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Transcript PDF를 이용한 신뢰도 계산
[신뢰성 공학]
Prof. Ji-ho Song
Term Project #2
Team 2
김 동 욱 (20153077)
박 범 찬 (20145111)
1
2
1
2
3
4
5
3
Project1
데이터결과
4
Project1의 데이터 set
Data set 1
(n=52)
Data set 2
(n=53)
96
563
16
79
380
443
49
417
449
495
238
163
315
45
513
474
159
235
488
328
235
273
140
92
187
450
441
462
546
194
281
35
239
147
460
377
262
458
463
139
413
386
513
152
207
305
236
492
188
373
398
361
393
352
30
80
371
185
408
453
114
412
93
262
484
91
207
453
194
336
27
313
544
545
428
155
134
408
360
327
305
190
30
355
150
116
323
278
96
240
430
317
461
48
209
398
440
483
242
170
399
468
40
188
10
5
Data set 1 추정결과
96
563
380
443
449
495
1
235
235
273
187
450
546
194
239
147
262
458
413
386
207
305
188
373
393
352
371
185
114
412
484
91
194
336
544
545
134
408
305
190
150
116
96
240
461
48
440
483
399
468
Equation
y = a + b*x
Weight
No Weighting
Residual Sum of
Squares
1.54729
Pearson's r
0.98895
0.97759
Adj. R-Square
Value
0.8
Weibull
Intercept
Slope
Standard Error
-10.97282
0.22227
1.8699
0.03963
0
0.6
Weibull
159
45
c.d.f
315
2
Mean_Weibull
Theorectical Curve
alpha=0.05
alpha=0.15
1.0
0.4
m 1.8699
353.5878
0.2
0.0
-1
-2
-3
Weibull
Linear Fit of _ Weibull
-4
0
100
200
300
400
500
600
3.5
4.0
4.5
5.0
x
Weibull
Distribution
5.5
6.0
6.5
ln(x)
대칭 표본
누적 분포
평균 랭크
(Mean Rank)
메디안 랭크
(Median Rank)
그 외의 방법
0.97444
0.97759
0.97676
0.97615
‘Weibull Dist.’ 중 R-square 값이 가장 높은 ‘Mean rank 법(0.97759)’을 최종적으로
선택함.
6
Data set 2 추정결과
417
238
163
513
474
488
328
140
92
441
462
281
35
460
377
463
139
513
152
236
492
398
361
30
80
408
453
93
262
207
453
27
313
428
155
360
327
30
355
323
278
430
317
209
398
242
170
40
188
10
Mean_Normal
Theorectical Curve
alpha=0.05
alpha=0.15
1.0
2
Equation
y = a + b*x
Weight
No Weighting
Residual Sum of
Squares
2.23484
Pearson's r
0.97563
0.9509
Adj. R-Square
Value
0.8
1
Normal
Intercept
Normal
Slope
Standard Error
-1.56242
0.05699
0.00575
1.81205E-4
0.6
Normal
79
49
c.d.f
16
0.4
271.7252
173.913
0.2
0.0
0
100
200
300
400
500
600
0
-1
Normal
Linear Fit of _ Normal
-2
0
100
200
Normal
Distribution
300
400
500
x
x
대칭 표본
누적 분포
평균 랭크
(Mean Rank)
메디안 랭크
(Median Rank)
그 외의 방법
0.93781
0.9509
0.94425
0.94210
‘Normal Dist.’ 중 R-square 값이 가장 높은 ‘Mean rank 법 (0.9509)’을
최종적으로 선택함.
600
7
응력과 강도 기준설정
8
응력-강도 기준설정
Mean :
1 n
x xi
n i 1
Median : 중앙값 (Data를 크기 순으로 나열하였을 때의 가운데 값 혹은 가운데 두 값의
평균 )
Number
of Data
Mean
Median
Distribution
Dataset1-(KIM)
52
307.7308
310
Weibull
Distribution
Dataset2-(Park)
53
271.7252
281
Normal
Distribution
xDataSet # 2 xDataSet #1
: Data set 1 강도, Data set 2 응력
9
P.D.F 이용한
신뢰도 계산
10
신뢰도 및 파손확률 계산식
1.응력을 기준으로 한 Pf, R 계산
Pf
R
f ( )[ f S ( S )dS ]d
f ( )[ f S ( S )dS ]d
f ( ) Fs ( )d
f ( )[1 Fs ( )]d
2.강도를 기준으로 한 Pf, R 계산
Pf
R
f S ( S )[ f ( S )d ]dS
S
S
f S ( S )[1 F ( S )]dS
f S ( S )[ f ( )d ]dS
f S ( S ) F ( S )dS
- 응력을 기준으로 한 값과 강도를 기준으로 한 값은 동일해야
한다.
- Pf와 R값을 각각 더할 경우 1의 값을 가져야 한다.
11
누적분포함수 및 확률밀도함수 식
P.D.F
C.D.F
Normal Distribution
Lognormal
Distribution
Weibull Distribution
Biexponential
Distribution
1 x 2
(
)
2
1
x
F ( x) 1 erf
2
2
f ( x)
1
ln x
F ( x) 1 erf
2
2
f ( x)
ln x 2
1
exp
2 2
x 2
x m
F ( x) 1 exp
f ( x)
m
x x0
F ( x) 1 exp exp
f ( x)
x x0
1
exp
2
1
2
e
x
( ( )m )
e
x
( ) m 1
12
신뢰도 및 파손확률 계산식
Normal 분포 (Stress)
1
f ( x)
2
e
1 x 2
(
)
2
1
x
F ( x) 1 erf
2
2
1 x 271.7252 2
1
f x
exp
2 173.913
2 173.913
271.7252
173.913
Weibull 분포 (Strength)
f ( x)
m
x
( ( )m )
e
x
( ) m 1
x m
F ( x) 1 exp
1.8699
x
F ( x) 1 exp
353.5878
m 1.8699
353.5878
13
신뢰도 적용
신뢰도 계산 식
R 1 f FS d 1 Pf
(Eq. 9.1-1 교재)
0
R 1
0
1.8699
1 271.7252 2
1
exp
1 exp
2 173.913
2 173.913
353.5878
14
Program Code
MATLAB 코드
<Data set 분포 그래프 코드>
<파손확률 및 신뢰도 계산코드>
p f f FS d
0
R 1 p f
(Eq. 9.1-1 교재)
15
Graph Plot
<Data set 분포 그래프 결과>
)1.8699 )
1.8699 ( ( 353.5878
f ( )
e
(
)1.86991
353.5878
353.5878
1 S 271.7252 2
1
f S S
exp
2 173.913
2 273.913
<파손확률 및 신뢰도 계산결과>
R = 0.5509
Pf = 0.4491
16
데이터를 이용한
신뢰도 계산
17
신뢰도 및 파손확률 계산식
< 신뢰도 R의 도식적 계산 >
1
R f f S S dS d f 1 FS d
0
0
G f S ( S )dS 1 FS ( S )
G
G G(H )
1
R R
GdH
H f ( S )dS F ( )
0
0
0
< 파손확률 𝑷𝒇 의 도식적 계산 >
Pf f S S 1 F S dS
H
1
FS (S )
1
1
0
Pf 1 F S dFS S
[1 F ( S )]
1
0
Pf
0
18
S-S Diagram
내삽을 위한 겹쳐진 영역의 양끝값
45
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
F(Str)
F(Str)
F(Str)
1-F(sig)
0.4
513
F(Str)
1-F(sig)
0.4
Interpolation
0.2
0.2
0.0
0.0
0
100
200
300
400
500
600
0
100
Strength
200
300
400
Strength
F(strength): 45~563
F(stress): 10~513
→서로 겹치는 부분인 45~513 부분을 1간격으로 내삽함
500
600
19
Graph Plot
하한법
1-F(sig)
0.8
1-F(sig)
0.6
0.4
0.2
area = Pf
R=1-Pf=0.5626
0.0
0.0
0.2
0.4
F(str)
0.6
0.8
20
Graph Plot
상한법
1-F(sig)
1.0
1-F(sig)
0.8
0.6
0.4
0.2
area = Pf
R=1-Pf=0.5575
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
F(str)
0.8
1.0
21
Graph Plot
삼각법
1-F(sig)
1.0
1-F(sig)
0.8
0.6
0.4
0.2
area = Pf
R=1-Pf=0.5601
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
F(str)
0.8
1.0
22
결론 및 고찰
23
적분구간(0,+inf)
확률분포 이용
결과분석
데이터 이용(도식적 방법)
적분구간:
(0, +inf)
응력기준
하한법
상한법
삼각법
응력: normal, 강도: weibull
R
0.4918
0.5626
0.5575
0.5601
𝑷𝒇
0.4491
0.4374
0.4425
0.4399
0.9409
1
1
1
R+𝑷𝒇
Why? ≠1
확률분포 이용의 결과값(적분구간:(0, +inf)적용시)
- 이론(p7)에 따르면 R+𝑷𝒇 =1이 되어야 하나, 1을 만족하지 못함.
24
적분구간에 대한 고찰
결과분석
Pf
f ( ) Fs ( )d
R
f ( )[1 Fs ( )]d
-
Normal 분포의 경우: Weibull 분포와 달리 확률변수 값이 음수인 부분 영역이 존재함.
-
전체적인 확률 분포 상에서 확률변수가 음수 데이터에 관한 데이터 손실 발생이 야기됨으로
=> ‘신뢰도 + 파손확률 = 1’이 아닐 경우가 발생 가능.
25
최종 결론 및 고찰
확률분포 이용
결과분석
데이터 이용(도식적 방법)
적분구간:
(-inf, +inf)
응력기준
강도기준
하한법
상한법
삼각법
응력: normal,
강도: weibull
응력: normal,
강도: weibull
R
0.5509
0.5509
0.5626
0.5575
0.5601
𝑷𝒇
0.4491
0.4491
0.4374
0.4425
0.4399
R+𝑷𝒇
1
1
1
1
1
-
확률분포 이용: 적분구간 확대 (0, +inf) -> ‘(-inf, +inf )’ : R+𝑷𝒇 = 1 을 만족함을 확인.
-
데이터 이용: ‘상한법’이 보수적인 값(엄밀한 적용)을 취함으로 가장 적합함.
-
확률분포와 도식적 방법간의 계산결과 차이: 최대 약 1.12%로 나타남.
-
확률분포 이용한 경우: 데이터의 근사화 과정에서 오차가 발생.
데이터 이용한 경우: 직접 포함되지 않은 데이터를 선형근사 시 오차가 발생.
두 가지 이용법 및 다른 발표자료 결과값을 비교: 대체적으로는 데이터 이용의 상한법이 가장 보수적인 값을 취함,
But) 주어진 데이터와 적용 분포에 따라 확률분포와 데이터 이용에서의 신뢰도 정도가 달라질 수 있음을 확인.
26
Thank You