal ini dapat dihitung
berapa kali kejadian C terjadi, misalkan n kali.
Rasio n/N disebut frekuensi relatif dari kejadian C di
dalam N pengulangan dari suatu percobaan random.
Jika N bertambah besar, maka berdasarkan
pengalaman, rasio n/N cenderung stabil atau
mendekati suatu nilai tertentu, misalnya p. Bilangan p
ini yang nantinya menjadi probabilitas dari suatu
kejadian C atau P(C), yang nilainya berada di interval
[0,1].
• Tujuan utama dari adanya teori stat mat
adalah menyediakan/membuat model
matematika dari percobaan random. Dengan
adanya model tersebut maka statistician
dapat mengambil kesimpulan mengenai
percobaan random yang dilakukannya.
Pembuatan model ini membutuhkan teori
tentang probabilitas yang didasarkan pada
konsep-konsep himpunan dan fungsi
himpunan.
Teori Himpunan
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Himpunan
Subset
Himpunan Kosong
Union (Gabungan) Himpunan
Intersection (Irisan) Himpunan
Space
Komplemen
Fungsi Titik
Fungsi Himpunan
Fungsi Himpunan Probabilitas
• Misalkan C menyatakan ruang sampel.
Berikut akan didefinisikan fungsi himpunan P
sedemikian hingga jika C adalah subset dari C
maka P(C) menyatakan probabilitas bahwa
hasil dari suatu percobaan berada di C.
Sehingga fungsi himpunan P didefinisikan sbb:
P : PC [0,1]

C

P( C )
• Apabila fungsi P di atas memenuhi sifat-sifat
berikut :
1. P( C ) ≥ 0.
2. P(C1 U C2 ....) = P(C1) + P(C2) +… dimana
Ci Cj = Ø, i≠j
3. P(C ) = 1

maka P disebut fungsi himpunan probabilitas.
• Suatu fungsi himpunan probabilitas dapat
menunjukkan bagaimana probabilitas
didistribusikan atas subset-subset C dari ruang
sampel C dan untuk selanjutnya disebut
distribusi probabilitas.
Teorema 1
Untuk setiap C subset dariC , P(C) = 1 – P(C*)
Bukti :
Misalkan C = C
C dan C  C* = Ø.
 *
Berdasarkan sifat 1 dan 2 dari fhp, maka :
P(C )= P(C  C*)
1
= P(C ) + P(C*) atau
P(C ) = 1 - P(C*)
Teorema 2
Probabilitas dari himpunan kosong adalah
nol atau P(Ø) = 0.
Bukti:
Dari teorema 1, ambil C = Ø maka C* = C
Jadi
P(Ø) = 1 – P(C ) = 1 – 1 = 0
Teorema 3
Jika C1 dan C2 adalah subset-subset dari C
sedemikian hingga C1 C2, maka
P(C1) ≤ P(C2).
Bukti:
C2 = C1  (C1*  C2) dan C1  (C1*  C2) = Ø
Berdasarkan sifat 2 dari fhp,diperoleh:
P(C2 ) = P(C1  (C1*  C2) )
P(C2 ) = P(C1 ) + P (C1*  C2) , P (C1*  C2)  0
Jadi, P(C1 )  P(C2 ).
Teorema 4
Setiap C subset dari C, 0 ≤ P( C ) ≤ 1.
Bukti:
Karena Ø  C C,maka dari teorema 3
diperoleh :
P(Ø ) ≤ P(C ) ≤ P(C )

0 ≤ P( C ) ≤ 1
Teorema 5
Jika C1 dan C2 adalah subset-subset dari C
maka P(C1 U C2) = P(C1)+P(C2) – P(C1  C2)
Bukti:
C1  C2 dan C2 dapat dinyatakan sbb:
C1  C2 = C1  (C1*  C2) dan
C2 = (C1  C2 )  (C1*  C2)
Karena C1  (C1*  C2) = Ø dan
(C1  C2 )  (C1*  C2 )=Ø
maka berdasarkan sifat 2 dari fhp, diperoleh:
• P ( C1  C2) = P (C1  (C1*  C2 ))
• P ( C1 C2) = P (C1 ) + P (C1*  C2 )
(1)
dan
• P (C2 ) = P((C1  C2 )  (C1*  C2))
• P (C2 ) = P(C1  C2 ) + P (C1*  C2)
(2)
Dengan mengurangkan (2) dari (1), didapat:
P ( C1 C2) - P (C2 ) = P (C1 ) - P(C1  C2 )
Jadi P ( C1  C2) = P (C1 ) +P (C2 ) - P(C1  C2 )
• Contoh:
Misalkan C adalah ruang sampel dimana elemenelemennya merupakan hasil pelemparan 2 buah
dadu.
C = {(1,1),…,(1,6),(2,1),…,(2,6),…,(6,1),…,(6,6)}
Misal masing-masing elemen tersebut atau
C1 = {(1,1)}, C2={(1,2)},…, C36 = {(6,6)}
probabilitasnya 1 36 atau P(C1 )= 136 dst.
Misal D1 = {(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1)} dan
D2 = {(1,2),(2,2),(3,2)} maka P(D1 )= 5 36 ,P(D2 )= 3 36
P (D1 D2 )= 0
P(D1  D2 ) = P(D1 ) + P(D2 ) - P (D1 D2 
)
5
3
36
=
+ 36 - 0
8
= 36
Mutually Exclusive Events, Mutually Exclusive
Events and Exhaustive, Equally Likely
• Misalkan C adalah ruang sampel dan misal C1, C2,… adalah subsetsubset dari C. Apabila C1, C2,… tidak saling beririsan maka C1, C2,…
disebut mutuallly disjoint sets. Karena C1, C2,… adalah kejadian
maka C1, C2,… disebut juga mutually exclusive sets atau mutually
exclusive events.
• Apabila C = C1  C2 … dan C1, C2,… adalah mutually exclusive
events maka menurut sifat 2 fhp, diperoleh P(C )=P(C1 )+P(C2) + …
atau P(C1 )+P(C2) + … = 1. Kalau berlaku demikian maka C1, C2,…
disebut mutually exclusive events and exhaustive.
• Misalkan C = C1  C2  …Ck dimana C1, C2,…Ck mutually exclusive
events and exhaustive. Misalkan P(Ci) = 1/k,i = 1,2..,k
Apabila C1, C2,…Ck memenuhi sifat-sifat tersebut maka C1, C2,…Ck
disebut equally likely.