Transcript 6. Peubah acak khusus

Peubah acak khusus
Peubah Acak Bernoulli
Misalkan sebuah percobaan yang outcome-nya dapat
diklasifikasikan sebagai sukses dan gagal. Jika X=1 bila
outcome-nya berhasil dan X=0 bila outcome-nya gagal, maka
fungsi masa peluang dari X adalah
P(0) = P(X=0) = 1-p
(2.1)
P(1) = P (X=1) = p
dimana 0≤p≤1 adalah peluang keberhasilan
Peubah acak X dikatakan peubah acak Bernoulli jika fungsi massa
peluangnya adalah persamaan (2.1)
Peubah Acak Binomial
• Misalkan dilakukan n percobaan yang bebas,
• Masing – masing menghasilkan outcome berhasil
dengan peluang p dan gagal dengan peluang 1-p.
• Jika X adalah banyaknya keberhasilan yang terjadi
dari n percobaan, maka X dikatakan peubah acak
Binomial dengan parameter (n,p)
Peubah Acak Binomial
• Misalkan dilakukan n percobaan yang bebas,
• Masing – masing menghasilkan outcome berhasil
dengan peluang p dan gagal dengan peluang 1-p.
• Jika X adalah banyaknya keberhasilan yang terjadi
dari n percobaan, maka X dikatakan peubah acak
Binomial dengan parameter (n,p)
Peubah Acak Binomial
Contoh :
Lima koin yang setimbang dilemparkan. Jika outcome-nya
diasumsikan bebas, temukan fungsi massa peluang dari
banyaknya gambar yang muncul.
Suatu ujian terdiri atas 10 pertanyaan pilihan berganda, masing –
masing dengan 4 kemungkinan jawaban dan hanya satu yang
benar. Berapa peluang seorang yang menjawab hanya secara
menebak – nebak saja memperoleh 10 jawaban yang benar?
Peubah Acak Binomial
Contoh :
Lima koin yang setimbang dilemparkan. Jika outcome-nya
diasumsikan bebas, temukan fungsi massa peluang dari
banyaknya gambar yang muncul.
Suatu ujian terdiri atas 10 pertanyaan pilihan berganda, masing –
masing dengan 4 kemungkinan jawaban dan hanya satu yang
benar. Berapa peluang seorang yang menjawab hanya secara
menebak – nebak saja memperoleh 10 jawaban yang benar?
Peubah Acak Kontinu
• Peubah Acak X dikatakan peubah acak kontinu
bila terdapat fungsi nonnegatif f, yang
terdefinisi pada semua bilangan nyata x  (,), mempunyai sifat bahwa untuk setiap
himpunan bilangan nyata B,
P(XB) =  f ( x)dx
B
• Fungsi f dikatakan fungsi kepekatan peluang
peubah acak X danf harus memenuhi
P{X  ( -,  )} =  f ( x)dx =1

• Semua statemen peluang tentang X dapat
dinyatakan dalam term f. Misalkan B =
[a,b]maka
P{a X  b}= ab f ( x)dx
• Jika a = b maka
a
P{X=a} =  f ( x)dx =0
a
• Untuk peubah acak kontinu
a
P{X < a} = P {X  a} =  f ( x)dx

2. Peubah Acak Normal
Peubah acak X dikatakan peubah acak Normal
dengan parameter  dan 2 jika fungsi
kepekatan peluang X adalah
f ( x) 
1
2 
e
 ( x   ) 2 / 2 2
- < x < 
Fungsi kepekatan peluang adalah kurva
berbentuk genta yang simetrik pada .
Nilai  dan 2 merepresentasikan nilai rata –
rata dan variasi atau keragaman yang
mungkin dari X.
Beberapa contoh yang mengikuti sebaran
normal antara lain tinggi manusia, kecapatan
molekul pada gas, dan kesalahan yang dibuat
dalam pengukuran kuantitas fisik
• Fakta penting dari pebah acak normal adalah
jika X menyebar normal dengan parameter 
dan 2 maka Y = X +  menyebar normal
dengan parameter  +  dan 22.
• Implikasinya bila X menyebar normal dengan
parameter  dan 2 maka Z = (X - )/
menyebar normal dengan parameter 0 dan 1.
• Peubah acak Z dinamakan peubah acak
normal baku
=
Fungsi sebaran kumulatif dari peubah acak
normal baku dilambangkan dengan (x)
dimana
1 x  y2 / 2
dy
(x) =
e
2 
Nilai dari (x) telah ditabelkan
Contoh :
1. Jika X adalah peubah acak normal dengan
parameter  = 3 dan 2 = 9. Hitung
a. P{2<X<5}
b. P{X>0}
2. Suatu ujian dikatakan baik apabila nilai dari hasil
ujian dapat didekati dengan fungsi kepekatan
peluang normal. Instruktur seringkali
menggunakan nilai hasil ujian untuk menduga
parameter normal  dan 2 kemudian memberi
nilai A untuk nilai yang lebih dari +, B untuk
nilai antara  dan +, C untuk nilai antara  - 
dan , D untuk nilai antara  - 2 dan  - , dan
E untuk nilai di bawah  - 2. Berapa persen
yang akan mendapat nilai A, B, C, D dan E.
3. Bila Z adalah peubah acak normal baku,
hitunglah
a.
b.
c.
d.
P(0 ≤ Z ≤ 1.2)
P(-0.9 ≤ Z ≤ 0.1)
P(0.35 ≤ Z ≤ 1.66)
P(-0.3 ≤ Z ≤ 0.3)
4. Carilah nilai z, bila
a. P(Z > z) = 0.5
b. P(Z > z) = 0.8643
c. P(Z > z) = 0.90
d. P(Z > z) = 0.99
5. Misalkan tinggi laki – laki dalam kelas tertentu
adalah peubah acak normal dengan
parameter  = 7,1 inchi dan 2=6,25. Berapa
persen dari laki – laki dalam kelas tersebut
yang mempunyai tinggi lebih dari 6,2 inchi?
Berapa persen yang lebih dari 6,5 inchi?