Transcript MATERI POKOK 23 TRANSFORMASI PEUBAH ACAK Transformasi Peubah Acak Kontinu Teorema 1

MATERI POKOK 23
TRANSFORMASI PEUBAH ACAK

Transformasi Peubah Acak Kontinu
Teorema 1
Peubah acak X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi
kepekatan f(x). Peubah acak y = u(x) menyatakan hubungan satusatu antara nilai x dan y sehingga persamaan y = u(x) mempunyai
jawaban tunggal untuk x dalam y misalnya x = (y) sehingga
fungsi kepekatan y adalah g(y) = f [(y)] |j|
dengan J = 1(y) dan disebut Jacob, transfomasi.
Bentuk-bentuk transformasi:
- Y  ax  b
- Y  - -1 Ln (1 - x)
- Y  ex
- Y  - 2 Ln x
x
- Y  - Ln
2
- Y  x 1/B
Transformasi Dengan Fungsi Sebaran
Andaikan peubah acak X kontinu dengan fungsi kepekatan f(x)
untuk C1 < x < C2 dengan transfora Y = u(X) dan inversnya X =
(y) maka fungsi kepekatan peubah acak Y adalah g(y)
diperoleh dari G1 (y) dimana
G y   P Y  y   P u (X)  y
 P X  ω y , u c1   y  u c 2  atau d1  y  d 2
G y   0, y  d1 dan G y   1, y  d 2
G y   
ω(y)
c1
f x  dx, d1  y  d 2


G1 y   g (y)  f ω y  w1 y 
Contoh 1
Peubah acak X dengan fungsi kepekatan f(x) = 3(1 - x)2, 0<x<1..
Cari fungsi kepekatan peubah acak y = u(X)=(1 - X)3 .


Cara 1. Menggunakan fungsi sebaran
G y   P Y  y   P 1 - x 3  y
 


 P 1 - x  y1/3  P x -  1 - y1/3   ( y )

1

1
1
1- y 3
f x  dx
2
1
1- y 3

3 1 - x  dx  - 1 - x 3
G y   0  1 - y

1
1
1- y 3
  y
1/3 3
G1 y   g y   1, 0  y  1 sehingga
Y  1 - x 3 menyebar secara seragam uniform   u 0, 1
Cara 2. Dengan Transformasi Jacobi
Y  u  x   1  x 3
x  1  y1/3  ω y 
1
1
dx
  2/3   2/3
J  ω y  
dy
3y
3y
1
g y   f ω y  ω1 y 

 f 1- y
1/3
 
 3y2/3  3 1  1  y 
1
1/3 2
 1 
 3 y  2/3   1, 0  y  1
 3y 
g y   1 , untuk 0  y  1
2/3
Peubah acak X mempunyai fungsi kepekatan f(x) dengan
transformasi tidak satu-satu misalnya Y= u(x) = x2 dan –1 < x <
2, maka 0 < y < 1 nilai x   y dan untuk 1 < y < 4 nilai x  y
Teorema 2
Andaikan X perubahan acak kontinu dengan fungsi kepekatan
f(x). Transformasi Y = u(x) antara X dan Y tidak satu-satu dan
selang X dapat disekat menjadi K himpunan yang saling terpisah
sedemikian rupa sehingga masing-masing fungsi kebalikan
X1 = 1 (y), X2 = 2 (y),…, Xk = k (y) dari y = u(x) menyatakan
hubungan satu-satu maka fungsi kepekatan Y adalah
g y  
k
 f
i 1
ωi y  Ji dengan
Ji  ω1i y , i  1, 2, ..., k
misalnya:
f(x) ada pada selang –1 < x < 2 dan transformasi Y = u(X) = X2.
untuk 0 < y < 1
1
x  ω1 y   - y , - 1  x  0, ω11 y   2 y
x  ω2 y  
y , 0  x  1, ω12
y   -
1
2 y
untuk 1  y  4
x  ω3 y   y , - 1  x  2, ω13 y    1

f - y   f

 2 y
 1

g y   
f  y 
2 y

0

1
2 y
 y , 0  y  1
,1 y  y
, y lainnya

Transformasi dengan Matriks Jacobi
Teorema 3
Andaikan X1 dan X2 merupakan peubah acak kontinu dengan
sebaran peluang gabungan f(x1, x2) dan Y1= u1(x1, x2) dan Y2 =
u2(x1, x2) menentukan transformasi satu-satu diantara titik
(x1, x2) dan (y1, y2) sehingga persamaan-persamaan
Y1 = u1(x1, x2) dan Y2 = u2(x1, x2) dapat dipecahkan secara unik
untuk x1 dan x2 dalam besaran y1 dan y2, katakanlah
x1 = 1(y1, y2) dan x2 = 2(y1, y2), maka sebaran peluang
gabungan Y1 dan Y2 berupa g (y1, y2)= f [1(y1, y2), 2(y1, y2)]|J|
dengan Jacobian adalah determinan 2 x 2:
x1 / y1 x1 / y 2
J
x 2 / y1 x 2 / y 2
x1 / y1
Adalah turunan parsial dari x1 = 1 (y1, y2) terhadap y1
Dengan y1 konstan
x1 / y 2
Adalah turunan parsial dari x1 = 1 (y1, y2) terhadap y2
Dengan y1 konstan
x 2 / y1
Adalah turunan parsial dari x2 = 2 (y1, y2) terhadap y1
Dengan y2 konstan
x 2 / y 2
Adalah turunan parsial dari x2 = 2 (y1, y2) terhadap y2
dengan y1 konstan
Contoh
Himpunan A = {(x1, x2): 0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1}
Himpunan B = dalam bidang y1 y2 sebagai hasil pemetaan
transformasi satu-satu
Y1 = u1 (x1, x2) = x1 + x2
Y2 = u2 (x1, x2) = x1 - x2
1
maka x1  1( y1, y 2 )  ( y1  y 2 )
2
1
x 2  2 ( y1, y 2 )  ( y1  y 2 )
2
1
y1  y 2 
2
1
x1  1 dipetakan kepada 1  y1  y 2 
2
1
x 2  0 dipetakan kepada 0  y1  y 2 
2
1
x 2  1 dipetakan kepada 1  y1  y 2 
2
x1  0 dipetakan kepada 0 
y2
x1
X2=1
x1 = 1
x1=0
y2
x2 = 0
= y1
B
y2 = 2 - y 1
y1
x1
y
2
=y
1
y2 = y1 - 2
1 1
x1/y1 x1/y 2 2 2
1
J


1
1
x 2 /y1 x 2 /y 2
2

2
2
1
untuk 0  x1  1  0  y1  y 2   1
2
1
0  x 2  1  0  y1  y 2   1
2
sehingga - y1 y 2  y 2  2  y1, y 2  y1 , y1  2  y 2
Contoh Transformasi:
X1, X2 menyebar normal: N (0,1) dan dengan transfomasi
Y1= x1/x2 dan Y2 = X2 maka g1(y1) sebagai fungsi kepekatan
marginal dari g (y1, y2) merupakan sebaran Cauchy
1
g1( y1 ) 
(1  y12 )
Materi Pokok 23
SEBARAN FUNGSI PEUBAH ACAK

Perluasan Teknik Transformasi
Bila h(x1, x2, …, xn) merupakan fungsi kepekatan gabungan
vektor peubah acak X1, X2, …, Xn A, dan bentuk transformasi
Y1 = u1 (x1, x2, …, xn)
Y2 = u2 (x1, x2, …, xn)
Yn = un (x1, x2, …, xn)
maka fungsi kepekatan gabungan vektor peubah acak Y1, Y2, …,
Yn adalah g(y1, y2, …, yn) = |J| h[w,(y1, y2, …, yn), …, wn (y1, y2,
…, yn)] bila (y1, y2, …, yn)B dan g(y1, y2, …, yn) = 0 untuk
nilai (y1, y2, …, yn) anggota himpunan lain.
Pada proses transformasi ini melibatkan bentuk integral lipat n:
 ...  h (x1, x 2 ,..., x n ) dx 1, dx 2 ,..., dx n
A
Ambil peubah acak
y1 = u1 (x1, x2, …, xn) dengan invers x1 = 1 (y1, y2, …, yn)
y2 = u2 (x1, x2, …, xn) dengan invers x2 = 2 (y1, y2, …, yn)
•
•
•
yn = un (x1, x2, …, xn) dengan invers xn = n (y1, y2, …, yn)
Merupakan bentuk transformasi satu-satu yang memetakan A ke
B dalam ruang y1, y2, …, yn dan determinan Jacob; berdimensi n
xn:
x1
y1
x 2
J  y 2
...
x n
y1
x1
y 2
x 2
y 2
...
x 2
y 2
...
...
...
...
x1
y n
x 2
y n  0
...
x n
y n
maka
   h x1 , x 2 , ....., x n  dx1 dx 2 ..... dx n
A
 h
ω1 y1, ....., y n  ...... ωn y1, ....., y n  J  dy1 dy 2 ..... dy n
B
atau
g y1 , y 2 , ...., y n   J h ω1 y1 , ....., y n  ...... ω n y1 , ....., y n  ,
ketika y1 , y 2 , ...., y n  B
 0, y1 , y 2 , ...., y n  B
Contoh
Misalkan X1, X2, …, Xk+1 merupakan peubah acak bebas
stokastik dan masing-masing menyebar gamma dengan  = 1
maka fungsi kepekatan peluang gabungannya adalah
k 1 1
h (x1 , x 2 ,  , x n ) 
x i αi - 1 e - xi , 0  x i   dan
II τ α i 
i 1
 0, x i lainnya
xi
Ambil Yi 
, i  1, 2, ......., k
x1  x 2  .....  x k  1
dan Yk  1  x1  x 2  .....  x k  1
sehingga Yi menunjukka k + 1 peubah acak baru peta
transformasi A = {X1, X2, …, Xk+1} = 0 < X1 < 
i = 1, …., k + 1 ke dalam ruang
B = {(y1, …, yk, yk+1): 0 < yi, i = 1, 2, …, k, y1 + y2 +…+ yk < 1,
0 < yk + 1 < 
Nilai inversnya :
x1 = y1 yk+1
x2 = y2 yk+1
…..
xk= yk yk+1
xk+1 = yk+1(1-y1, -···-yk) sehingga determinan Jacobi menjadi:
y k 1
0
y k 1
0


J




 y k 1  y k 1


0
0



    y k 1
y1
y2

 y kk 1


yk
Akibatnya fungsi kepekatan peluang bagi Y1, …, Yk, Yk+1
menjadi
α1    αk 1  1 α - 1
α
- 1  y k 1
k

1
1
1  y1      y k 
y k 1
y
e
1
τ α1     τ α k  τ α k 1 
Dan fungsi kepekatan peluang bagi y1, …, yk adalah g (y1, …, yk)
α1 - 1
α1 - 1
τ α1  α k 1 

y1
   y k 1  y1      y k α k 1 - 1
τ α1     τ α k 1 
ketika 0 < yi, i = 1, ….., k; y1 + y2 + …. + yk < 1 merupakan
fungsi kepekatan peluang sebaran dirichlet dan untuk k = 1 fungsi
itu menjadi f kepekatan peluang .
Ambil h(x1, x2, …, xn) sebagai fungsi kepekatan gabungan X1,
X2, …, Xn suatu peubah acak kontinu. A:himpunan dalam ruang
berdimensi n dimana h(x1, x2, …, xn) > 0 dan dengan
transformasi
y1 = u1(x1, x2, …, xn),
y2 = u2(x1, x2, …, xn),
……………………..
yn = un(x1, x2, …, xn)
yang merupakan hubungan pemetaan dari A ke B di dalam y1, y2,
…, yn setiap titik di A mempunyai hubungan satu titik di B, tetapi
satu titik di B mungkin mempunyai hubungan lebih dari satu titik
di A, jadi bukan hubungan satu-satu. Kita dapat memandangan
himpunan A sebagai partisi A1, A2, …, Ak sehingga
x1 = 1 (y1, y2, …., yn)
x2 = 2 (y1, y2, …., yn)
:
:
xn = ni (y1, y2, …., yn) dengan i = 1, 2, ….., k dan matriks
Jacobinya
1i
y1
2i
J i  y1

ni
y1
1i
y 2
2i
y 2

ni
y 2
1i

y n
2i

y n , i  1, 2, ..., k


ni

y n
Fungsi kepekatan gabungan
g

k
y1 , y 2 , ..., y n  
i 1

i
dengan y1 , y 2 , y3 , ....., y n   B
g1 y1   






J i h ω1 y1 , y 2 , ..., y n  x ω ni y1 , y 2 , ..., y n 
g y1 , y 2 , ..., y n  dy 2 ..... dy n