Transcript MODUL_III_-_Transformations_of_Stress_Strain

TRANSFORMATIONS OF
STRESS AND STRAIN
MODUL III
Pada suatu elemen benda tegar berbentuk kubus yang bertitik pusat pada Q dan
pada kondisi seimbang, maka gaya-gaya tersebut dapat diuraikan menjadi gaya
yang bekerja pada arah normal dari kubus tersebut yaitu σx, σy, dan σz dan gayagaya yneg bekerja tangensial yaitu gaya geser yaitu τxy, τyz dan τzx (gb 7.1.a).
Kondisi yang sama juga akan berlaku jika kubus kita rotasikan (gb 7.1.b).
Dalam transformasi tegangan dan regangan, yang dibahas hanyalah tegangan
bidang (plane stress) yang berarti hanya bekerja pada dua sumbu kartesian saja
(2D) misalnya x, dan y dimana sumbu z tegak lurus terhadap x dan y. Karenanya
komponen tegangan dan regangan σz, τzx dan τzy dia
baikan atau σz = τzx = τzy = 0 (gb 7.2)
TRANSFORMASI TEGANGAN BIDANG
Perlu diingat, bahwasannya tegangan bidang (plane stress) hanya bekerja
pada dua sumbu misal x dan y. Jika sumbu z dilibatkan, maka kondisi
tegangan bukan pane stress, tapi 3D state of stresses.
Seperti yang ditunjukkan pada Gb.
7.5.a yang menunjukkan tegangan
bidang yang dirotasikan pada sumbu z
sebesar ϴ, maka untuk menentukan
besarnya tegangan normal σx’ dan
tegangan geser τx’y’ yang bekerja pada
x’ maka dapat kita gunakan asumsi
seperti yang ditunjukkan pada gambar
7.6.
Dengan metode statika,
keseimbangan gaya pada arah x’ dan
y’ adalah:
Yang kemudian dpat disederhanakan untuk mendapatkan σx’ dan τx’y’ menjadi
Dengan mengingat bahw a dalam trigonometri berlaku persamaan:
maka
Untuk σy’ yang tegak lurus terhadap σx’ berlaku ϴ + 90o dan karena cos(2ϴ+180o) = -cos 2ϴ dan
sin (2ϴ+180o) = -sin 2ϴ, maka
Persamaan 7.5 dan 7.6 adalah persamaan
parametrik yang memiliki absis dan ordinat σx’
dan τx’y’. Jika kita membuat sebuah titik M pada
koordinat (σx’,τx’y’) maka untuk nilai ϴ berapa saja
titik M akan selalu berada pada sebuah lingkaran
(gb. 7.7).
Jika persamaan 7.5 dan 7.6 kita bawa ke bentuk persamaan lingkaran sedemikian rupa (coba anda
cari bentuk umum persamaan parametrik lingkaran) akan diperoleh persamaan:
Jika
Maka 7.10 dapat dirubah menjadi
Yang merupaka
persamaan lingkaran
dengan radius R
dengan pusat
lingkaran C, absis σave
dan ordinat 0 (gb 7.7).
Perhatikan titik A dan B yang menunukkan harga maksimum dan minimum σx’ dan keduanya
berada pada titik nol tegangan geser τx’y’. Besarnya ϴp yang berkaitan dengan A dan B dapat
diperoleh dengan persamaan (gb 7.9):
Persamaan 7,12 mendefinisikan besaran 2ϴp yaitu jarak
tegangan normal maksimal sebesar 180o dan besar ϴp
yaitu 90o jarak sudut tegangan normal maksimum dan
minimum (gb. 7.9). Tegangan normal maksimum dan
minimum tersebut disebut dengan tegangan utama
(principal stress) pada titik Q dan padanya tidak ada
tegangan geser yang terjadi karena τx’y’ adalah nol.
Dati gb. 7.7. dapat dilihat bahwa:
maka
Dengan memperhatikan gb. 7.7 dapat kita simpulkan pula bahwa titik D dan E yang terletak pada
diameter vertikal lingkaran menunjukkan angka terbesar dari tegangan geser τx’y’ . Karena absis
titk D dan E adalah σave = ½ (σx + σy) maka besarnya ϴ didapat dengan σx’ = ½ (σx + σy). Hal
tersebut mensyaratkan dua suku terakhirpersamaan tersebut harus sama dengan nol, dan
dengan menyatakan ϴ = ϴs maka:
atau
Persamaan ini mendefinisikan
dua nilai 2ϴ yang berjarak
180o sehingga terdapat dua
nilai ϴs yang berbeda.
Persamaan ini digunakan
untuk menentukan orientasi
elemen yang berkaitan
dengan tegangan geser
maksimum (gb. 7.10)
Dengan memperhatikan gb. 7.7 bahwa tegangan geser maksimum sama dengan jejari R lingkaran,
maka dari persamaan
Dapat kita gantikan dengan
Dan tegangan normal yang berkaitan dengan tegangan geser maksimum adalah
Komparasi 7.12 dan 7.15 dapat kita simpulkan bahwa bidang dengan tegangan geser maksimum
berada pada dufut 45o dari bidang utama (principal planes) yang padanya terletak tegangan
utama (principal plane). Ini sesuai dengan hasil pada definisi tegangan regangan dan puntiran
(torsi) yang sudah dibahas sebelumnya.
Perlu dicatat bahwa uraian diatas berlaku hanya pada rotasi tegangan bidang (2D). Jika rotasi
dilakukan pada sumbu selain sumbu z, maka bidang tersebut akan mengalami tegangan geser
lebih besar dan ini akan dibahas pada pertemuan berikutnya.
LATIHAN SOAL