Transcript 신뢰도 계산 (Case 2)

MAE430 “기계공학에서의 신뢰성 공학”
(Term Project #2)
Team 6
11
2015.12.01
20155048 김승중
20153459 이재복
목차
• Step1. Term project #1 요약
• Step2. 신뢰도 계산
- 확률밀도함수가 주어진 경우
- 데이터만 주어진 경우
• Step3. 결과 및 고찰
22
Term Project #1 요약
(1) Data set #1 분석결과
- 목측 (Weibull), R-square (Weibull), K-S 검정
에 의한 검정 완료
- 모든 경우 낮은 직진성  K-S 검정 결과 사용
① Log-Normal & 평균 랭크법
② Weibull & 대칭누적분포법
(K-S검정을 통과하며, 최대 𝑹𝟐 을 갖는 경우)
(2) Data set #2 분석결과
- 목측, R-square, K-S 검정 결과 모두 Weibull
- Weibull & 메디안 랭크법 선택
33
1. 응력 / 강도 데이터 결정
Data set #1
Data set #2
이재복 (9)
김승중 (11)
40
72
151
155
194
200
203
234
620
𝝁𝟏
𝝈𝟏
207.667
157.580
응력
(Stress)
<
30
𝝁𝟐
𝝈𝟐
368.556
259.277
강도
(Strength)
72
100
169
236
348
402
594
632
644
674
44
2. 신뢰도 계산
(1) 확률 밀도 함수 사용
Log-Normal
& 평균랭크
응력
(Stress)
Weibull
𝑥
𝐹𝜎 𝑥 = 1 − 𝑒𝑥𝑝[−
𝟐𝟑𝟐. 𝟒𝟎𝟓
& 대칭표본누적분포법
강도
(Strength)
Case 1 →
Weibull
& 메디안랭크
𝐹𝑠 𝑥 = 1 − 𝑒𝑥𝑝[−
Stress : Log-normal & 평균랭크
Case 2 →
Strength : Weibull & 메디안랭크
𝑥
𝟒𝟎𝟑. 𝟕𝟗𝟖
𝑃𝑓 =
𝜎
𝑓𝜎 𝜎 ∙
0
∞
𝑅=
0
55
𝑓𝑠 𝑆 𝑑𝑆 𝑑𝜎 =
𝑓𝜎 𝜎 ∙ 𝐹𝑠 𝜎 𝑑𝜎
0
∞
𝑓𝜎 𝜎 ∙
∞
𝑓𝑠 𝑆 𝑑𝑆 𝑑𝜎 = 1 −
𝜎
m : 1.5178
𝟏.𝟓𝟏𝟕𝟖
]
𝟏.𝟎𝟓𝟗
]
ξ : 232.405
m : 1.059
ξ : 403.798
Strength : Weibull & 메디안랭크
∞
0
σ : 0.9917
Stress : Weibull & 대칭누적분포법
- 신뢰도 계산
∞
μ : 5.0879
1
ln(𝑥) − 𝟓. 𝟎𝟖𝟖
𝐹𝜎 (𝑥) = (1 + 𝑒𝑟𝑓
2
𝟎. 𝟗𝟗𝟐 × 2
𝑓𝜎 𝜎 ∙ 𝐹𝑠 𝜎 𝑑𝜎 = 1 − 𝑃𝑓
0
2. 신뢰도 계산
- 신뢰도 계산 결과 (Case 1)
Strength - Weibull
Stress - Log-Normal
𝑓 𝜎
Stress p.d.f mean = exp 𝜇 +
∞
𝑓(𝑠)
Strength p.d.f mean = 𝜉 ×
0
𝜎2
2
𝑡1 𝑚
𝑑𝑡
exp(𝑡 )
= 265.08
= 394.80
신뢰도 (𝑹) = 62.46 %
파손확률 (𝑷𝒇 ) = 37.54 %
𝜎, 𝑠
66
2. 신뢰도 계산
- 신뢰도 계산 결과 (Case 2)
Strength - Weibull
Stress - Weibull
𝑓 𝜎
∞
Stress p.d.f mean = 𝜉 ×
0
∞
𝑓(𝑠)
Strength p.d.f mean = 𝜉 ×
0
𝑡1 𝑚
𝑑𝑡
exp(𝑡 )
= 209.51
𝑡1 𝑚
𝑑𝑡
exp(𝑡 )
= 394.80
신뢰도 (𝑹) = 63.79 %
파손확률 (𝑷𝒇 ) = 36.21 %
𝜎, 𝑠
77
2. 신뢰도 계산
(2) 데이터 만을 이용한 도식적 방법
- 신뢰도 계산 방법
∞
𝑅=
∞
𝑓𝜎 𝜎 ∙
0
𝑓𝑠 𝑆 𝑑𝑆 𝑑𝜎 =
𝜎
여기서
∞
𝐺=
𝑓𝑠 𝑆 𝑑𝑆 = 1 − 𝐹𝑆 (𝜎)
𝜎
𝜎
𝐻=
𝑓𝜎 𝜎 𝑑𝜎 = 𝐹𝜎 (𝜎)
0
신뢰도 R 은 다음과 같다.
1
𝑅=
𝐺𝑑𝐻
0
88
∞
𝑓𝜎 𝜎 ∙ [1 − 𝐹𝑠 𝜎 ] 𝑑𝜎
0
2. 신뢰도 계산
(2) 데이터 만을 이용한 도식적 방법
- 파손확률 계산 방법
∞
𝑃𝑓 =
𝑓𝑠 𝜎 [1 − 𝐹𝜎 𝑆 ] 𝑑𝑆
0
𝐹𝑠 𝑆
여기서
[1 − 𝐹𝜎 𝑆 ]
𝑓𝑠 𝑠 𝑑𝑆 = 𝑑𝐹𝑠 (𝑆)
𝐹𝑠 𝑆
[1 − 𝐹𝜎 𝑆 ]
𝑆
파손확률 𝑃𝑓 는 다음과 같다.
1
𝑃𝑓 =
[1 − 𝐹𝜎 𝑆 ] 𝑑𝐹𝑠 (𝑆)
0
99
2. 신뢰도 계산
- 𝑭𝒔 𝒗𝒔. 𝟏 − 𝑭𝝈
40 ~ 620
F(str)
1-F(sig)
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0.0
0.0
0
100
200
300
400
500
600
700
0
100
200
300
400
Strength
Strength
Case 1
Case 2
30 ~ 674
10
10
F(str)
1-F(sig)
1.0
F(str)
F(str)
1.0
500
600
700
2. 신뢰도 계산
- 신뢰도 계산 (Case 1)
상한법
하한법
삼각형법
1-F(sig)
1-F(sig)
1.0
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
1-F(sig)
1.0
1-F(sig)
1-F(sig)
1-F(sig)
1.0
0.4
0.2
0.2
0.2
0.0
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
F(str)
0.8
1.0
0.4
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
F(str)
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
F(str)
𝑷𝒇
37.66 %
34.19 %
35.93 %
𝑹
62.34 %
65.81 %
64.07 %
11
11
0.8
1.0
2. 신뢰도 계산
- 신뢰도 계산 (Case 2)
상한법
하한법
삼각형법
1-F(sig)
1-F(sig)
1.0
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.2
1-F(sig)
1.0
1-F(sig)
1-F(sig)
1-F(sig)
1.0
0.4
0.2
0.0
0.2
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
F(str)
0.8
1.0
0.4
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
F(str)
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
F(str)
𝑷𝒇
35.22 %
33.42 %
34.32 %
𝑹
64.78 %
66.58 %
65.68 %
12
12
0.8
1.0
3. 결과 및 고찰
- 파손확률 및 신뢰도 결과 비교
13
13
Case 1
Case 2
Stress : Log-normal & 평균랭크
Stress : Weibull & 대칭누적분포
Strength : Weibull & 메디안랭크
Strength : Weibull & 메디안랭크
Case 1
(%)
확률분포 이용
파손확률 (𝑃𝑓 )
신뢰도 (𝑅)
도식적 방법
상한법
하한법
삼각형법
37.54
37.66
34.19
35.93
62.46
62.34
65.81
64.07
Case 2
(%)
확률분포 이용
파손확률 (𝑃𝑓 )
신뢰도 (𝑅)
도식적 방법
상한법
하한법
삼각형법
36.21
35.22 %
33.42 %
34.32 %
63.79
64.78 %
66.58 %
65.68 %
3. 결과 및 고찰
- Discussion
 확률밀도함수를 이용한 신뢰도 계산

각 두 가지 case의 경우, 취성재료의 특성을 나타내는 극치분포 (최약링크모델)를 따르는 것을 확인하였다.

확률분포를 이용하는 방법은 사용하기 간단한 장점이 있지만, 실제 데이터와 일치하기는 어렵기 때문에
결과의 신뢰도가 낮을 가능성이 존재한다.

응력의 peak이 강도의 peak보다 우편에 위치하여 정확한 계산인지 의심이 되었으나, 평균값을 고려하였
을 때, 모두 강도의 평균값이 응력의 평균값 보다 큰 것을 확인하여, 만족한 결과라고 판단하였다.
𝑓 𝜎
𝑓 𝜎
Stress p.d.f mean = exp 𝜇 +
∞
Strength p.d.f mean = 𝜉 ×
0
𝑡1 𝑚
𝑑𝑡
exp(𝑡)
= 265.08
∞
Stress p.d.f mean = 𝜉 ×
0∞
= 394.80
Strength p.d.f mean = 𝜉 ×
0
𝑡1 𝑚
𝑑𝑡
exp(𝑡)
= 209.51
𝑡1 𝑚
𝑑𝑡
exp(𝑡)
= 394.80
𝑓(𝑠)
𝑓(𝑠)
𝜎, 𝑠
14
14
𝜎2
2
신뢰도 (𝑅) = 62.46 %
신뢰도 (𝑅) = 63.79 %
파손확률 (𝑃𝑓 ) = 37.54 %
파손확률 (𝑃𝑓 ) = 36.21 %
𝜎, 𝑠
3. 결과 및 고찰
- Discussion
 도식적 방법을 이용한 신뢰도 계산

도식적 방법은 실제데이터를 이용하여 특별한 가정 없이 신뢰도 또는 파손확률을 평가하므로 사용에 제
한이 없고 결과의 신뢰도가 높은 장점이 있다.

도식적 방법으로 신뢰도를 구할 때, 데이터 수가 적고 구간이 짧아 하한법, 삼각형법, 상한법에 따라 신뢰
도의 차이가 비교적 크게 발생하였다.

과제 1에서 채택한 Case1의 경우, Case 2에 반하여 확률밀도함수에 의한 신뢰도 계산결과가 도식적 방법
의 범위에 포함되는 것을 확인하였고, 결과적으로 과제 1의 결과가 합리적인 결과임을 알 수 있었다.

실제 설계에서는 낮은 신뢰도가 나타나는 방법을 이용하는 것이 안전하다고 생각하여, 상한법을 사용하
는 것이 좋을 것으로 판단하였다.
15
15
Q&A
16
16
감사합니다
17
17
부록
Stress
Strength
Case 1
Stress : Log-normal & 평균랭크
Weibull
Log Normal
Strength : Weibull & 메디안랭크
μ : 5.0879
m : 1.059
σ : 0.9917
ξ : 403.798
Stress
Strength
Case 2
Stress : Weibull & 대칭누적분포
Strength : Weibull & 메디안랭크
18
18
Weibull
Weibull
m : 1.5178
m : 1.059
ξ : 232.405
ξ : 403.798