Transcript Parejas ordenadas

Relaciones Entre Conjuntos
 Profesor:
 Francisco carrera.
 Fecha:
 9/11/12.
 Alumno:
 Kristie Herrera Brenes
 Mauricio Solano Castro
Parejas ordenadas
 El orden de los elementos en un conjunto de dos
elementos no interesa, por ejemplo:
 {3, 5} = {5, 3}
 Tambien se les conoce como tuplas cuando son pares
ordenados
 Por otra parte, escribe (a, b), en donde a es el primer
elemento y b es el segundo. Dos parejas ordenadas (a,
b) y (c, d) son iguales si y solamente si a = c y b = d.
Producto cartesiano
 Considere dos conjuntos arbitrarios A y B. El conjunto de
todas las parejas ordenadas (a, b) en donde a ∈A y b ∈B

 EJEMPLO
 Si A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4}, el producto cartesiano es:
 A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4),
(c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}
Correspondencias y aplicaciones
entre conjuntos
 A partir de la definición de producto cartesiano,
introduciremos las relaciones más importantes que se
pueden establecer entre los elementos de dos conjuntos
dados.
Se definen también los siguientes
conjuntos:
 El conjunto A es el conjunto inicial o conjunto de partida, que
es del que salen las flechas.

 El conjunto B es el conjunto final o conjunto de llegada, que
es al que llegan las flechas.
A
 Inicial
 Original
 Preimagen
 Dominio
B
final
imagen
codominio
rango
Correspondencias
 Dados dos conjuntos A y B, se denomina correspondencia ƒ
entre A y B a un subconjunto delproducto cartesiano de A por
B.

 Al conjunto de los pares de una correspondencia se le
denomina grafo, y se representa por G.
Correspondencias
 EJEMPLO
 Si A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3, 4}, y un grafo
 G = [(a, 2), (b, 2), (b, 3), (c, 4)}. Vemos que G es un
subconjunto de A x B, es decir, G ⊂ (A x B).
Tipos de correspondencia
 1. Correspondencia en o inyectiva
 es decir, a cada elemento del conjunto final puede llegarle
una o ninguna flecha.
 ƒinyectiva ⇔∇y1,y2∈B,dondey1 =ƒ(x1), y2=ƒ(x2),siy1 =y2
⇒x1=x2,∇x1,x2∈A
 Ejemplo:
Tipos de correspondencia
2. Correspondencia sobre o suprayectiva o exhaustiva
 es sobre cuando el conjunto imagen coincide con el
conjunto final; es decir, cuando todo elemento del conjunto
final es imagen de al menos uno del inicial.
Tipos de correspondencia
 3. Correspondencia unívoca:Una correspondencia ƒ es
unívoca cuando cada elemento del conjunto original tiene
como máximo una imagen; es decir, de cada elemento del
conjunto inicial puede partir una o ninguna flecha al
conjunto final.
Tipos de correspondencia
 4. Correspondencia multívoca:Una correspondencia ƒ es
multívoca cuando existe algún elemento del conjunto inicial
con dos o más imágenes.
Tipos de correspondencia
 5. Correspondencia biunívoca:Una correspondencia
unívoca ƒ entre dos conjunto A y B es biunívoca cuando su
correspondencia inversa ƒ-1 también es unívoca.
Clases de aplicaciones:
 1.Aplicación inyectiva: Es aquella en la que a cada elemento
del conjunto imagen le corresponde a uno y sólo a un
elemento del conjunto original; es decir, cada elemento del
conjunto final es imagen de al menos un elemento del
conjunto original.
Clases de aplicaciones:
 2. Aplicación suprayectiva o exhaustiva: Es la aplicación
que verifica que el conjunto final es igual a su conjunto
imagen.
Clases de aplicaciones:
 3. Aplicación biyectiva:Es la aplicación que a la vez es
inyectiva y suprayectiva. Obsérvese que en este caso, si los
dos conjuntos son finitos, deben tener el mismo cardinal.
Relaciones:
 Una relación puede pensarse como una tabla que enumera
la relación de algunos elementos con otros.
Relación binaria
 La relación binaria definida en un conjunto A es un
subconjunto del producto cartesiano A x A.
 EJEMPLO
 Sea el conjunto A = {x, y, z}. El grafo de la siguiente figura
representa una relación binaria definida en A, puesto que los
pares (x, z), (y, x) (y, y) constituyen un subconjunto de A x A.
Propiedades de una relación
binaria
 Las principales propiedades que puede presentar una
relación binaria R definida en un conjunto A se indican en la
siguiente tabla, junto con sus respectivas condiciones.
Propiedades de una relación
binaria
 1. Reflexiva. Cada elemento tiene un bucle
 Ejemplo:
 Si A = {1, 2, 3, 4} y R es la relación “ser igual que”, se tiene:
 R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}
Propiedades de una relación
binaria
 2. Anterreflexiva. Ningún elemento tiene un bucle.
 Ejemplo:
 Si A = {1, 2, 3, 4} y R es la relación “ser menor que”, se tiene:
 R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}
Propiedades de una relación
binaria
 3. Simétrica. Cada flecha de ida tiene otra de vuelta.
 Ejemplo:
 SiA={-1,2,-3,4}yRestalque∇a,b ∈A, a R b ⇔ a⋅ b>0, setiene:
 R = {(-1, -1), (-1, -3), (2, 2), (2, 4), (-3, -1), (-3, -3), (4, 2), (4, 4)}
Propiedades de una relación
binaria
 4. Antisimétrica en sentido amplio.Ninguna flecha de ida
tiene otra de vuelta, salvo en el caso de los bucles, que están
permitidos.
 Ejemplo:
 Si A = {1, 2, 3, 4} y R es la relación “ser menor o igual que”, se
tiene:
 R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (1, 1), (2, 2), (3, 3),
(4, 4)}
Propiedades de una relación
binaria
 5. Antisimétrica en sentido estricto.Ninguna flecha de
ida tiene otra de vuelta, y no están permitidos los bucles.
 Ejemplo:
 Si A = {5, 7, 10} y R es la relación “ser menor que”, se tiene:
 R = {(5, 7), (5, 10), (7, 10)}