Transcript Rataan dan variansi dari kombinasi linear peubah acak

 Rataan
Peubah Acak
 Variansi dan Kovariansi
 Rataan dan Variansi dari Kombinasi Linear
Peubah Acak
 Teorema Chebyshev

Misalkan X suatu peubah acak dengan sebaran
probabilitas f(x). Nilai rataan atau nilai harapan
dari X adalah
  E(X ) 

xf ( x )
x
bila X diskrit, dan

  E(X ) 
 xf ( x ) dx

bila X kontinu.

Carilah nilai harapan banyaknya kimiawan dalam
panitia 3 orang yang dipilih secara acak dari 4
kimiawan dan 3 biolog

Jawab :
Misalkan X menyatakan banyaknya kimiawan dalam
panitia . Distribusi peluang X adalah…
f ( X )

3
 4 




 x  3 x 
, x
 7 


3



0 ,1 , 2 , 3
Beberapa perhitungan sederhana menghasilkan f(0) =
1/35, f(1) = 12/35 , f(2) = 18/35 dan f(3) =4/35
 Jadi…
 1 
 12 
 18 
 4 
  E ( X )  0 
  1 
   2 
  3 

 35 
 35 
 35 
 35 
12

 1, 7
7
 Jadi,
bila suatu panitia beranggota 3
orang dipilih secara acak berulang-ulang
dari 4 kimiawan dan 3 biolog, maka rataratanya akan beranggota 1,7 kimiawan
 Misalkan
X merupakan peubah acak dengan
sebaran probabilitas f(x). Nilai rataan atau
nilai harapan peubah acak g(X) adalah
g ( X )
 E [ g ( x )] 

g (x) f (x)
jika X diskrit dan
g ( X )

 E [ g ( X )] 
 g ( x ) f ( x ) dx

jika X kontinu.
 Banyaknya
mobil X yang masuk ke suatu
pencuci mobil setiap haria antara jam 13.00 –
14.00 mempunyai distribusi peluang :
x
4
P(X=x) 1/12

5
1/12
6
¼
7
¼
8
1/6
9
1/6
Misalkan g(X) = 2X-1 menyatakan upah, dalam ribuan
rupiah, para karyawan yang dibayar perusahaan dalam
jam tersebut. Cari harapan pendapatan karyawan pada
jam tersebut.

Jawab :
9
E [ g ( x )]  E ( 2 X  1 ) 

( 2 x 1 ) f ( x )
X 4
= (7)(1/12) + (9)(1/12) + (11)(1/4) + (13) (1/4) +
(15)(1/6) +(17)(1/6)
= Rp 12,67

Misalkan X dan Y merupakan peubah acak gabungan
dengan sebaran probabilitas gabungan f(x,y). Nilai
rataan atau nilai harapan peubah acak g(X,Y) adalah
g ( X , Y )
 E [ g ( X , Y )] 
 
x
g ( x,y) f ( x, y)
y
jika X dan Y diskrit, dan
g ( X , Y )

 E[g ( X , Y ) 

  g ( x , y ) f ( x , y ) dxdy



Bila X dan Y kontinu.
 Misalkan
X dan Y peubah acak dengan
distribusi peluang gabungan pada Tabel 2.6
hal 75. Hitunglah nilai harapan g(X,Y) = XY
2
E ( XY )

2

xyf ( x , y )
X 0 Y 0
= (0) (0) f(0,0) + (0)(1)f(0,1) + (0)(2)f(0,2) +
(1)(0) f (1,0) + (1)(1) f(1,1) + (2)(0) f(2,0)
= f(1,1) = 3/14

Misalkan X merupakan suatu peubah acak dengan
sebaran probabilitas f(x) dan nilai tengah µ. Ragam
x adalah
2

 E [( X   ) 
2
 (x   )
2
f ( x)
x
jika x diskrit, dan
 Jika X kontinu



2
 E [( X   ) 
2
 ( x   ) f ( x ) dx
2

Akar kuadrat positif dari ragam, disebut simpangan
baku X.

Misalkan peubah acak X menyatakan banyaknya mobil
yang digunakan untuk keperluan dinas kantor pada
setiap hari kerja. Distribusi peluang untuk kantor A
adalah
x
1
2
3
f(x)
0,3
0,4
0,3
Dan untuk kantor B adalah
x
0
1
2
3
4
f(x)
0,2
0,1
0,3
0,3
0,1
Tunjukkan bahwa variansi distribusi peluang kantor B
lebih besar dari pada variansi kantor A
Jawab :
 Untuk kantor A diperoleh

  E ( X )  (1)( 0 ,3 )  ( 2 )( 0 , 4 )  ( 3 )( 0 ,3 )  2 , 0
dan

2
3

 ( x  2)
2
f ( x)
x 1
= (1-2)2 (0,3)+ (2-2)2 (0,3)+ (3-2)2 (0,3)=0,6

Untuk kantor B diperoleh :
  E ( X )  ( 0 )( 0 , 2 ) (1)( 0 ,1)  ( 2 )( 0 ,3 )  ( 3 )( 0 ,3 )  ( 4 )( 0 ,1)  2 , 0
Dan

2
4

 ( x  2)
2
f ( x)
x0
= (0-2)2 (0,2) + (1-2)2 (0,1) +(2-2)2 (0,3)+(3-2)2 (0,3) + (4-2)2 (0,1)
=1,6
Jelas..variansi banyaknya mobil yang digunakan untuk
Keperluan dinas lebih besar untuk kantor B daripada
untuk kantor
A.
2
Rumus  yang lebih mudah diberikan oleh teorema
Berikut :

Ragam peubah acak X adalah (Teorema 2)
  E(X )  
2
2
2

Misalkan X merupakan sebuah peubah acak
dengan sebaran probabilitas f(x). Ragam
peubah acak g(X) adalah
jika X diskrit

2
g(X )
 E {[ g ( X )   g ( X )] } 
2
 [ g ( x )   g ( X )] f ( x )
2
x
jika X kontinu.

2

 E {[ g ( X )   g ( X )] } 
2
g(X )
 [ g ( x )   g ( X )] f ( x ) d ( x )
2


Misalkan X dan Y merupakan peubah acak dengan
sebaran probabilitas gabungan f(x,y). variansi
dari X dan Y adalah
Jika X dan Y diskrit
 XY  E [( X   x )( Y   y )    ( x   x )( y   y ) f ( x , y )
x
y
jika X dan Y kontinu
 
 XY  E [( X   X )( Y   Y )] 
  ( x 

X
)( y   Y ) f ( x , y ) dxdy
 Peragam
dari dua peubah acak X dan Y
dengan nilai tengah masing-masing µX dan µY
diberikan oleh
 XY  E ( XY )   X  Y
 Jika
a dan b merupakan konstanta, maka
E(aX+b) = aE(X)+b
akibat dari teorema di atas adalah:


Dengan membuat a=0, kita lihat bahwa E(b)=0
Dengan membuat b=0, kita lihat bahwa
E(aX)=aE(X)
 Nilai
harapan penjumlahan atau perbedaan
dari dua atau lebih fungsi suatu peubah acak
X adalah penjumlahan atau perbedaan dari
nilai harapan fungsi itu. Dengan kata lain
E[g(X)±h(X)] = E[g(X)]±E[h(X)]
 Nilai
harapan dari penjumlahan atau
perbedaan dua fungsi atau lebih dari peubah
acak X dan Y merupakan penjumlahan atau
perbedaan dari nilai harapan fungsi itu.
Dengan kata lain
E[g(X,Y)±h(X,Y)] = E[g(X,Y)]±E[h(X,Y)]
Akibat
dari teorema di atas adalah

Dengan membuat g(X,Y) = g(X) dan h(X,Y) = h(Y)
kita lihat bahwa E[g(X)±h(Y)]=E[g(X)]±E[h(Y)]

Dengan membuat g(X,Y) = X dan h(X,Y) = Y, kita
lihat bahwa E(X±Y) = E(X) ± E(Y)
X
dan Y adalah dua peubah acak bebas, maka
E(XY) = E(X)E(Y)
 Jika
a dan b merupakan konstanta maka

2
a X a 
2
aX  Y
2
2
2
Akibat dari teorema tersebut adalah
 Dengan membuat a=1


2
X b


2
a 
2
2
X
dengan membuat b=0

2
aX
a 
2
2
X
2

Jika X dan Y adalah peubah acak dengan sebaran
probabilitas gabungan f(x,y) maka
2
2
 aX

a

 bY

 b  Y  2 ab 
2
X
2
2
XY
Akibat dari teorema tersebut adalah
 Jika X dan Y adalah peubah acak bebas, maka


2
aX  bY
 a 
2
 b Y
2
X
2
2
Jika X dan Y merupakan peubah acak bebas,
maka

2
aX  bY
 a 
2
2
X
 b 
2
2
Y
 Jika
X1, X2,…….,Xn adalah peubah acak
bebas, maka
 a 1 x 1 a 2 x 2  .......  a nx n  a 1  x 1  a 2 
2
2
2
2
x2
 ...  a 
2
n
2
Xn
 Probabilitas
bahwa setiap peubah acak X
akan mengambil suatu nilai di dalam k
simpangan baku dari nilai tengah paling
sedikit adalah 1-1/k²
P(µ-kσ<X<µ+kσ)≥1-1/k²
 Suatu
peubah acak X mempunyai rataan µ=8,
2
variasi  = 9, sedangkan peluang
distribusinya tidak diketahui. Hitunglah
a P(-4<X<20), dan b P( X  8  6 ).
Jawab :
a. P(-4<X<20) = P[8-(4)(3)<X<8+(4)(3)]  15/16
b. P( X  8  6 ) = 1–P( X  8 < 6)
= 1–P(-6 < X -8 < 6)
= 1–P[8-(2)(3)<X< 8+(2)(3)]  1/4