Transcript Document 7857837

PREDIKAT dan FUNGSI PROPOSISIONAL
Diperhatikan kalimat yang memuat variabel “x < 2”.
Subjek : x
Predikat : kurang dari 2
Pernyataan “x kurang dari 2” dinyatakan dengan P(x), dimana
P merujuk sifat “kurang dari 2” dan x variabel.
P disebut juga fungsi proposisional dimana P(x) adalah nilai fungsi
P di x. Nilai P(x) hanya dua macam, yaitu benar (T) atau salah (F).
CONTOH :
1. Bila P(x) : x < 2 maka P(1) benar, P(2) salah, P(3/2) benar, dst
2. Fungsi proposisional dengan beberapa varibel :
Q(x,y) : x^2 + y^2 = 25
Q(3,4), Q(4,3) bernilai benar, Q(1,2), Q(5,3) salah, dst.
Contoh penggunaan fungsi proposisional
pada program komputer
Misalkan perintah berikut : “ jika x > 0 maka x = x+1” dimasukkan
pada suatu program.
Fungsi proposisi P(x): x >0.
Bila P(x) benar maka perintah x = x + 1 dieksekusi, tetapi bila P(x)
salah maka nilai x yang dimasukkan tidak berubah.
x=1
P(1) benar
x=0
P(0) salah
x=1+1=2
x=0
KUANTOR
Misalkan P(x) suatu fungsi proposisional, x berasal dari suatu domain
yang disebut semesta pembicaraan.
DEFINISI : Kuantifikasi universal adalah proposisi sbb :
Notasi
 x, P(x) dibaca “untuk setiap x, berlaku P(x)”.
 disebut kuantor universal, dibaca untuk setiap.
CONTOH : Nyatakan kalimat berikut dalam kuantifikasi universal
“semua mhs di kelas ini mengambil kuliah kalkulus”
Penyelesaian : Misal P(x) : x mengambil kuliah kalkulus, x varibel mhs.
Diperoleh
x, P(x).
Bentuk lainnya : misalkan S(x): x yang ada di kelas ini, maka pernyataan
Di atas dapat juga disajikan sebagai

 x, [ S(x)

P(x)]
KUANTOR (Lanjutan)
DEFINISI : Kuantifikasi eksistensial adalah proposisi sbb :
 x, P(x) dibaca “ada x sehingga berlaku P(x)”.
Notasi

disebut kuantor eksistensial dibaca “ada” atau “terdapat”.
Pengertian “terdapat” berarti paling tidak ada satu x dalam semesta
Pembicaraan sehingga P(x) benar.
CONTOH : Diberikan pernyataan P(x): x^2 = 1. Tentukan nilai kebenaran
 x, P(x).
Penyelesaian : Karena x = 1 dan x = -1 membuat persamaan x^2 = 1
benar maka kuantifikasi eksistensial ini bernilai benar.
Bila Q(x,y) : x^2+y^2 < 0 maka kuantifikasi eksist<ensial
benilai salah, sebab tidak ada x dan y yang memenuhi.

(x,y), Q(x,y)
NILAI KEBENARAN KUANTOR
PERNYATAAN
BENAR
SALAH
 x, P(x)
P(x) bernilai benar untuk
setiap nilai x di dalam
semesta pembicaraan
Ada x di dalam
semesta sehingga P(x)
bernilai salah.
 x, P(x)
Ada x di dalam semesta
(minmal satu) sehingga
P(x) bernilai benar
P(x) bernilai salah
untuk setiap x di dalam
semesta pembicaraan
Tabel ini dapat dikembangkan untuk fungsi proposisional yang terdiri dari beberapa variabel.
LATIHAN : Coba buat tabel yang sama untuk
fungsi proposisional P(x,y).
CONTOH
Misalkan  : himpunan bilangan bulat positif yang tidak lebih dari 4
sebagai semesta pembicaraan. Pernyataan P(x) didefinisikan sebagai
“x^2 > 10”. Selidikilah kebenaran kuantor  x, P(x).
PENYELESAIAN :  = {1, 2, 3, 4 }
untuk x = 1 diperoleh pernyataan 1 > 10 (salah)
untuk x = 2 diperoleh pernyataan 4 > 10 (salah)
untuk x = 3 diperoleh pernyataan 9 > 10 (salah)
untuk x = 4 diperoleh pernyataan 16 > 10 (benar)
Karena ada x di dalam semesta pembicaraan yang membuat P(x) benar
maka kuantor ini bernilai benar.
Catatan : Bila semesta pembicaraan tidak dinyatakan secara eksplisit
maka ia dianggap sebagai semua bilangan real.
LATIHAN : Misalkan P(x) : x^2 > 0. Selidikilah kebenaran kuantor berikut
i)  x, P(x)
ii)  x, P(x)
TERJEMAHAN KUANTOR
KE DALAM BAHASA INDONESIA
LANGKAH-LANGKAH :
1. Tulis makna dari setiap kuantor
2. Sajikan makna ini dalam kalimat sederhana
 (mudah dimengerti)
CONTOH : Misalkan x, y variabel untuk mahasiswa di kampus ini.
C(x) : x mempunyai komputer, F(x,y) : x dan y berteman.
Nyatakan ke dalam bahasa Indonesia kuantor berikut :
∀x ( C(x) ∨ ∃y ( C(y) ∧ F(x,y) ))
PENYELESAIAN : Setiap mahasiswa x di kampus ini memiliki komputer,
atau ada mahasiswa lainnya y, dimana x dan y berteman.
LATIHAN : untuk fungsi C dan F sama seperti di atas, terjemahkan
kuantor berikut ke dalam bahasa Indonesia
∃x ∀y ∀z ( (F(x,y) ∧ F(x,z) ∧ (y ≠ z) ) → ¬ F(y,z) ) )
TERJEMAHAN BAHASA INDONESIA
KE DALAM SIMBOL KUANTOR
CONTOH : Sajikan kalimat berikut dalam bentuk kuantor !
1. Beberapa mhs dalam kelas ini pernah datang ke Jakarta
2. Setiap mhs dalam kelas ini pernah datang ke Surabaya atau
Jakarta.
PENYELESAIAN : Misalkan J(x) : x pernah datang ke Jkt,
S(x) : x pernah datang ke Sby. Maka kalimat di atas dapat
disajikan dalam kuantor berikut :
1. ∃ x, P(x) , 2. ∀x ( J(x) ∨ S(x) ).
LATIHAN : Nyatakan kalimat berikut dalam bentuk kuantor
1. Setiap mhs dalam kelas ini mempunyai tepat satu teman dekat
2. Jika ada seseorang wanita dan ia pernah melahirkan maka pasti
ia merupakan ibu dari seseorang.
3. Selalu terdapat wanita dalam setiap penerbangan di dunia ini
NEGASI KUANTOR
Diperhatikan kalimat : “setiap mhs di kelas ini sudah mengambil Kalkulus”.
Pernyataan ini dapat ditulis dalam simbol : ∀x, P(x)
dimana P(x) : x sudah mengambil Kalkulus.
Negasi dari pernyataan ini dapat diungkapkan sbb :
“Tidaklah benar bahwa setiap mhs di kelas ini sudah mengambil Kalkulus”. Ini
berarti “ada mhs yang belum (tidak) mengambil kalkulus”,
ditulis ∃x, ¬P(x) dibaca “ada x yang tidak bersifat P(x)”.
KUANTOR
NEGASINYA
∀x, P(x)
∃x, ¬P(x).
∃x, P(x).
∀x, ¬P(x)
Latihan : Tentukan negasi dari pernyataan berikut :
1. Ada mahasiswa di kelas ini yang belum pernah browsing internet.
2. Tidak satupun mhs di kampus ini yang tertarik olahraga terjun payung