Transcript materi logika - WordPress.com

Bahan Ajar
MATEMATIKA
“Bersungguh-sungguhlah dlm mencari ilmu”
MATEMATIKA
SMA KELAS X semester 2
SMA NEGERI 3 TEMANGGUNG

PERNYATAAN, NILAI KEBENARAN, DAN KALIMAT TERBUKA
SKEMA SEDERHANA
KALIMAT
KALIMAT DEKLARATIF
KALIMAT BUKAN DEKLARATIF
KALIMAT TERBUKA
MENERANGKAN SESUATU
TAK MENERANGKAN SESUATU
MEMUAT VARIABEL
PERNYATAAN
BUKAN PERNYATAAN
JIKA DIGANTI VARIABEL
DENGAN KONSTANTA
NILAI KEBENARAN
DATA EMPIRIK/ FAKTA
BENAR
SALAH
DATA TAK EMPIRIK/ PEMBUKTIAN
• TENTUKAN MANAKAH YANG MERUPAKAN PERNYATAAN BUKAN PERNYATAAN DAN
KALIMAT TERBUKA
( pernyataan (s) )
1. 111 habis dibagi 3
:
kalimat deklaratif
2. 3 merupakan bilangan ganjil
:
3. Tutuplah pintu itu
:
4. Letak SMA N 3 Tmg. jauh
:
( bukan pernyataan )
kalimat deklaratif
5. Nasi soto tenda biru enak
:
( bukan pernyataan )
kalimat deklaratif
6. Akar persamaan x2 –x+8= 0.adalah
bilangan real. :
( pernyataan (b) )
kalimat deklaratif
( bukan pernyataan )
kalimat bukan deklaratif
( pernyataan (s)
kalimat deklaratif
6. x+6= 8 : X є a
:
( Kalmat tebuka )
akan menjadi pernyataan benar jika x = 2
ingat : x+6 = 8
Xє a
x=8–6
x=2
sehingga jika x = 2 disubstitusikan
: (2) + 6 = 8 ( B )
akan menjadi Pernyataan salah jika x ≠ 2
sehingga jika x = 3 disubstitusikan
: (3) + 6 = 8 ( S )
Skema 3
LATIHAN
1. TENTUKAN KALIMAT KALIMAT BERIKUT YANG MERUPAKAN
PERNYATAAN, BUKAN PERNYATAAN DAN KALIMAT TERBUKA
a. JUMLAH DUA BILANGAN GANJIL MERUPAKAN BILANGAN
GENAP
b. SUNGAI AMAZON TERLETAK DI BENUA AFRIKA
c. 4 X (6+5) = 4 X 6 + 4 X 5
d. BIARLAH REFORMASI TETAP BERJALAN
e. APAKAH DUA GARIS SEJAJAR TIDAK BERPOTONGAN ?
f. X2 – X – 2 = 0
g. 3X ≤ - 3

I.
INGKARAN , DISJUNGSI, KONJUNGSI, IMPLIKASI DAN
BI IMPLIKASI
INGKARAN / NEGASI
INGKARAN DAN PERNYATAAN p ADALAH
p ATAU ~ P ;
TABEL KEBENARANNYA
p
~p
B
S
S
B
CONTOH (1)
a. INGKARAN DARI “BAJU ITU BERWARNA MERAH”
“BAJU ITU TIDAK BERWARNA MERAH”
b. NEGASI DARI “4 + 5 = 10 “ADALAH
4 + 5 ≠ 10
ADALAH
SKEMA 5
DISJUNGSI
DISJUNGSI DARI P DAN q ADALAH “ p ٧ q “ DIBACA P ATAU
q

TABEL KEBENARAN DISJUNGSI

KESIMPULAN
p
q
B
B
S
S
B
S
B
S
pv q
P ٧ q HANYA AKAN SALAH JIKA P DAN Q
KEDUANYA SALAH
B
B
B
S
CONTOH : TENTUKAN NILAI KEBENARAN DARI
a. JAKARTA ADA DI INDONESIA ATAU 2+2 = 4
JAWAB :MISAL:
P: “ JAKARTA ADA DI INDONESIA (B) atau q : “ 2+2=4 (B)

Contoh
b. 3 -1 = 1 atau 2 + 1 = 4
Jawab : misal :p : 3 – 1 = 1
: (s)
q:2+1=4
: (s)
sehingga p ٧ q bernilai salah
APLIKASI DISJUNGSI
Jadi disjungsi pada kejadian sehari – hari
atauseperti pada jaringan listrik ( switching)
P
Q
Hubungan paralel “ P ٧ q “
SKEMA 6
KONJUNGSI
P
Q P۸q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S
KESIMPULAN
Konjungsi “p۸q”
Harga benar jika keduanya dari P DAN Q
bernilai benar
CONTOH : TENTUKAN NILAI KEBENARAN DARI
a. 5 x 2 = 10 dan 20 adalah bilangan genap
JAWAB P : 5 x 2 = 10
: (B)
Q : 20 ADALAH BILANGAN GENAP: (B)
JADI P۸Q BERNILAI BENAR
MBS
Lanjutan

Contoh
b. 3 -1 = 1 atau 2 + 1 = 4
Jawab : misal p : 3 – 1 = 1 : (s)
q : 2 + 1 = 4 : (s)
SEHINGGA P ۸ q BERNILAI SALAH
KONSEP DASAR KONJUNGSI PENERAPAN
pada jaringan listrik ( switching)
P
Q
SUSUNAN SERI “P۸Q”
SKEMA 6
DISJUNGSI
1. CARILAH NILAI –NILAI X AGAR SETIAP KALIMAT BERIKUT MENJADI
DISJUNGSI YANG BERNILAI BENAR
a. X – 3 = 5 – 3X ATAU 999 ADALAH BILANGAN PRIMA
JAWAB MISAL :P(X) : X – 3 = 5-3 : KALIMAT TERBUKA
q : 99 adalah bilangan prima ( s)
Agar p(x) v q bernilai benar maka
Maka p(x) haruslah bernilai benar
Sehingga
p(x)
:
x -3 = 5 – 3x
x + 3x = 5 +3
4x = 8
x =2
Jadi p(x) akan menjadi pernyataan bernilai benar jika x = 2
Lanjutan
Latihan/disjungsi
P(x) : 5log x = 1
q : 2 bukan bilangan prima
jawab
P(x) : 5log x = 1
( KALIMAT TERBUKA )
q : 2 bukan bilangan prima
(s)
Agar “{p(x) V q}” disjungsi bernilai benar
Maka p(x) haruslah bernilai B
Sehingga p(x) : 5log x = 1
x= 5’ = 5
Jadi p(x) akan menjadi pernyataan bernilai benar jika x = 5
Contoh / konjungsi
Carilah nilai x agar setiap kalimat berikut ini menjadikonjungsi yang benar
1.
1 – 3x = 2x – 4 dan log 2 + log 3 = log 6
Jawab
:
Misal p(x) : 1 -3x = 2x -4
q
: kailmat terbuka
: log 2 +log 3 = log 6 : (B)
Agar “ p(x) ۸ q” konjungsi ysng bernilai benar : maka
P(x) : 1 – 3x = 2x-4
haruslah bernilai benar
Sehingga
: 1 – 3x = 2x – 4
: p(x)
:
- 5x = - 5
x=1
P(x) akan bernilai benar jika x =1
2.
2x = 16 dan 2log 16 =4
Jawab
Misal p(x) : 2x = 16
q
: 2log 16 =4
(B)
Agar “ p(x) ۸ q” konjungsi ysng bernilai benar : maka
P(x) : 2x = 16
Sehingga
haruslah bernilai benar
: p(x)
: 2x = 16
2x = 2 4 x = 4
Sehingga P(x) akan bernilai benar jika x =4
:
Latihan
Kerjakanlah
I. Lengkapilah tabel kebenaran berikut
P
Q
~P
~Q
~P۸~q
~PV~q
B
B
S
S
B
S
B
S
S
S
B
B
S
B
S
B
S
S
S
B
S
B
B
B
II. Tentukan nilai kebenaran yang mungkin terjadi dari pernyataan
yang menyusunnya
a.
b.
c.
d.
e.
d.
P۸~q
~P۸q
~ (P ۸ q)
~ (~P ۸ ~ q)
~ (P V q)
~ (~PV~ q)
Jawab no II
I. Lengkapilah tabel kebenaran berikut
P
Q
P۸ q
PVq
~P
~Q
~ (P ۸ q)
~ (P V q)
~ P ۸ ~q
~(~ P ۸ ~q)
~ P v ~q
~(~ P v ~q)
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S
B
B
B
S
S
S
B
B
S
B
S
B
S
B
B
S
S
S
S
B
S
S
S
B
B
B
B
S
S
B
B
B
B
S
S
S
SKEMA 8
IMPLIKASI JIKA P MAKA Q DITULIS ‚ P => Q“
P DISEBUT ANTESEDEN / HIPOTESIS
Q DISEBUT KONSEKUEN / KESIMPULAN
Tabel kebenaran omplikasi
P
Q
P-q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
B
Kesimpulan
•Implikasi p => q akan bernilai salah jika
•P : bernilai benar dan
•Q bernilai salah
Contoh : (1)
Tentukan nilai kebenaran implikasi berikut
“jika 3 faktor dari 6 maka 6 habisdibagi 2
Jawab
P
: 3 faktor dari 6
(B)
Q
: 6 habis dibagi 2
(B)
Jadi p – q bernilai benar
LATIHAN
CARILAH NILAI X AGAR KALIMAT BERIKUT
BERNIALI SALAH
JIKA 4X – 5 = 2X + 1, MAKA LOG 5 +LOG 6 = LOG 11
JAWAB
Misal p(x)
: 4X – 5 = 2X + 1
q
: LOG 5 +LOG 6 = LOG 11
Agar p(x) –q berniali salah
Maka p(x) 4X – 5 = 2X + 1 haruslah bernilai benar
Sehingga
p(x)
: 4x -5 = 2x+1
4x - 2x = 1 +5
2x = 6
x =3
Jadi p(x) – q bernilai salah
Jika p(x) bernilai benar untuk x = 3
SKEMA 9
BI - IMPLIKASI
JIKA PERNYATAAN P DAN Q DAPAT DISUSUN DENGAN MENGGUNAKAN
KATA HUBUNG
“JIKA DAN HANYA JIKA
DITULIS
" P  Q"
DI BACA P JIKA DAN HANYA Q
Tabel kebenaran
P
Q
" P  Q"
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
B
KESIMPULAN
Bi – implikasi akan bernilai benar jika
pernyataan yang menyusunnya bernilai sama
Contoh
Tentukan nilai kebenaran pernyataan berikut :
2m-n = 2m – 2n jika dan hanya jika
25 – 2 = 23
Jawab
:
Misal p : 2m-n = 2m – 2n
q : 25 – 2 = 2 3
" P  Q"
: (S)
:
(B)
Bernilai salah
Tentukan HP dari (x>0) <=> (2x > 4) bernilai benar
jawab
:
Misal p : (x>0)
q : (2x > 4)
Agar p --- q bernilai benar :
Ada 2 kemungkinan :
1.
P : benar ; berarti x > 0
..(1)
Q : benar ; berart 2x > 4
..(2)

0
2
Ini berarti x > 2
2.
P : salah ; berarti x ≤ 0
Q : salah ; berart 2x ≤ 4
0
2
Ini berarti x ≤ 2
Hp = { x|x>2 atau x ≤ 0}
Untuk latihan lihat lks 10 no 5
..(1)
..(2)
ANDI HANDOYO
MATEMATIKA
SMA NEGERI 3 TEMANGGUNG
PERNYATAAN MAJEMUK YANG EQUIVALEN



Misal pernyataan P (p,q,r,…..) equivalen dengan Q (p,q,r,…), maka ditulis
P (p,q,r,…..) Ξ Q (p,q,r,…),
Contoh : tunjukan bahwa ~(p Λ ~q) Ξ ~p v q
jawab
P
Q
~P
~q
P Λ~ q
~ (P Λ~ q)
~PVq
B
B
S
S
B
S
B
S
S
S
B
B
S
B
S
B
S
B
S
S
B
S
B
B
B
S
B
B
IDENTIK
JADI TAMPAK BAHWA : ~((P Λ~ q) Ξ ~ P V q
Latihan
Tunjukan bahwa :
1. p → q Ξ ~ P V q
2. p → q Ξ (p → q ) Λ (q → p)

Jawab
perhatikan tabel kebenaran
berikut :
P
Q
p→q
q→p
~P
~PVq
P↔q
(p → q ) Λ (q →
p)
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
B
B
B
S
B
S
S
B
B
B
S
B
B
B
S
S
B
B
S
S
B
identik ( a)
identik ( b)
Latihan
~(PΛQ)Ξ~P V ~Q
~(PVQ)Ξ~P Λ ~Q
~(P→Q)Ξ~P Λ ~Q
(P↔Q)Ξ P ↔ ~QΞ ~P ↔ Q
1.
2.
3.
4.
Jawab
1. AKAN DI TAMPILKAN : ~(PΛQ) Ξ ~P V ~Q
P
Q
PΛq
~ (P Λ q)
~P
~q
~ P V~ q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
B
S
B
B
B
S
S
B
B
S
B
S
B
S
B
B
B
IDENTIK
P
Q
~P
~q
PVq
~ (P Λ q)
~PΛ~q
B
B
S
S
B
S
B
S
S
S
B
B
S
B
S
B
B
B
B
S
S
S
S
B
S
S
S
B
IDENTIK
SKEMA : 17
IMPLIKASI
P→Q
KONVERS
INVERS
~P → ~ Q

Q→P
INVERS
KONVERS
~Q → ~ P
CONTOH:1
Tentukan konvers, invers dan kontra posisi dari pernyataan berikut :
1. Jika hari hujan maka saya tidak bersekolah




Konvers
jika saya tidak sekolah maka hari ini hujan
Invers
jika hari hujan maka saya kesekolah
Kontra posisi
jika saya kesekolah maka hari tidak hujan

Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari
suatu pernyataan :
(p Λ q ) → (q V r)
jawab
Implikasi
: (p Λ q ) → (q V r)
Konvers
: (q v r ) → (p Λ q)
Invers
: ~(p Λ q ) → ~ (q V r)

kontraposisi




: ~ (q V r) → ~(p Λ q)

1.

2.


Kuantor universal dan kuantor exsistensial
Simaklah prnyataan berikut
“Semua siswa sma n 3 temanggung kelas X1 adalah siswa yang
pandai”
Pernyataan di atas mengandung / menggunakan kata “ semua atau
setiap” ddan selanjutnya disebut pernyataan berkuantor universal
(umum)
“beberapa siswa sma n 3 temanggung kelas X1 pandai”
Ini artinya : ada siswa sma n 3 temanggung kelas X1 adalah siswa
yang pandai
Pernyataan di atas mengandung / mengunakan kata “ beberapa atau
ada dan selajutnya disebut “ pernyataan berkuantor exsistensial (
khusus )
Dari contoh pernyataan kuator universal di atas : dapat dinotasikan :
Vx, x єA → x є B
Atau
Vx, p(x)
V ( dibaca semua atau setiap
Jadi :
“Semua siswa sma n 3 temanggung kelas X1
pandai”
Equivalen dengan
“ jika x adalah siswa sma n 3 temanggung kelas
X1maka x adalah siswa yang pandai

Semua A adalah B “ equivalen dengan opernyataan implikasi :
Jika XєA, maka xєB
Dari contoh pernyataan kuantor exsistensial di atas : dapat
dinotasikan :
Эx, x єA → x є B
Atau
Эx, p(x)
Lambang Э di baca ada atau beberapa
Jadi pernyataan dari
“ beberapa siswa sma n 3 temanggung kelasX1
pandai”
Equivalen dengan pernyataan
Sekurang – kurangnya ada siswa sma n 3 temangung
kelas X 1 pandai

Skema
13

Perhatikan peta konsep berikut :
KUANTOR UNIVERSAL
INGKARAN
Vx, P(x)
~[Vx, P(x)]
Эx~ P(x)
KUANTOR
KUANTOR EXSISTENSIAL
INGKARAN
Эx, P(x)
~[Эx, P(x)]
Vx ~P(x)
a. “ semua bilangan prima bukan bilangan genap
Jawab
•
:
Merupakan pernyataan kuantor universal yang bernilai (salah)
“tidak semua bilangan prima bukan bilangan genap”
Atau
“ ada bilangan prima adalah bilangan genap”
Jadi jelas bahwa ~p bernilai benar
b. Beberapa orang kaya tidak hidup bahagia
Jawab
:
Merupakan pernyataan kuantor exsistensial ( salah )
jadi pernyataan ingkarannya
•
“ tidak ada orang kaya tidak hidup bahagia
•
Semua orang kaya hidup bahagia
Skema 14
Perhatikan
1. Argumentasi yang sah
aΛb→e
2. Argumentasi yang tidak sah
aΛb→e
3. Argumentasi dikatakansah jika premis – premisnya benar, maka konklusinya
benar
Metode penarikan ksimpulan :
1. Modus ponen :
Misal
: premis 1
premis 2
Jadi kesimpulan
: p→q
:p
:q
[(p → q) Λ p] →q
Kita priksa pada tabel kebenaran :
P
Q
p→q
(q → p)Λp
[(p → q ) ΛP] → q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
B
B
S
S
S
B
B
B
B
Kesimpulan/Tautologi
JADI MODUS PONEN ADALAH ARGUMENTASI YANG SAH