Transcript 최소비용흐름 문제의 응용
7장 네트워크 최적화 문제
목 차 7.1 최소비용흐름 문제 7.2 사례연구: BMZ사의 최대흐름 문제 7.3 최대흐름 문제 7.4 최단경로 문제 7.5 요약
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학습목표
7장을 학습한 후에는, 1. 다양한 종류의 네트워크 최적화 모형을 네트워크 모형으로 나타낼 수 있어야 한다.
2. 최소비용흐름 문제, 최대흐름 문제, 그리고 최단경로 문제의 특성을 알아야 한다.
3. 이러한 세 가지 형태의 문제를 적용할 수 있는 분야를 알아야 한다.
4. 특수한 형태의 최소비용흐름 문제에 대한 네트워크 최적화 문제 몇 가지를 알 아야 한다.
5. 서술된 문제로부터 최소비용흐름 문제, 최대흐름 문제, 그리고 최단경로 문제 를 스프레드시트에 모형화하고 해를 찾을 수 있어야 한다.
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7.1 최소비용흐름 문제
<최소비용흐름 문제의 일반적 특징> 관련 용어 1. 네트워크 상의 각각의 원을 마디(node)라고 한다.
2. 마디의 순흐름(마디로부터의 유출량에서 마디로의 유입량을 차감한 양)이 양수 인 마디를 공급마디(supply node)라 한다.
3. 반대로 마디의 순흐름이 음수인 마디를 수요마디(demand node)라고 한다.
4. 마디의 순흐름이 0인 마디를 경유마디(transshipment node)라 한다.
5. 네트워크 상의 각각의 화살표를 가지(arc)라고 한다.
6. 가지를 통해 운송할 수 있는 최대의 양을 그 가지의 용량(capacity)이라 한다.
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7.1 최소비용흐름 문제
최소비용흐름 문제의 가정 1. 네트워크의 여러 마디 중 적어도 하나는 공급마디이다.
2. 공급마디가 아닌 마디 중 적어도 하나는 수요마디이다.
3. 공급마디와 수요마디를 제외한 나머지 마디는 모두 경유마디이다.
4. 각 가지를 통한 운송(흐름)의 방향은 화살표 방향으로만 가능하며, 운송량(흐름 의 양)은 가지의 용량을 초과하지 못한다.
5. 공급마디들로부터의 총유출량을 수요마디로 보내기 위한 네트워크 내의 가지들 의 용량은 충분하다.
6. 각 가지 상의 운송비는 운송량에 정비례하며, 각 가지 상의 단위운송비는 정해 져 있다.
7. 이 문제의 목적은 수요마디들의 수요를 충족시키기 위해 공급마디들의 유출량 을 네트워크를 통해 보내는 방법 중 최소비용의 방법을 찾는 것이다.
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7.1 최소비용흐름 문제
실행가능해의 특성 - 실행가능해의 특성: 전술한 가정 하에서 최소비용흐름 문제는 공급마디들의 공 급량 합이 수요마디들의 수요량 합과 일치할 경우에만 실행가능해가 존재한다.
- 정수해 특성: 각 공급량과 각 수요량 그리고 각 가지의 용량이 정수일 경우 최소 비용흐름 문제의 최적해는 항상 정수해가 된다.
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7.1 최소비용흐름 문제
<대규모 최소비용흐름 문제들에 대한 보다 효율적인 풀이 방법> - 최소비용흐름 문제는 선형계획 문제의 한 유형이고, 모든 선형계획 문제는 심 플렉스법으로 풀 수 있기 때문에 어떤 최소비용흐름 문제도 이를 이용해 풀 수 있다.
- 최소비용흐름 문제의 경우, 문제의 특수한 구조 때문에 심플렉스법을 압축하여 훨씬 빠르게 푸는 것이 가능하다.
- 이 압축된 심플렉스법을 네트워크 심플렉스법(network simplex method)이라 한다.
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7.1 최소비용흐름 문제
<최소비용흐름 문제의 응용> - 최소비용흐름 문제의 가장 대표적인 응용 유형은 그림7.1~7.4로 묘사된 Distribution Unlimited사 문제와 같은 유통네트워크의 운영에 관한 것이다.
- 최소비용흐름 문제에서는 모든 경유마디가 중간 저장시설이 아니라 처리시설 인 경우가 있는데 표7.1의 두 번째 유형인 고체폐기물 관리가 그 경우이다.
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7.2 사례연구: BMZ사의 최대흐름 문제
<문제의 배경> - BMZ사의 자동차는 대부분의 선진국에서 잘 팔리고 있지만, 특히 미국으로의 수출이 가장 중요한 부분을 차지하고 있다.
- 이 회사 자동차는 캘리포니아 지역에서 특히 인기가 높아 LA 유통센터에 대한 부품공급 및 관리가 특히 중요하다.
- 이 공장은 자동차를 생산할 뿐만 아니라 LA 유통센터에 30만ft3가 넘는 부품을 공급하고 있다. 다음 달은 최근 감소된 재고를 보충하기 위해 그 양이 더욱 늘 어날 전망이다.
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7.2 사례연구: BMZ사의 최대흐름 문제
<문제> - Karl은 다음 달 독일의 공장으로부터 LA 유통센터로의 부품공급을 가능한 한 많 게 하기 위한 운송계획을 조속히 실행해야 하는데 이 문제는 공장으로부터 유 통센터까지의 부품의 운송량을 최대화하는 최대흐름 문제이다.
- 이 회사의 유통네트워크는 그림7.6과 같다.
- 각 가지별로 정해진 운송량은 그림 7.6에 100m3 단위로 표시되어 있다.
그림6.6 BMZ사의 유통네트워크
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7.2 사례연구: BMZ사의 최대흐름 문제
<모형 수립> - 그림7.7은 최대흐름 문제를 위한 네트워크 모형이다.
- 그림7.8은 이 문제의 스프레드시트 모형이고 그림7.5의 방법을 이용한 것이다.
그림7.7 BMZ사의 최대흐름 문제를 위한 네트워크 모형
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7.3 최대흐름 문제
<최대흐름 문제의 일반적 특징> 최대흐름 문제의 가정 1. 네트워크 상의 모든 흐름은 출발지(source)라는 하나의 마디에서 시작되고 도 착지(sink)라는 하나의 마디에서 끝난다. BMZ사의 문제에서 출발지와 도착지 는 각각 공장과 유통센터가 된다.
2. 나머지 모든 마디는 경유마디이다. BMZ사의 문제에서 경유마디는 그림7.7의 RO, BO, LI, NY, NO이다.
3. 각 가지 상의 흐름은 화살표 방향으로만 가능하다. 4. 이 문제의 목적은 출발지로부터 도착지로의 흐름량을 최대화하는 것이다.
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7.3 최대흐름 문제
<복수의 출발지와 도착지를 갖는 최대흐름 문제> - 슈투트가르트 공장에서 LA 유통센터로의 운송량만을 최대화하기보다는 두 공 장으로부터 LA와 시애틀의 유통센터들로의 운송량을 최대화하기로 했다.
- 그림7.9는 2개의 공장과 2개의 유통센터를 포함하는 확장된 유통네트워크를 나 타내는 네트워크 모형이다.
- LA 유통센터로 운송되는 부품의 양이 150단위에서 160단위로 증가되었고, LA 유통센터의 재고 부족 시 지원해 줄 60단위를 시애틀의 유통센터로 운송할 수 있게 되었다. 이렇게 함으로써 이 회사의 위기상황은 해결될 수 있다.
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7.3 최대흐름 문제
<최대흐름 문제의 응용> 최대흐름 문제의 몇 가지 응용 예 1. 전술한 BMZ사의 경우처럼 배송망을 통한 부품 운송량의 최대화.
2. 다수의 부품공급업자들로부터 회사의 여러 가공시설로의 부품 수송량의 최대화.
3. 설치되어 있는 다양한 송유관 시설을 통한 원유 수송량의 최대화.
4. 설치되어 있는 다양한 수도관 시설을 통한 수돗물 공급량의 최대화.
5. 도시의 도로망을 통한 차량 흐름의 최대화.
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7.4 최단경로 문제
<최단경로 문제의 예: 리틀타운의 소방서 문제> - 그림7.11은 소방서에서 지역 내 마을까지 연결된 도로망 및 그 거리(마일 단위) 를 보여주고 있다.
그림7.11 리틀타운 소방서와 목적지 마을 간에 연결된 도로망 그림7.12 그림7.11에 대한 최단경로 문제의 네트워크
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7.4 최단경로 문제
리틀타운 문제에 대한 모형 수립 - 그림7.12는 이 문제를 네트워크로 표현한 것이다.
- 최단경로는 O → A → B → E → F → T라는 것을 알 수 있다.
그리고 총 거리는 19마일이다.
- 한 가지 주목할 점은 최단경로 문제가 최소비용흐름 문제의 특수한 경우라는 것이 다.
- 위의 최단경로 문제는 바로 최소비용흐름 문제가 된다.
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7.4 최단경로 문제
<최단경로 문제의 일반적 특징> 최단경로 문제의 가정들 1. 최단경로 문제는 하나의 마디(‘출발지’(origin)라 함)로부터 또 다른 마디(‘도착 지’(destination)라 함)까지를 연결하는 하나의 경로를 찾는 문제이다.
2. 최단경로 문제에서는 일반적으로 2개의 마디를 연결하는 선을 링크라 한다. 링 크는 양방향으로의 이동이 가능한 것을 말한다. 최단경로 문제에서도 가지가 있 을 수 있다. 가지란 한 쪽 방향으로의 이동만을 허용하는 것을 말한다.
3. 각 링크(또는 가지)에는 비음의 숫자가 부여되는데, 이를 링크(또는 가지)의 길 이(length)라고 한다.
4. 최단경로 문제의 목적은 출발지로부터 도착지까지의 가장 짧은 경로를 찾는 것 이다.
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7.4 최단경로 문제
<최단경로 문제의 응용> 최단경로 문제의 응용의 예 1. 두 지점 간의 이동거리의 최소화 2. 총비용이 최소가 되는 일련의 작업들 찾기 3. 총시간이 최소가 되는 일련의 작업들 찾기 <총비용 최소화의 예> Sarah는 고등학교를 갓 졸업했다. 그녀의 부모는 졸업선물로 그녀가 대학 4년간 사용할 3년 된 중고자동차의 구입비와 운영 및 유지비용 명목으로 2만1,000달러 를 주었다. 자동차의 운영 및 유지비용은 사용 연수가 늘어남에 따라 급증하기 때 문에 Sarah는 대학 4년 동안 자동차로 인해 발생하는 총비용을 최소화하기 위해서 는 매 학년 초마다 또 다른 3년 된 중고차로 교체하는 것을 검토해 보는 것이 중요 하다. Sarah의 부모는 그녀가 대학을 졸업할 시점에 대학 졸업 선물로 새 차를 사 주기로 했다. 따라서 Sarah는 지금으로부터 4년 후에는 가지고 있던 중고차를 팔 아야 한다.
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7.4 최단경로 문제
- 표7.2는 3년 된 중고차의 구입가격과 3년 된 중고차를 보유하는 연수에 따라 연 도별 발생하는 운영 및 유지비용과 보유연수에 따른 처분가치를 보여주고 있다.
- 그림7.14는 중고차 교체 문제를 최단경로 문제로 보고 네트워크로 표현한 것이 다.
그림7.14 Sarah의 중고차 교체 문제에 대한 최단경로 네트워크 모형
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