Transcript peubah acak diskret khusus

Peubah Acak
Diskret Khusus
Peubah Acak Bernoulli
Misalkan sebuah percobaan yang outcome-nya dapat
diklasifikasikan sebagai sukses dan gagal. Jika X=1 bila
outcome-nya berhasil dan X=0 bila outcome-nya gagal,
maka fungsi masa peluang dari X adalah
P(0) = P(X=0) = 1-p
(2.1)
P(1) = P (X=1) = p
dimana 0≤p≤1 adalah peluang keberhasilan
Peubah acak X dikatakan peubah acak Bernoulli jika fungsi
massa peluangnya adalah persamaan (2.1)
Peubah Acak Binomial



Misalkan dilakukan n percobaan yang bebas,
Masing – masing menghasilkan outcome
berhasil dengan peluang p dan gagal dengan
peluang 1-p.
Jika X adalah banyaknya keberhasilan yang
terjadi dari n percobaan, maka X dikatakan
peubah acak Binomial dengan parameter (n,p)
Peubah Acak Binomial
Contoh :
Lima koin yang setimbang dilemparkan. Jika outcome-nya
diasumsikan bebas, temukan fungsi massa peluang dari
banyaknya gambar yang muncul.
Suatu ujian terdiri atas 10 pertanyaan pilihan berganda,
masing – masing dengan 4 kemungkinan jawaban dan
hanya satu yang benar. Berapa peluang seorang yang
menjawab hanya secara menebak – nebak saja
memperoleh 10 jawaban yang benar?
Peubah Acak Binomial
Fungsi massa peluang dari peubah acak
Binomial dengan parameter (n,p) adalah
 n i
n i
p(i)    p (1  p)
i
Peubah Acak Poisson
Peubah acak X yang mengambil salah satu
dari nilai 0,1,2,…dikatakan peubah acak
Poisson dengan parameter  jika untuk
>0,
i


p(i )  P( X  i )  e
i=0,1,2,…
i!
Peubah Acak Poisson
Peubah acak Poisson dapat digunakan
sebagai pendekatan peubah acak
binomial dengan parameter (n,p) bila n
besar dan p cukup kecil sehingga np
adalah ukuran yang sedang, sehingga
banyaknya sukses yang terjadi dapat
didekati dengan peubah acak Poisson
dengan parameter =np.
Peubah Acak Poisson
Beberapa contoh peubah acak yang mengikuti
hukum peluang Poisson
 Banyaknya kesalahan cetak suatu halaman
dalan satu buku
 Banyaknya orang dalam suatu populasi yang
hidup sampai 100 tahun
 Banyaknya nomor telepon yang salah yang didial dalam suatu hari
Peubah Acak Poisson
Contoh :
Misalkan suatu mesin cetak membuat
kesalahan secara acak pada kertas cetak,
rata – rata 2 kesalahan tiap kertas. Hitung
peluang bahwa dalam satu kertas yang
dicetak, terdapat satu kesalahan cetak
Peubah Acak Geometrik
Misalkan percobaan yang bebas, masing – masing dengan
peluang sukses adalah p, 0<p<1, dilakukan sampai
suatu sukses terjadi. Jika X adalah banyaknya
percobaan yang diperlukan, maka
P ( X = n ) = (1-p)n-1p
n = 1,2,…
Peubah acak X yang mempunyai fungsi massa peluang
seperti di atas dikatakan peubah acak geometrik dengan
parameter p
Peubah Acak Geometrik
Hitunglah peluang bahwa seseorang yang
melemparkan sekeping uang logam yang
setimbang, memerlukan 4 lemparan sampai
diperoleh sisi gambar
Suatu keranjang yang terdiri dari N bola putih dan
M bola hitam. Bola diambil secara acak, sampai
bola hitam terambil. Diasumsikan setiap bola
yang terambil dikembalikan lagi sebelum
pengambilan berikutnya, berapa peluang bahwa
(1) tepat n pengambilan diperlukan
Peubah Acak Binom Negatif
Misalkan percobaan bebas, masing – masing
dengan peluang sukses p, 0<p<1, dilakukan
sampai diperoleh r sukses. Jika X adalah
banyaknya percobaan yang diperlukan, maka
 n  1 r
 p (1  p) nr
P( X  n)  
 r  1
Peubah acak yang fungsi massa peluangnya
mengikuti persamaan di atas dikatakan sebagai
peubah acak binom negatif dengan parameter
(r,p)
Peubah Acak Binom Negatif
Hitunglah peluang seseorang yang
melemparkan tiga uang logam akan
mendapatkan semua sisi gambar atau
semua sisi angka untuk yang kedua
kalinya pada lemparan yang kelima
Peubah Acak Binom Negatif
Seorang dokter anak ingin merekrut 5 pasang
suami istri yang mempunyai anak. Dia berharap
agar kelima pasangan tersebut bersedia
mengikutkan anak pertama mereka mengikuti
suatu program pengembangan intelegensia.
Jika peluang suatu pasangan bersedia
mengikutkan anaknya mengikuti program
tersebut adalah 0.2, berapa peluang bahwa
pasangan ke-15 yang ditanya adalah pasangan
kelima yang bersedia mengikutkan anaknya
mengikuti program tersebut
Peubah Acak Hipergeometrik
Misalkan bahwa sebuah contoh berukuran n diambil secara acak
(tanpa pengembalian) dari suatu wadah yang berisi N bola, dimana
Np diantaranya berwarna putih dan N-Np berwarna hitam. Jika X
adalah banyaknya bola putih yang terambil maka fungsi massa
peluang dari X adalah  Np  N  Np 

 k 

 nk



P( X  k ) 
N

 n






Peubah acak X yang mempunyai fungsi massa peluang seperti pada
Persamaan di atas untuk suatu nilai n,N,dan p dikatakan peubah
acak hipergeometrik
Peubah Acak Hipergeometrik
Seseorang hendak menanami halaman belakang
dan depan rumahnya dengan tanaman bunga.
Dari sebuah kotak yang berisi 3 umbi tulip dan 4
umbi mawar, ia mengambil 3 umbi secara acak
untuk ditanam di halaman depan dan sisanya
ditanam di halaman belakang. Berapa peluang
ketika musim berbunga tiba di halaman depan
berbunga 1 tulip dan 2 mawar?
Suatu perusahaan mempunyai 20 doktor dengan 5
diantaranya adalah doktor terbaik di bidang
teknik. Suatu tim yang terdiri dari 10 orang akan
dibentuk untuk menyelesaikan suatu
permasalahn yang cukup berat. Berapa peluang
kelima doktor terbaik yang dimiliki oleh
perusahaan tersebut masuk dalam tim yang
akan dibentuk?
Soal –soal
Tabel berikut menampilkan fungsi sebaran
kumulatif dari peubah acak diskret. Tentukan
fungsi massa peluangnya
k
0 1
2
3
4
5
F(k)
0 0.1 0.3 0.7 0.8 1.0
2. Dari dua percobaan berikut, mana yang lebih
besar peluangnya : (1) munculnya 9 Gambar
dalam pelemparan 10 koin yang seimbang (2)
munculnya 18 Gambar pada pelemparan 20
koin yang setimbang.
1.
3. Disebuah bagian kota, keperluan uang untuk membeli
ganja dan sejenisnya ternyata melatarbelakangi 75%
peristiwa pencurian yang terjadi. Berapa peluang
bahwa tepat 2 diantara 4 kasus pencurian berikutnya
dilatarbelakangi oleh keperluan uang untuk membeli
ganja?
4. Sebuah panitia yang terdiri dari 5 orang diambil secara
acak dari 3 perempuan dan 5 laki – laki. Carilah
sebaran peluang bagi banyaknya perempuan dalam
panitia itu.
5. Hitunglah peluang bahwa seseorang yang
melemparkan sekeping uang logam yang
setimbang, memerlukan 4 lemparan sampai
diperoleh sisi gambar.
6. Rata – rata jumlah hari sekolah ditutup karena
salju selama musim dingin adalah 4. Berapa
peluang bahwa sekolah – sekolah di kota
tersebut akan tutup selama 6 hari dalam suatu
musim dingin.
7. Peluang penduduk di suatu kota mempunyai anjing
diduga sebesar 0.3. Hitunglah peluang bahwa orang
yang kesepuluh yang diambil secara acak untuk
diwawancarai dalam kota ini adalah orang kelima yang
mempunyai anjing.
8. Seorang ilmuwan menginokulasikan beberapa tikus,
satu demi satu dengan suatu bakteri penyakit sampai
ia memperoleh 2 tikus yang terkena penyakit itu. Bila
peluang terjangkiti penyakit itu adalah 1/6, berapa
peluang bahwa dalam percobaan itu diperlukan 8
tikus?
9. Peluang bahwa seseorang siswa berhasil lolos tes
scoliosis adalah 0.004. Diantara 1875 siswa yang dites
scoliosis, hitunglah peluang terdapat kurang dari 5
yang tidak berhasil lolos dari tes itu.
10. Misalkan bahwa secara rata – rata 1 diantara 1000
orang membuat kesalahan angka dalam melaporkan
pajak pendapatannya. Bila 10000 formulir diambil
secara acak dan diperiksa, berapa peluang terdapat 7
formulir yang mengandung kesalahan?
11. Misalkan bahwa mesin pesawat terbang bekerja tidak tergantung
satu dengan lainnya dan peluang mesin itu rusak adalah 1/5.
Seandainya pesawat terbang selamat bila sekurang – kurangnya
separuh dari jumlah mesinnya bekerja dengan baik, tentukan
mana yang berpeluang selamat lebih besar pesawat bermesin 4
atau pesawat bermesin 2?
12. Peluang seseorang sembuh dari suatu penyakit darah adalah 0.4.
Bila 15 orang diketahui menderita penyakit ini, berapa peluang
bahwa



sekurang – kurangnya 10 orang dapat sembuh
ada 3 sampai 8 orang yang sembuh
tepat 5 orang yang sembuh
13. Suatu ujian terdiri atas 15 pertanyaan pilihan berganda,
masing – masing dengan 4 kemungkinan jawaban dan
hanya satu yang benar. Berapa peluang seorang yang
menjawab hanya secara menebak – nebak saja
memperoleh 5 sampai 10 jawaban yang benar?
14. Perusahaan telpon melaporkan bahwa di antara 5000
pemasang telpon baru, 4000 menggunakan telpon ‘
tombol ‘. Bila 10 di antara pemasang baru tersebut
diambil secara acak, berapa peluang tepat ada 3
orang yang menggunakan tipe putar?
15. Dari 12 peluru kendali, 5 diambil secara acak dan ditembakkan, bila
diantara 12 peluru itu terdapat 3 peluru yang rusak sehingga
macet bila ditembakkan, berapa peluang bahwa


kelima-limanya berhasil ditembakkan?
Sebanyak-banyaknya 2 yang macet?
16. Misalkan peluangnya seseorang akan mempercayai suatu cerita
mengenai hidup setelah mati adalah 0.8. Berapa peluang bahwa


Orang keenam yang mendengar cerita itu adalah yang keempat yang
mempercayainya?
Orang ketiga yang mendengar cerita itu adalah yang pertama yang
mempercayainya