Rataan dan variansi dari kombinasi linear peubah acak
Download
Report
Transcript Rataan dan variansi dari kombinasi linear peubah acak
Rataan
Peubah Acak
Variansi dan Kovariansi
Rataan dan Variansi dari Kombinasi Linear
Peubah Acak
Teorema Chebyshev
Misalkan X suatu peubah acak dengan sebaran
probabilitas f(x). Nilai rataan atau nilai harapan
dari X adalah
E(X )
xf ( x )
x
bila X diskrit, dan
E(X )
xf ( x ) dx
bila X kontinu.
Carilah nilai harapan banyaknya kimiawan dalam
panitia 3 orang yang dipilih secara acak dari 4
kimiawan dan 3 biolog
Jawab :
Misalkan X menyatakan banyaknya kimiawan dalam
panitia . Distribusi peluang X adalah…
f ( X )
3
4
x 3 x
, x
7
3
0 ,1 , 2 , 3
Beberapa perhitungan sederhana menghasilkan f(0) =
1/35, f(1) = 12/35 , f(2) = 18/35 dan f(3) =4/35
Jadi…
1
12
18
4
E ( X ) 0
1
2
3
35
35
35
35
12
1, 7
7
Jadi,
bila suatu panitia beranggota 3
orang dipilih secara acak berulang-ulang
dari 4 kimiawan dan 3 biolog, maka rataratanya akan beranggota 1,7 kimiawan
Misalkan
X merupakan peubah acak dengan
sebaran probabilitas f(x). Nilai rataan atau
nilai harapan peubah acak g(X) adalah
g ( X )
E [ g ( x )]
g (x) f (x)
jika X diskrit dan
g ( X )
E [ g ( X )]
g ( x ) f ( x ) dx
jika X kontinu.
Banyaknya
mobil X yang masuk ke suatu
pencuci mobil setiap haria antara jam 13.00 –
14.00 mempunyai distribusi peluang :
x
4
P(X=x) 1/12
5
1/12
6
¼
7
¼
8
1/6
9
1/6
Misalkan g(X) = 2X-1 menyatakan upah, dalam ribuan
rupiah, para karyawan yang dibayar perusahaan dalam
jam tersebut. Cari harapan pendapatan karyawan pada
jam tersebut.
Jawab :
9
E [ g ( x )] E ( 2 X 1 )
( 2 x 1 ) f ( x )
X 4
= (7)(1/12) + (9)(1/12) + (11)(1/4) + (13) (1/4) +
(15)(1/6) +(17)(1/6)
= Rp 12,67
Misalkan X dan Y merupakan peubah acak gabungan
dengan sebaran probabilitas gabungan f(x,y). Nilai
rataan atau nilai harapan peubah acak g(X,Y) adalah
g ( X , Y )
E [ g ( X , Y )]
x
g ( x,y) f ( x, y)
y
jika X dan Y diskrit, dan
g ( X , Y )
E[g ( X , Y )
g ( x , y ) f ( x , y ) dxdy
Bila X dan Y kontinu.
Misalkan
X dan Y peubah acak dengan
distribusi peluang gabungan pada Tabel 2.6
hal 75. Hitunglah nilai harapan g(X,Y) = XY
2
E ( XY )
2
xyf ( x , y )
X 0 Y 0
= (0) (0) f(0,0) + (0)(1)f(0,1) + (0)(2)f(0,2) +
(1)(0) f (1,0) + (1)(1) f(1,1) + (2)(0) f(2,0)
= f(1,1) = 3/14
Misalkan X merupakan suatu peubah acak dengan
sebaran probabilitas f(x) dan nilai tengah µ. Ragam
x adalah
2
E [( X )
2
(x )
2
f ( x)
x
jika x diskrit, dan
Jika X kontinu
2
E [( X )
2
( x ) f ( x ) dx
2
Akar kuadrat positif dari ragam, disebut simpangan
baku X.
Misalkan peubah acak X menyatakan banyaknya mobil
yang digunakan untuk keperluan dinas kantor pada
setiap hari kerja. Distribusi peluang untuk kantor A
adalah
x
1
2
3
f(x)
0,3
0,4
0,3
Dan untuk kantor B adalah
x
0
1
2
3
4
f(x)
0,2
0,1
0,3
0,3
0,1
Tunjukkan bahwa variansi distribusi peluang kantor B
lebih besar dari pada variansi kantor A
Jawab :
Untuk kantor A diperoleh
E ( X ) (1)( 0 ,3 ) ( 2 )( 0 , 4 ) ( 3 )( 0 ,3 ) 2 , 0
dan
2
3
( x 2)
2
f ( x)
x 1
= (1-2)2 (0,3)+ (2-2)2 (0,3)+ (3-2)2 (0,3)=0,6
Untuk kantor B diperoleh :
E ( X ) ( 0 )( 0 , 2 ) (1)( 0 ,1) ( 2 )( 0 ,3 ) ( 3 )( 0 ,3 ) ( 4 )( 0 ,1) 2 , 0
Dan
2
4
( x 2)
2
f ( x)
x0
= (0-2)2 (0,2) + (1-2)2 (0,1) +(2-2)2 (0,3)+(3-2)2 (0,3) + (4-2)2 (0,1)
=1,6
Jelas..variansi banyaknya mobil yang digunakan untuk
Keperluan dinas lebih besar untuk kantor B daripada
untuk kantor
A.
2
Rumus yang lebih mudah diberikan oleh teorema
Berikut :
Ragam peubah acak X adalah (Teorema 2)
E(X )
2
2
2
Misalkan X merupakan sebuah peubah acak
dengan sebaran probabilitas f(x). Ragam
peubah acak g(X) adalah
jika X diskrit
2
g(X )
E {[ g ( X ) g ( X )] }
2
[ g ( x ) g ( X )] f ( x )
2
x
jika X kontinu.
2
E {[ g ( X ) g ( X )] }
2
g(X )
[ g ( x ) g ( X )] f ( x ) d ( x )
2
Misalkan X dan Y merupakan peubah acak dengan
sebaran probabilitas gabungan f(x,y). variansi
dari X dan Y adalah
Jika X dan Y diskrit
XY E [( X x )( Y y ) ( x x )( y y ) f ( x , y )
x
y
jika X dan Y kontinu
XY E [( X X )( Y Y )]
( x
X
)( y Y ) f ( x , y ) dxdy
Peragam
dari dua peubah acak X dan Y
dengan nilai tengah masing-masing µX dan µY
diberikan oleh
XY E ( XY ) X Y
Jika
a dan b merupakan konstanta, maka
E(aX+b) = aE(X)+b
akibat dari teorema di atas adalah:
Dengan membuat a=0, kita lihat bahwa E(b)=0
Dengan membuat b=0, kita lihat bahwa
E(aX)=aE(X)
Nilai
harapan penjumlahan atau perbedaan
dari dua atau lebih fungsi suatu peubah acak
X adalah penjumlahan atau perbedaan dari
nilai harapan fungsi itu. Dengan kata lain
E[g(X)±h(X)] = E[g(X)]±E[h(X)]
Nilai
harapan dari penjumlahan atau
perbedaan dua fungsi atau lebih dari peubah
acak X dan Y merupakan penjumlahan atau
perbedaan dari nilai harapan fungsi itu.
Dengan kata lain
E[g(X,Y)±h(X,Y)] = E[g(X,Y)]±E[h(X,Y)]
Akibat
dari teorema di atas adalah
Dengan membuat g(X,Y) = g(X) dan h(X,Y) = h(Y)
kita lihat bahwa E[g(X)±h(Y)]=E[g(X)]±E[h(Y)]
Dengan membuat g(X,Y) = X dan h(X,Y) = Y, kita
lihat bahwa E(X±Y) = E(X) ± E(Y)
X
dan Y adalah dua peubah acak bebas, maka
E(XY) = E(X)E(Y)
Jika
a dan b merupakan konstanta maka
2
a X a
2
aX Y
2
2
2
Akibat dari teorema tersebut adalah
Dengan membuat a=1
2
X b
2
a
2
2
X
dengan membuat b=0
2
aX
a
2
2
X
2
Jika X dan Y adalah peubah acak dengan sebaran
probabilitas gabungan f(x,y) maka
2
2
aX
a
bY
b Y 2 ab
2
X
2
2
XY
Akibat dari teorema tersebut adalah
Jika X dan Y adalah peubah acak bebas, maka
2
aX bY
a
2
b Y
2
X
2
2
Jika X dan Y merupakan peubah acak bebas,
maka
2
aX bY
a
2
2
X
b
2
2
Y
Jika
X1, X2,…….,Xn adalah peubah acak
bebas, maka
a 1 x 1 a 2 x 2 ....... a nx n a 1 x 1 a 2
2
2
2
2
x2
... a
2
n
2
Xn
Probabilitas
bahwa setiap peubah acak X
akan mengambil suatu nilai di dalam k
simpangan baku dari nilai tengah paling
sedikit adalah 1-1/k²
P(µ-kσ<X<µ+kσ)≥1-1/k²
Suatu
peubah acak X mempunyai rataan µ=8,
2
variasi = 9, sedangkan peluang
distribusinya tidak diketahui. Hitunglah
a P(-4<X<20), dan b P( X 8 6 ).
Jawab :
a. P(-4<X<20) = P[8-(4)(3)<X<8+(4)(3)] 15/16
b. P( X 8 6 ) = 1–P( X 8 < 6)
= 1–P(-6 < X -8 < 6)
= 1–P[8-(2)(3)<X< 8+(2)(3)] 1/4