.

+ Teorema Pithot : Suatu lingkaran yang dapat digambarkan dalam segiempat ABCD konveks, jika dan hanya jika dipenuhi: Bukti: Gambarkan sesuai dengan skenario soal. Misalkan titik singgung lingkaran pada sisi-sisi AB, BC, CD, DA berturut-turut E,F,G dan H, maka berlaku: Karena Jadi:

Teorema pivot: Diberikan segitiga ABC dan titik-titik L, M, N dipilih berturut-turut pada sisi-sisi BC, CA dan AB (tidak pada titik sudutnya). Maka lingkaran-lingkaran AMN, BNL dan CLM berpotongan di titik P, yang disebut titik pivot.

Bukti: Andaikan P di dalam segitiga ABC. Misalkan pula bahwa lingkaran-lingkaran yang melalui BNL dan CLM berpotongan di P.

Karena BNPL

cyclic

, maka demikian juga CMPL

cyclic

, maka

, Mengingat, berarti: AMPN

cyclic

, jadi lingkaran AMN melalui P.

Teorema Pivot, disebut juga sebagai teorema Miquel.

Beberapa contoh soal untuk bahan diskusi

1. Diberikan segitiga ABC; melalui sisi-sisi AB,BC dan CA berturut-turut dibuat segitiga sama sisi (dalam arah keluar) ABF, BCE dan CAD. Buktikan bahwa: (a) AE = BD = CF (b) AE, BD dan CF konkuren (c) Segitiga KLM sama sisi, jika K,L dan M berturut turut circum center dari segitiga-segitiga: CAD, ABF dan BCE 2. Diberikan segitiga ABC sama sisi, titik P di dalamnya. Buktikan bahwa jumlah jarak dari P ke sisi-sisi segitiga ABC konstan.

3. Diberikan segitiga ABC dan titik-titik L,M,N berturut-turut pada sisi-sisi BC, CA dan AB. Andaikan lingkaran-lingkaran AMN, BNL, CLM berturut-turut berpusat di O A , O B dan O C . Buktikan bahwa segitiga-segitiga: O A dan ABC sebangun.

O B O C