Transcript Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

Chapter 6 Diffusion
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Chapter 6
Diffusion
√ 개요
• 불순물(impurity) 도핑-반도체의 전기적 성질을 바꾼다.
• 불순물 도핑의 주된 방법
- 확산 (Diffusion); 깊은 접합(deep junction)을 형성한다.
- 이온주입 (Ion Implantation); 얇은 접합(shallow junction)을 형성한다.
• Main topics
- 고온에서 격자(lattice) 내의 불순물 원자들의 거동.
- 일정한 확산계수(diffusivity)와 농도에 따라 변하는 확산계수에서의
불순물 분포(Impurity profiles).
- 측면확산(lateral diffusion)의 효과와 소자(device) 특성의 재분포.
- SUPREM을 이용한 확산의 시뮬레이션.
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Diffusion
√ 개요-확산과 이온주입의 비교
• 확산 (Diffusion)
- 도펀트 원자는 웨이퍼 표면에 존재
; 도펀트의 기상 증착/도핑된 oxide source
- 도핑 농도는 표면으로부터 순차적으로 감소
• 이온주입 (Ion Implantation)
- 도펀트 원자를 웨이퍼 내부로 강제 주입
; Ion Beam
- 도핑 농도는 표면으로부터 일정한 거리만큼
떨어진 내부에서 최대, 그 전후에서 감소
Figure 6.1 (p. 105)
Comparison of (a) diffusion and (b) ion-implantation techniques for the selective introduction of
dopants into the semiconductor substrate.
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Diffusion
6.1 기본 확산 공정
•
•
•
•
석영관 로(quartz-tube furnace) 사용- Dopant가 포함된 혼합가스를 주입.
공정온도- Si ; 800 ℃ ∼ 1200 ℃ / GaAs ; 600 ℃ ∼ 1000 ℃
확산된 원자의 수 ∝ 혼합가스 내의 dopant의 분압.
Si 내로의 확산- P형 불순물 ; 주로 붕소(B) 이용.
i
i - N형 불순물 ; 주로 비소(As) 또는 인(P) 이용.
• 소스(source)- 고체(BN, As2O3, P2O5), 기체(B2H6, AsH3, 또는 PH3 ),
액체(BBr3, AsCl3, POCl3)-액체소스를 주로 사용.
Figure 6.2 (p. 106)
Schematic diagram of a typical open-tube diffusion system.
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Diffusion
 반응 예- 액체소스 사용 / 인(P) 확산.
4POCl3 + 3O2 → 2P2O5 + 6Cl2 ↑
(1)
• P2O5는 glass-on-Si wafer를 형성하게 되고, Si에 의해서 P로 환원.
2P2O5 + 5Si → 4P + 5SiO2 ↑
(2)
• P는 Si 내로 확산되어 들어가고, Cl2 가스는 밖으로 배출.
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Diffusion
 GaAs 내로의 확산.
• As의 증기압이 높으므로 분해(decomposition) 또는 증발(evaporation)에 의해
As가 손실되는 것을 막기 위한 특별한 방법이 필요.
- As를 과압(overpressure)으로 봉인된 앰플 내로 확산
- 도핑된 oxide capping layer(SiN)과 함께 open-tube furnace내로 확산
• GaAs 내의 dopant에는 셀레늄(Se)과 텔루리움(Te)이 포함되어 있음.
Note
 P-type dopant: Zn밀폐형 앰플(sealed-ampule)일 때 Zn-Ga-As 또는 ZnAs2
합금, 개방형 튜브(open-tube)에서는 ZnO-SiO2 형태로 아연(Zn)을 사용한다.
N-type dopant in GaAs: Se,Te
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Diffusion
6.1.1 확산 방정식
 확산의 두 가지 모델
- 공공 메커니즘 (Vacancy Mechanism)
- 침입 메커니즘 (Interstitial Mechanism) (그외: interstitialcy, crowdian mechanisms)
Figure 6.3 (p. 107)
Atomic diffusion mechanisms for a two-dimensional lattice.
(a) Vacancy mechanism. (b) Interstitial mechanism.
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Diffusion
 확산 방정식 유도
• F : 단위시간에 단위영역을 통하여 움직이는 dopant 원자의 수
• C : 단위부피당 dopant의 농도.
C
F  D
x
(3)
D : 확산계수 (Diffusion coefficient / Diffusivity)
Note
 Driving force of diffusion process is the conc. grad (∂C/∂x)
 F는 농도의 기울기(∂C/∂x)에 비례하고, dopant 원자는 고농도 지역으로부터
저농도 지역으로 움직일(확산될) 것이다.
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Diffusion
• 주(host) 반도체 내에서 어떤 물질도 새로이 생성되거나 소모되지 않는다는
조건 하에 식 (3)을 일차원 연속방정식(1-D continuity eq.)으로 치환하면,
C
F   C 

 D

t
x x  x 
(4)
• Dopant의 농도가 낮을 때, 확산계수는 도핑 농도와 무관
C   2C 
  D 2 
t  x 
(5)
◈ (5) : Fick’s diffusion equation / Fick’s law
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Diffusion
☜ Dopant 불순물이 낮은 농도일 때에
대한 확산 계수를 측정한 것.
☜ 절대온도의 역수 값에 대하여
확산계수의 로그 값을 도시.
Figure 6.4 (p. 108)
Diffusion coefficient (also called diffusivity)
as a function of the reciprocal of temperature
for (a) silicon and (b) gallium arsenide.
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• 그림 6.4의 온도영역에 대한 확산계수는,
  Ea 
D  D0 exp 

 kT 
(6)
D0 : 외삽된 온도범위까지 에서 얻어진 cm2/s 단위의 확산계수
Ea : eV 단위의 활성화 에너지
Note
 침입형 확산 모델에서의 Ea
dopant 원자가 하나의 침입형 자리에서 다른 자리로 이동하는데
필요한 에너지.
Si와 GaAs에서는 0.5~2 eV 사이에서 얻어짐.
 공공형 확산 모델에서의 Ea
공공의 이동에너지와 공공형성에너지 모두와 관련이 있음.
Si와 GaAs에서는 3~5 eV 사이에서 얻어짐.
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Note
 빠른 확산에서의 Ea
Ea 값이 2 eV보다 적게 측정됨.
침입형 확산이 주된 메커니즘.
예) Si와 GaAs 내로의 Cu 확산(그림 6.4a와 b의 윗부분).
 느린 확산에서의 Ea
Ea 값이 3 eV보다 크게 측정됨.
공공형 확산이 주된 메커니즘.
예) Si와 GaAs 내로의 As 확산(그림 6.4a와 b의 아랫부분).
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6.1.2 확산 분포
 Dopant 원자의 확산 분포 : 초기(initial)조건과 경계(boundary)조건에 따라 변함.
• 일정한 표면 농도 확산(Constant Surface Concentration).
- 불순물 원자가 기체소스로부터 반도체 표면에 공급되고, 뒤이어
웨이퍼 내로 확산.
- 기체소스는 전체 확산 기간동안 일정한 표면 농도를 유지.
• 일정한 전체 dopant 확산(Constant Total Dopant).
- 일정한 양의 dopant가 반도체 표면에 증착되고, 뒤이어
웨이퍼 내로 확산.
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 일정한 표면 농도 확산(Constant Surface Concentration).
• t=0 에서의 초기조건
(7)
C(x,0)=0
• 주 반도체 내의 dopant 농도가 초기에는 0 (zero)이라는 의미이므로
그 경계조건은,
C(x,t)=Cs
(8a)
C(∞,t)=0
(8b)
and,
8(a) Cs : x=0 일 때의 표면 농도. 시간에 무관한 값.
8(b)는 표면으로부터 먼 곳은 불순물 원자가 없다.
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CONSTANT SOURCE DIFFUSION
C (0, t ) = Cs
C (x, 0) = 0
C (, t) = 0
--Fixed Concentration at Surface:
Constant Source
C(x,t) = Cs erfc[
SOLUTION :
x
2
]
Dt
erfc(x) = COMPLEMENTARY ERROR FUNCTION = 1 - erf(x)
erf (x) = 2

∞
-a2da
e
0
d erf (x) = 2 e-x2
dx

erf (0) = 0

0
erfc (x) dx = 1

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erf () = 1
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ERROR FUNCTION PROFILES
JUNCTION DEPTH
CSUBSTRATE = C (xj, t)


CSUB

CS 


xj = 2 Dt erfc-1
C
TOTAL DOPANT IN Si

 C(x,t) dx
0

= 2 Dt CS 
0
= 2C
S

= CS 
0
Csub
•
x
x 
erfc 2 Dt dx




x 
x 

erfc  Dt d  2 Dt



Dt

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• 초기조건과 경계조건을 만족시키는 Fick’s 확산방정식의 해는,(풀이 숙제)
 x 

C(x,t)=Cs erfc 
 2 Dt 
(9)
efrc : 보오차 함수 (complementary error function; 표 6.1 참조)
√Dt : 확산 길이 (diffusion length)
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☜ 일정한 표면농도 조건의 확산분포 .
☜ 주어진 확산온도에서 세 개의 연속적인
☜
확산시간과 고정된 D 값에 대응하는
확산길이의 세 값에서 깊이의 함수로서
표준 농도를 도시.
윗 그림 : 선형좌표.
아래 그림 : 로그좌표.
Note
 시간이 지날수록 dopant는 반도체 속으로
더 깊이 침투해 들어간다.
Figure 6.5 (p. 111)
Diffusion profiles.
(a) Normalized complementary error function (표면농도
일정) versus distance for successive diffusion times.
(b) Normalized Gaussian function (전체 dopant 양 일정)
versus distance.
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• 반도체의 단위 면적당 총 dopant 원자의 수는,

Qt    C x, t dx
(10)
0
• 식 (9)를 (10)에 대입하면,(풀이 숙제)
Qt  
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2

Cs Dt  1.13Cs Dt
(11)
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Note
 Q(t)
그림 6.5a의 선형 확산 분포 중 하나의 하부 영역(면적).
밑변이 2 Dt 이고, 높이가 Cs인 삼각형의 면적과 유사.
그러므로, Q(t)
 Cs
Dt
• 이것과 관련된 양은 확산 분포 ∂C / ∂x 의 구배(gradient)이다.
구배는 식 (9)를 미분해서 얻을 수 있다.
C
x
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x ,t
Cs  x 2 / 4 Dt

e
Dt
(12)
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 일정한 전체 dopant (Constant Total Dopant).
• 고정된(일정한) 양의 dopant는 얇은 층으로 반도체 표면에 증착이 되며,
dopant는 반도체 내로 확산.
• 초기조건은 식 (7)과 같다. 경계조건은,
C(x,0)=0

 C  x, t   S
(13a)
0
and,
C(∞,t)=0
(13b)
S : 단위 면적 당 총 dopant 수.
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FINITE SOURCE DIFFUSION

∫ C (0,
t ) = QT

C (x, 0) = 0
C (, t) = 0
SOLUTION :
C(x, t) =
QT
Dt
(
exp
Csurface = C(0, t) =
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-x2
4Dt
QT
)
GAUSSIAN
PROFILE
VARIES WITH TIME
Dt
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DIFFUSION PROFILES
Erfc
(constant source)
GAUSSIAN
(finite source)
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Hanyang
University
from S.K.
Ghandhi, VLSI Fabrication Principles, Wiley
Interscience
1983, P.142-4
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• 위의 조건을 만족시키는 확산방정식의 해는,(풀이 숙제)
 x2 
S

C x, t  
exp  
Dt
 4 Dt 
(14)
• 이 식은 가우시안 분포(Gaussian distribution)임.
• Dopant는 시간이 지남에 따라 확산해 들어가며, 총 dopant S를 일정하게
유지하기 위해 표면 농도는 감소.
• 이 경우, 표면 농도는 x=0일 때 식 (14)에 의해 주어진다.
S
C  x, t  
Dt
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(15)
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Note
 그림 6.5b : 가우시안 분포로 나타낸 dopant 분포.
 표준 농도는 세 개의 증가하는 확산 길이에 대한 거리의 함수로서 도시.
 확산 시간이 증가함에 따라 표면 농도는 감소.
• 확산 분포의 구배는 식 (14)를 미분해서 얻을 수 있다.
C
x
x ,t
xS
x


C ( x, t )
32
2 Dt
2  ( Dt )
(16)
• 구배(기울기)는 x=0와 x=∞에서 0(zero).
• 구배의 최대값 : x  2 Dt에서 발생
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Note
 집적회로 공정에서의 확산
두 단계(two-step) 확산이 일반적으로 사용됨.
일정한 표면 농도 조건하에서 선증착(predeposition) 확산층이 먼저
형성됨.
그 다음에 일정한 dopant 조건하에서 후확산(drive-in diffusion,
재분포 확산)이 뒤따라 일어남.
 실제적인 상황에서의 확산 길이
선증착 확산 길이( Dt)는 후확산의 길이보다 훨씬 작은 값.
∴선증착 분포를 표면에서의 델타 함수(delta function)로 고려.
선증착 분포의 침투 범위는 후확산의 결과인 최종 분포와 비교하여
매우 작은 값이므로 무시해도 좋음.
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6.1.3 확산층의 평가
 확산 공정의 결과 측정
• 접합 깊이(junction depth), 면 저항(sheet resistance), 확산층의 dopant 분포.
 접합 깊이(junction depth)
• 반도체에 홈을 파고, 그 표면을 용액(예 : 100 cm3의 HF + HNO3 몇 방울)으로
식각하는 것.
• p-type 영역이 n-type 영역보다 더 어둡게 착색된다(그림 6.6a).
Figure 6.6 (p. 113) Junction-depth measurement.
(a) Grooving and staining.
(b) Position in which dopant and substrate concentrations are equal.
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• R0을 홈을 만드는 데 쓴 도구의 반지름이라면, 결합 깊이 xj는,
x j  R02  b 2  R02  a 2
(17)
• R0가 a와 b보다 훨씬 더 크다면,
a2  b2
xj 
2R0
(18)
• 접합깊이 xj : dopant 농도 = 기판의 농도 CB 인 위치에 있다(그림 6.6b).
C ( x j )  CB
(19)
Note
 접합깊이와 CB를 알면 표면 농도 CS, 불순물 분배를 계산할 수 있고,
확산 분포는 6.1.2에서 유도한 어떤 간단한 방정식을 따르게 된다.
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 면 저항(sheet resistance)
• 확산층의 저항 : Four Point Probe를 이용하여 측정(그림 6.7).
• 바깥쪽 두개 probe로 전류 I가 흐르고, 안쪽 두개 probe에서 전압 V를 측정.
Figure 6.7 (p. 114)
Measurement of resistivity using a four-point probe.
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• 직경 d에 비하여 매우 작은 값의 두께 W를 가지는 반도체의 저항(ρ)은,
V
  W  CF   cm
I
(20)
CF : 보정 인자(correction factor)
Note
 보정 인자는 d/s의 비에 따라 다르다.
 d/s>20일 때, 보정 인자는 4.54로 접근한다.
• 면 저항 : 접합 깊이(xj), 캐리어 이동도(μ, 총 불순물의 농도 함수), 불순물 분포(C(x))
와 관련.
Rs 
1
j
q  C ( x)dx
(21)
0
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Note
 주어진 확산 분포에서의 평균저항 (   RS x j )
; 표면 농도(Cs)와 추정확산분포에서의 기판의 도핑 농도와 관련이 있다.
 C(s),  와 관련된 design curves
; erfc나 가우시안 분포 같은 간단한 확산 분포에 대해 계산되었다.
 이 curve를 바르게 사용하기 위해서는 확산 분포와 추정 분포가 일치하는지
반드시 확인해야 한다.
 저농도/깊은 확산(deep diffusion)
; 확산 분포를 앞서 언급한 간단한 함수에 의해 일반적으로 나타낼 수 있음.
 고농도/얇은 확산(shallow diffusion)
; 확산 분포를 간단한 함수로 나타낼 수 없다.
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 확산 분포(diffusion profile)
• 확산 분포-정전용량(capacitance)-전압(voltage) 기법으로 측정할 수 있다.
2
n
q S


1


2

d
1
C
dV




(21)
q 1: 전자의 전하값
εS : 반도체의 유전율(permittivity)
C’ : 단위 면적당 정전용량(capacitance)
Note
 확산분포는 CV 기술로 측정이 가능
불순물이 전부 이온화되어 불순물 분포가 majority carrier 분포와 같고 이것은
p-n junction 혹은 Schottky barrier diode의 reverse-bias capacitance를 측정
함으로 결정된다.
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DOPANT INCORPORATION
from Sze, VLSI Technology,
p. 33, McGraw Hill1988
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• 이차 이온 질량 분석(Secondary Ion Mass Spectroscopy, SIMS)
; 보다 더 정확한 확산 분포를 측정할 수 있다.
Note
 이온 빔(ion beam)이 반도체 표면으로부터 물질들이 튀어나오게 하고,
그 이온 성분이 검출되어 질량이 분석된다.
 붕소(B)나 비소(As)와 같은 많은 원소에 대하여 높은 감도를 가지고 측정할
수 있다.
 고농도나 얇은 확산의 분포를 정확하게 측정할 수 있는 이상적인 기기이다.
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6.2 외인성 확산
• 6.1절의(진성) 확산 분포-constant diffusivity를 가지는 것에 대한 것.
 확산 온도에서 도핑 농도가 진성 캐리어 농도(ni)보다 낮을 때 발생.
(ex : T=1000 ℃에서, ni=5×1018 ㎝-3 (Si) / 5×1017 ㎝-3 (GaAs))
• 진성 확산계수(intrinsic diffusivity)-낮은 농도에서의 확산계수.
; ni(T)보다 낮은 농도의 도핑 분포-진성 확산 영역(그림 6.8 왼쪽).
Note
 진성 확산 영역에서 n형과 p형 불순물의 연속적(sequential)이거나 동시적
(simultaneous)인 확산의 dopant 분포는 중첩(superposition)에 의해 결정할
수 있고, 이것은 확산이 독립적으로 이루어진다는 것을 의미한다.
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• 외인성 확산계수(extrinsic diffusivity)
; 기판과 dopant 양쪽의 불순물 농도가 ni(T)보다 큰 경우.
외인성 확산계수는 농도에 따라 달라진다.
Note
 외인성 확산 영역에서는 확산 분포가 더 복잡해지고, 연속적(sequential)
이거나 동시적(simultaneous)인 확산 사이에서의 상호작용과 협력효과가
존재한다.
Figure 6.8 (p. 115)
Donor impurity diffusivity versus electron concentration
showing regions of intrinsic and extrinsic diffusion.
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6.2.1 농도 의존 확산계수
• 공공(vacancy) ; 원자가 격자점에서 떠날 충분한 에너지를 얻으면 생성된다.
• 공공과 관련된 전하 ; V0(중성), V-(억셉터), V2-(이중 하전 억셉터), V+(도너) 등등.
• 주어진 전하 상태의 공공 밀도(ex: 단위체적 당 공공의 수, CV) ; 온도에 의존한다.
 E  Ei 
CV  Ci exp  F

 kT 
Ci : 진성 공공 밀도
EF : Fermi 준위
(23)
Ei : 진성 Fermi 준위
• Dopant 확산이 공공 메커니즘으로 진행되면, 확산계수는 공공 밀도에 비례한다.
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Diffusion
Note
Vacancy Mechanism에서
낮은 도핑 농도(n<ni)
Fermi 준위는 진성 Fermi 준위와 일치(EF=Ei).
Cv (vacancy density) = Ci, 도핑 농도와 무관
Ci에 비례하는 diffusivity : 도핑 농도와 무관.
 고농도(n>ni)
Fermi 준위는 전도대 끝(conduction band edge)을 향해 움직임.
-> 도너형 공공
[exp(EF-Ei)/kT]항은 1보다 커진다.->∴ CV가 증가한다.
->diffusivity 가 증가(그림 6.8 오른쪽).
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• 확산계수가 dopant 농도에 따라 변할 경우.
; 식 (5) (D는 C와 무관) 대신에 식 (4)를 확산 방정식으로 사용해야 하며,.
• 확산계수가 다음과 같이 쓰일 수 있는 경우에는,
C
D  DS 
 CS
CS : 표면 농도
DS : 표면의 확산계수




(24)
γ : 농도 의존을 표현하는 변수
Note
 이 경우에 식 (4)를 상미분 방정식으로 사용할 수 있고, 수학적으로
계산할 수 있다.
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
Diffusion
 값의 변화에 따른 일정한 표면 농도 확산에 대한 해 (그림 6.9)
•
•
 =0 ; 일정한 확산계수를 가짐.확산 분포는 그림 6.5a와 같음.
 >0 ; 확산계수는 농도가 감소함에 따라 감소.
  가 증가함에 따라 급경사가 되어 박스 형태의 농도 분포가 된다.
∴ highly abrupt junction 형성.
 이 급변성(abruptness)은 접합 깊이와 배면 농도가 사실상 무관함을 의미한다.
• 접합 깊이(그림 6.9)는,
x j  1.6 DS t for D  C
(  1)
x j  1.1 DS t for D  C 2 (  2)
(25)
x j  0.87 DS t for D  C 3 (  3)
•
 = -2 ; 확산계수는 농도가 감소함에 따라 증가.오목한 분포를 보인다.
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Figure 6.9 (p. 116)
Normalized diffusion profiles for extrinsic diffusion where the diffusion coefficient becomes concentration dependent.
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6.2.2 확산 분포
 실리콘에서의 확산
• Si에 대하여 측정된 B와 As의 확산계수 :   1인 농도 의존성을 보인다.
; 농도 분포는 급격하게 변한다(그림 6.9의 곡선 c).
• Si에 대하여 측정된 Au와 Pt의 확산계수 :  는 -2에 가깝다.
; 농도 분포는 오목한 형태이다(그림 6.9의 곡선 d).
• Si에서의 P 확산 ; 이중 하전 억셉터 공공 V2-와 관련이 있다.
; 고농도에서의 확산계수는 C2에 따라 변한다.
확산 분포는 그림 6.9의 곡선 b와 비슷하나, 분해 효과 때문에 비정상적인 거동을
나타낸다(그림 6.10).
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☜ 진성 확산 영역(낮은 표면 농도)
; 확산 분포는 erfc(곡선 a)에 의해 주어진다.
☜ 농도가 증가함에 따라서 분포는 간단한 표현(곡선 b, c)
으로부터 벗어나기 시작한다.
☜ 매우 높은 농도(곡선 d)
; 표면 근처의 분포->그림 6.9의 곡선 b와 유사하다.
농도 ne에서 kink발생하고, 연이어서 꼬리
영역에서 빠른 확산이 발생한다.
☜ 농도 ne ->전도대 아래 0.11 eV의 Fermi 준위와 일치.
; 불순물-공공 결합쌍(P+V2-)이, P+, V-, 전자로 분해된다.
이 분해로 많은 양의 단전하 억셉터 공공 V-가 생성
되고, 분포의 꼬리 영역에서 확산을 촉진시킨다.
꼬리 영역의 확산계수 ＞10-12 cm2/s
->1000 ℃에서 진성 확산계수보다 약 100배 크다.
->∴주로 깊은 접합 형성에 사용.(ex: CMOS의 n-tube)
Figure 6.10 (p. 118)
Phosphorus diffusion profiles for various
surface concentrations after diffusion into
silicon for 1 hour at 1000 °C.
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Chapter 6
Diffusion
 GaAs에서의 아연(Zinc)확산
• 불순물의 확산에 Ga과 As 두 부격자(sublattice)의 원자 운동이 포함되어 있다.
; Si에서의 확산보다 더 복잡하다.
• 공공(vacancy)이 확산의 주된 역할을 담당한다.
; p와 n형 불순물은 최종적으로 격자점(lattice site)에 있어야 하기 때문이다
• 공공의 전하 상태는 아직 확실하게 정립되어있지 않다.
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Diffusion
• 아연(Zn)의 확산.
☜ 확산계수는 C2에 따라 변한다.
; 확산 분포가 가파르게 나타난다(그림 6.11).
->그림 6.9의 곡선 b와 유사하다.
☜ 확산은 낮은 표면 농도에서도 외인성(extrinsic)이다.
; 왜냐면 1000 ℃에서 GaAs의 ni가 1018 cm-3 보다
작기 때문이다.
 옆 그림과 같이 표면 농도는 접합 깊이에
큰 영향을 준다.
☜ 확산계수는 아연 기체의 분압에 따라 선형적으로
변하고, 표면 농도는 분압의 제곱근에 비례한다.
∴ 식 (25)로부터 접합 깊이는 표면 농도에 선형적
으로 비례한다.
Figure 6.11 (p. 119)
Diffusion profiles of zinc in GaAs after annealing at 1000 °C for 2.7
hours. The different surface concentrations are obtained by maintaining
the Zn source at temperatures in the range 600 °C to 800 °C.
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6.3 측면 확산(Lateral Diffusion)
• 마스크 창의 모서리(edge)에서 불순물은 아래와 옆으로 확산된다.
; 2차원 확산 방정식을 고려해야만 하고, 서로 다른 초기 조건과 경계 조건 하에서
확산 분포를 수학적으로 얻어낸다.
 일정한 표면 농도 확산 조건에 대한 일정한 도핑 농도의 등고선(그림 6.12)
Note
 가정 : 확산계수는 농도와 무관하다.
Figure 6.12 (p. 119)
Diffusion contours at the edge of an oxide window;
there rj is the radius of curvature.
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☜ 오른쪽 끝의 0.5CS부터 10-4CS (CS는 표면 농도)까지의 dopant 농도 변화는 식 (9)에 의해
주어지는 erfc 분포와 일치한다.
☜ 등고선은 다양한 기저면(background) 농도 속으로의 확산에 의해 생겨난 접합의 위치를
알 수 있는 효과적인 지도이다.
☜ 표면 농도 아래의 1000배 이상의 농도에 대한 측면 침투는 수직 방향 침투의 약 80 %이다.
(ex) C/CS=10-4 (기저면 도핑이 표면 농도보다 104배 작다.)일 때 일정한 농도 곡선에서,
수직 침투 : 약 2.8 ㎛, 측면 침투 : 약 2.3 ㎛(마스크-반도체 계면을 따라 일어나는 침투.)
☜ 총 dopant가 일정한 확산 조건에서도 비슷한 결과  수직 대 측면의 침투 비 : 약 75 %.
☜ 농도 의존 확산계수에 대해서는 이 비가 약 65∼70 %로 다소 감소한다.
Note
 측면 확산 효과 때문에, 접합은 곡률이 rj인 원통형 모서리를 가지는 중심면
(평면) 영역으로 구성되어 있다.
 확산 마스크가 날카로운 모퉁이를 가지고 있다면, 모퉁이 주변의 접합은 측면
확산의 영향으로 대략 구형이 될 것이다.
 전기장의 세기가 원통형이나 구형 접합 영역에서 더 크기 때문에, 이런 영역의
애벌랜치 항복 전압(avalanche breakdown voltage)은 같은 기저면 도핑을
가지는 평면 접합보다 매우 낮아질 수 있다.
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6.3 확산 모의실험(Diffusion Simulation)
 SUPREM 소프트웨어 패키지
• 확산에 대한 완성된 모델이 포함되어 있다.
• 1차원 또는 2차원 확산에 대한 모의실험이 가능하다(‘DIFFUSION’ 명령 사용).
• 결과(output)는 반도체 기판에서의 깊이의 함수로 주어지는 화학물질, 캐리어, 공공
농도가 전형적이다.
• SUPREM을 포함한 모든 확산 공정 시뮬레이터는 3가지 방정식에 기초를 두고 있다.
• 첫번째 식은 유속(flux, J)에 관한 것으로, 1차원에 대해서는,
J i   Di
Zi : 전하 상태
dCi
 Z i  i Ci E
dx
μi : 불순물의 이동도
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E : 전기장
(26)
i : SUPREM의 격자(grid) 위치
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• 두번째 식은 연속 방정식(continuity equation)으로,
dCi dJ i

 Gi
dt
dx
(27)
Gi : 불순물의 생성/재결합 속도
• 마지막 중요한 관계식은 포아송 방정식(Poisson’s equation)이다. 1차원에서는,
d
 s E   q( p  n  N D  N A )
dx
εS : 유전율
n, p : 전자, 정공 농도
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(28)
ND+, ND-: 이온화된 도너와 억셉터 농도
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Note
 SUPREM은 사용자가 조건을 지정한 1차원 격자(grid) 상에서 식 (26)부터 (28)
까지 동시에 계산한다.
 SUPREM에 사용하는 확산계수 값은 Fair의 공공 모델에 기초를 두고 있다.
 B, Sb(안티몬), As의 Ea와 D0 값은 검색표에 포함되어 있다.
 실험적 모델은 필드-보조(field-aided), 산화-강화(oxidation-enhanced),
산화-지연(oxidation-retarded) 확산을 설명하는 데 사용한다.
Figure 6.13 (p. 121)
Plot of boron concentration as a function of depth
into the silicon substrate, using SUPREM.
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6.4 요 약
• 일정한 확산계수에 대한 기본적인 확산 방정식.
• 표면 농도가 일정할 때와 총 dopant가 일정할 경우에 대한 보오차 함수(erfc)와
가우스 함수.
• 확산 공정 결과의 평가 ; 접합 깊이, 면 저항, dopant 분포 측정.
• 확산 온도에서 도핑 농도가 진성 캐리어 농도 ni보다 높을 때 ; 확산계수는 농도에 의존.
Note
 이 의존성은 결과적인 도핑 분포에 큰 영향을 미친다.
(ex1) Si 내에서 As와 B의 확산계수
불순물 농도에 따라 선형적으로 변한다.
이것들의 도핑 분포는 erfc보다 훨씬 더 가파르게 변한다.
(ex2) Si 내에서 P의 확산계수
불순물 농도의 제곱으로 변한다.
이 의존도와 분해 효과가 P의 확산계수를 진성 확산계수보다 100배 크게 한다.
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• 마스크 모서리의 측면 확산과 산화되는 동안의 불순물 재분포.
; 소자의 성능에 중요한 영향을 미칠 수 있는 두 가지 공정.
Note
 측면 확산 ; 항복 전압 (avalanche breakdown voltage) 을 크게 줄일 수 있다.
 불순물 재분포 ; 접촉 저항(contact resistance)과 문턱 전압(threshold voltage)
에도 영향을 미친다.
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