Transcript Marketing Research one-way ANOVA  일원분산분석 제 13 장 분산분석

Marketing Research
제 13 장 분산분석
 일원분산분석(one-way ANOVA)
 분산분석(analysis of variance ; ANOVA) : 각 모집단이 정규분포를 이루며 분산이 같
다는 가정 하에 두 개 이상의 독립 모집단들의 평균값을 비교하는데 사용하는 통계기법이
며, 이때의 검증통계량은 F이다.
 분산분석의 원리
• 두 모집단으로부터 각각 n=5의 표본을 추출하고 각 표본의 평균을 계산한 결과.
A
평균
B
C
3.0
8.0
3.0
9.0
4.7
5.8
7.0
5.0
7.0
6.0
5.0
5.8
5.0
6.0
5.0
7.0
5.0
6.0
4.0
7.0
4.0
8.0
5.2
6.0
6.0
4.0
6.0
5.0
5.1
6.4
5.0
6.0
5.0
7.0
5.0
6.0
일원분산분석 : 두 개 이상의 모집단들의 평균값(또는 처치집단들의 평균값)을 비교하는 것
으로 두 개의 독립모집단의 평균비교를 확장한 것이다.
1
Marketing Research
• A와 B를 비교하면, A에 비해 B의 경우 두 모집단의 평균차이가 있을 가능성이 높다. 왜
냐하면 A에 비해 B의 경우 두 평균값들의 분산이 더 크기 때문이다.
• A와 C를 비교하면, A에 비해 C의 경우 두 모집단의 평균차이가 있을 가능성이 높다. 왜
냐하면 A에 비해 C의 경우 각 집단내의 분산이 더 작기 때문이다.
• 요약 : 두 개 이상의 모집단으로부터 표본을 추출한 경우 표본평균값 간의 차이가 클수록
(집단간 분산이 클수록) 그리고 각 표본의 요소들 간의 차이가 작을수록(집단 내 분산이
작을수록) 모집단의 평균값에는 차이가 있을 가능성이 높다. → 분산분석은 이러한 논리
에 바탕을 두고 분산값들을 분석함으로써 모집단 평균의 차이를 검증하는 통계기법.
 분산분석의 절차
• 자연모집단들의 평균간에 차이가 있는 가를 보는 것(예를 들어 신입생들의 수능시험 평
균성적이 세 대학교간에 차이가 있는가 ?)이지만, 어떤 실험변수에 여러 수준의 처치를
가하고 그 결과가 다르게 나타나는지를 보는데도 자주 사용됨.
• 교육방법 / A, B / 판매실적
결과변수
처치변수(treatment variable)
처치수준(treatment level)
• n 개의 실험대상을 무작위로 k개의 집단으로 나누고 각각의 집단에 처치를 가하여 실험
대상으로부터 처치에 따른 결과 값을 추정(각 집단의 크기 n1, n2, …, nk).
2
Marketing Research
• 분산분석을 위한 기본자료의 배열
처치 1
처치 2
…
처치 k
x11
x12
…
x1k
x21
x22
…
x2k
·
·
·
·
·
·
·
·
·
xn1
xn2
X1
X2
집단평균
집단평균으로부터의
편차의 제곱합
 X
n1
i 1
 X1 
2
i1
 X
n2
i 1
…
Xk
 X2 
2
i2
xnk
 X
nk
…
i 1
• 전체 제곱합(total variance ; total sum of squares ; Total SS)
   X ij  X 
k
nj
2
j 1 i 1
3
X : 전체평균
ik  X k 
2
Marketing Research
• 집단간 제곱합(between variance ; sum of squares due to treatment ; SST)
  n j X j  X 
k
2
j 1
• 집단내 제곱합(within variance ; sum of squares due to error ; SSE)
   X ij  X j 
k
nj
2
j 1 i 1
• 전체 제곱합(Total SS) = 집단간 제곱합(SST) + 집단내 제곱합(SSE)
• SST와 SSE를 각각의 자유도로 나누면 MST와 MSE를 얻게 되며 이로부터 검증통계량
F값을 계산할 수 있다.
분산분석표
원천
제곱합(SS)
제곱평균(MS)
Fobs
k–1
MST  SST ( k  1 )
MST
MSE
n–k
MSE  SSE ( n  k )
2
SST   n j X j  X 
k
처치(집단간)
자유도
j 1
SSE    X ij  X j 
k
오차(집단내)
nj
2
j 1 i 1
Total SS    X ij  X 
k
합계
nj
2
j 1 i 1
4
n–1
Marketing Research
• k개 모집단 평균값들(혹은 k개 처치집단 평균값들)간에 차이가 있는지를 조사하기 위한
가설설정과 검증절차.
1) H0 : μ1=μ2=…=μk
H1 : 모든 μ가 동일하지는 않다. 즉 최소한 어떤 두 개의 평균값들간에는 차이가 있다.
2) Fobs 계산 : Fobs 
MST
SST k  1

MSE
SSE ( n  k )
3) F-table에서 Fcrit 값을 찾는다 : Fcrit = F(α; k-1, n-k) (여기서 k-1과 n-k는 각각 집
단간 및 집단내 분산의 자유도이다.)
4) 기각역은 Fcrit값의 우측에 위치한다. 따라서 Fobs ≥ Fcrit이면 H0는 기각되고 Fobs ＜
Fcrit이면 Ho는 기각되지 않는다.
 분산분석의 예 : A 잡지회사의 영업부에서는 영업사원 교육을 위한 네 가지 교육프로그램의
효과에 차이가 있는지를 조사하기 위하여 실험을 실시하였다. 이 실험에서 28명의 신입사원
들을 무작위로 네 집단으로 나누어 교육프로그램 A, B, C, D로써 교육을 실시하였다. 교육
도중 5명이 탈락하고 교육을 마친 후 1주일간의 장기구독 판매실적은 다음의 표와 같다. 여
기서 신입사원들을 무작위로 네 집단으로 나누었으므로 각 집단에 속한 사원들의 교육이전
판매능력은 동일한 것으로 가정된다. 이러한 자료로써 교육프로그램에 따라 판매실적이 다
르다고 할 수 있는가 (α=.05)?
5
Marketing Research
교육프로그램별 판매실적
 가설검증
교육프로그램
A
B
C
D
65
87
73
79
81
69
75
69
83
81
72
79
76
59
78
67
62
83
76
94
89
80
88
1) Ho : μ1=μ2=μ3=μ4
H1 : 모든 μ가 동일하지는 않다(즉, 어떤 집단의
평균값은 다른 집단의 평균값과 다르다).
2) F-test를 한다.
3) Fobs 계산을 위하여 분산분석표를 작성한다. 먼저,
각 집단의 평균값과 전체 평균값을 계산하면,
Total SS   X ij  X   65  77.34  87  77.34
k
교육프로그램별 판매실적과 평균
nj
2
2
2
j 1 i 1
교육프로그램
 ...  88  77.34  1,909.2
2
A
B
C
D
65
87
73
79
81
69
75
69
83
81
72
79
76
59
78
67
62
83
76
94
89
80
88
x i 75.67 78.43 70.83 87.75 x  77.34
SST   n j X j  X   675.67  77.34 
k
2
2
j 1
 778.43  77.34  ...  487.75  77.34  712.6
2
2
SSE    X ij  X j   65  75.67   87  75.67 
k
nj
2
2
j 1 i  1
 ...  88  87.75  1,196.9
2
6
2
Marketing Research
분산분석표
원천
제곱합(SS)
d.
f.
평균제곱
(MS)
Fobs
처치(집단간)
SST = 712.6
3
MST =
237.5
3.7
7
MST  SST ( k  1 )  712.6 4  1  237.5
MSE  SSE ( n  k )  1,196.9 23  4   63.0
Fobs 
MST
237.5

 3.77
MSE
63.0
MSE =
4) Fcrit =F(α;k-1, n-k) = F(.05 ; 3,63.0
19) = 3.13
Total SS =
5) F = 3.13보다
우측이 기각영역이
되면 Fobs = 3.77은 기각역에 위치하므로 H0는 기각된다.
22
합계
1,909.2
오차(집단내)
SSE = 1,196.9
19
따라서 모든 교육프로그램효과가 동일하지는 않다. 즉, 최소한 어느 두 가지 프로그램간에
는 그 효과가 다르다고 결론지을 수 있다.
C, D가 기각하는데 있어 가장 많이
공헌(contribution)
Fobs = 3.77
3.13
.05
7
Marketing Research
 분산분석의 추가 이슈들
• 추가 1 : p-value를 이용한 가설검증 → “p-value/자유도(3, 19)의 F분포”는 다음
영역임.
p-value
3.77
 F(.05 ; 3, 19) = 3.19 / F(.025 ; 3, 19) = 3.90
 3.77은 3.13와 3.19 사이에 위치하므로 .025＜pvalue＜.05라고 할 수 있다. p-value＜α=.05보다
작으므로 H0는 역시 기각된다.
• 추가 2 : 사후다중비교 ; 분산분석결과 네 집단 중 적어도 어느 두 집단간에는 평균차이
가 있다고 결론 내렸다. 그러면 6개의 두 집단 비교 중 어느 두 집단에서 차이가 있는가
(4C2 = 6) ? 이를 위하여 사후다중비교(post hoc multiple comparisons)를 할 수
있다.
8
Marketing Research
• 추가 3 : 분산분석에 의한 두 집단 평균의 비교 – 일반적으로 두 집단의 평균차이검증
을 위해서는 t-test를 사용하지만 분산분석에 의한 F-test에 의해서도 물론 가능하다.
12장의 판매사원 교육프로그램 예를 통해 분산분석에 의한 가설검증을 하면, 귀무가설
과 대립가설은 t-test의 경우와 같다. 분산분석결과 Fobs=2.70으로 나타나며, Fcrit =
F(.05 ; 2-1, 18-2) = 4.49로서 H0는 기각되지 않는다.
 (tobs)2 = (1.64)2 = 2.70 = Fobs
 (tcrit)2 = (2.12)2 = 4.49 = Fcrit로 나타남을 알 수 있다. 이와 같이 두 모집단 평균
차이검증을 위하여 F-test를 하더라도 t-test 결과와 같다. 그러나 t-test가 보다 간
편하므로 흔히 t-test를 사용한다.
9
Marketing Research
 분산분석(무작위 블럭디자인 ; paired-difference test)
 마케팅 관리자가 패키지 디자인으로 두 가지가 아닌 세 가지를 비교하고자 하는 경우, 선
정된 수퍼마켓을 세 집단을 나누어 각 집단의 수퍼마켓에 A, B, C 중 한 가지 패키지 디자
인의 비누를 진열하여 매출을 비교한다면 수퍼마켓의 크기, 내점고객수, 그 지역의 소득,
경쟁상황 등 여러 가지 요인들이 매출에 영향을 줄 수 있다(외생변수). 그러므로 무작위
블럭디자인(randomized block design)을 통해서 실험을 해야 한다. 이 실험에서 4개
의 수퍼마켓을 선정하여 각 수퍼마켓에 세 가지 디자인의 비누를 모두 진열하였다. 그 결
과 각 수퍼마켓에서 패키지 디자인별로 다음과 같이 매출이 실현되었다. 이 경우 각 수퍼
마켓의 조건이 세 가지 디자인의 비누판매에 공통적으로 영향을 미치며, 이와 같은 변수
를 블럭(block)변수라고 한다. 이 자료로부터 패키지 디자인에 따라 매출이 다르다고 할
수 있는가 ?
수퍼마켓별 각 패키지 디자인의 판매실적
한 처치변수의 수준(treatment
패키지 디자인
수퍼마켓
level)에 따라 결과변수의 값이 달
A
B
C
라지는가를 조사할 때 외생변수로
1
17
34
23
작용할 수 있는 변수를 통제하기 위
2
15
26
21
하여 블럭변수로 처리한 것으로 엄
3
1
23
8
격히 말해 한 개의 처치변수의 효과
4
0
22
16
를 조사하는 것.
10
Marketing Research
무작위 블럭디자인의 분산분석표
원천
제곱합(SS)
자유도
평균제곱(MS)
Fobs
b : 블럭의 수
처치(집단간)
SST
t–1
MST=SST/(t-1)
MST/MSE
t : 처치의 수
블럭
SSB
b–1
MSB=SSB/(b-1)
MSB/MSE
오차(집단내)
SSE
(b-1)(t-1)
MSE=SSE/(b-1)(t-1)
합계
Total SS
bt – 1
 가설검증
• H0 : μ1=μ2=μ3, H1 : 모든 μ가 동일하지는 않다.
• F-test를 한다.
• 분산분석표를 작성하여 Fobs를 구한다.
무작위 블럭디자인의 분산분석표
원천
제곱합(SS)
d.f.
평균제곱(MS)
Fobs
처치(집단간)
547.17
2
273.58
36.09
블럭
348.00
3
116.00
15.30
오차(집단내)
45.50
6
7.58
합계
940.67
11
11
주관심대상
Marketing Research
•
관심의 대상 : 패키지 디자인에 따라 매출이 다른가에 관한 것이므로 Fobs(처치)=36.09를
다음의 Fcrit과 비교한다(α=.05)
Fcrit = F(α; t-1, (b-1)(t-1)) = F(.05 ; 2, 6) = 5.14
•
Fobs＞ Fcrit이므로 H0는 기각되며, α=.05에서 패키지 디자인에 따라 매출이 달라질 수 있
다는 결론을 내릴 수 있다. 또한 F(.005 ; 2, 6) = 14.54이므로 p-value＜.005이고 따라
서 H0는 α=.005에서도 기각된다(자유도가 커질수록 F값은 작아지는 경향이 있다).
•
추가적으로 원래 관심의 대상은 아니지만 슈퍼마켓간에 매출이 동일하다(μ1=μ2=μ3=μ4)
는 귀무가설을 생각할 수 있는데 ,
 H0 : μ1=μ2=μ3=μ4 , H1 : 모든 μ가 동일하지는 않다.
 Fobs = 15.30, Fcrit = F(α ; b-1, (b-1)(t-1)) = F(.05; 3, 6) = 4.76
 Fobs＞ Fcrit이므로 H0는 기각되며, α=.05에서 비누매출이 동일하지는 않다는 결론을
내릴 수 있다. 또한 F(.005 ; 3, 6) = 112.92이므로 p-value＜.005이고 따라서 H0는
α=.005에서도 기각된다.
12
Marketing Research
 이원분산분석(factorial design) : 2개 이상의 독립처치변수의 수준변화에 따른
결과변수값의 변화를 조사하기 위한 실험디자인으로 이때 각 처치변수를 factor라
고 부른다(factor A의 처치수준 a, factor B의 처치수준 b일 때 이 실험디자인을
a×b factorial design이라 부르며 처치변수가 2개이므로 처치효과(treatment
effect)를 조사하기 위하여 이원분산분석(two-way ANOVA)을 적용) .
 이원분산분석 결과 : 처치효과로서 주효과와 상호작용효과.
• 주효과(main effect) : 한 처치변수의 변화가 결과변수에 미치는 영향에 관한 것.
• 상호작용효과(interaction effect) : 다른 처치변수의 변화에 따라 한 처치변수가 결과
변수에 미치는 영향에 관한 것.
 예 : 탄산화 정도와 단맛정도가 청량음료태도에 미치는 영향을 알기 위한 실험으로 각 처치
변수의 수준을 고·저로 하는 경우 이 실험디자인은 2×2 factorial design이 된다.
• 두 처치변수의 주 효과
태도
탄산화의 정도가 높을수록
태도
태도가 호의적이며 단맛 정도가
높을수록 태도가 비호의적인
것으로 추정.
저
고
탄산화
13
저
고
단맛
Marketing Research
• 두 가지 처치변수의 상호작용효과
다른 처치변수의 변화에 따라 한 처치변수가 결과
변수에 미치는 영향에 관한 것.
고탄산화
태도
태도
고탄산화
저탄산화
저탄산화
저
고
단맛
저
저탄산화에 비해 고탄산화 경우 태
도가 호의적이며 이러한 경향은 단
맛의 고·저에 관계없이 동일하게 나
타난다 : 상호작용효과는 없다고 할
수 있다.
14
고
단맛
저탄산화에 비해 고탄산화의 경우
태도가 호의적(저단맛의 경우 : 탄
산화의 정도에 따라 태도가 크게 다
르지 않음; 고단맛의 경우 : 저탄산
에 비해 고탄산의 경우 태도가 호의
적 : 상호작용효과가 있는 것으로 추
정.
Marketing Research
a×b factorial design에 대한 이원분산분석표
원천
제곱합(SS)
자유도
평균제곱(MS)
Fobs
Factor A
SS(A)
(a-1)
MS(A) = SS(A)/(a-1)
MS(A)/MSE
Factor B
SS(B)
(b-1)
MS(B) = SS(B)/(b-1)
MS(B)/MSE
상호작용 A×B
SS(AB)
(a-1)(b-1)
MS(AB) = SS(AB)/(a-1)(b-1)
MS(AB)/MSE
오차
SSE
(n-ab)
MSE = SSE/(n-ab)
합계
Total SS
(n-1)
 팩토리얼 디자인에 의한 이원분산분석의 예 : 저관여 신제품의 경우 소비자의 광고에 대한
태도는 브랜드태도에 상당한 영향을 미칠 수 있다. 신제품 광고로서 세 가지 광고대안을 개
발하였으며 피실험자들에게 노출시킨 후 광고태도를 측정하여 소비자들이 좋아하는 광고
를 선택하고자 한다. 마케터는 이러한 광고대안들에 대한 태도가 남녀간에 다를지도 모른
다고 생각하고 남·녀 중 어느 집단이 어떤 광고를 더 좋아하는지 알기를 원했다 남·녀 각각
9명의 피실험자들을 다음과 같이 6개의 cells에 할당하고 각 피실험자에게 세 가지 광고 중
하나를 보여주었다. 피실험자들은 광고태도를 0 ~ 5.0(간격 0.1)의 척도상에 표시하였다.
그 결과는 다음과 같다. 이때, 세 가지의 연구문제를 생각할 수 있다.
• 광고대안에 따라 광고태도가 다른가(α=.05) ?
• 성별에 따라 광고태도가 다른가(α=.05) ?
• 성별과 광고대안 간에는 상호작용효과가 있는가(α=.05) ?
15
Marketing Research
남·여별 각 광고에 대한 태도점수
광고
성별
남
여
< 가설검증 >
• H0 : μ1=μ2=μ3, H1 : 모든 μ가 동일하지는 않다.
1
2
3
4.1
3.1
3.5
H0 : μ남＝μ여, H1 : μ남≠μ여
3.9
2.8
3.2
H0 : 상호작용효과가 없다. H1 : 상호작용효과가 있다.
4.3
3.3
3.6
2.7
1.9
2.7
• 2×3 factorial design에 의한 이원분산분석(세 개의
F-검증)
3.1
2.2
2.3
• cell별로 평균을 계산하면…
2.6
2.3
2.5
자료의 평균값
성별
자료의 이원분산분석표
광고
계
1
2
3
남
4.10
3.06
3.43
3.53
여
2.80
2.13
2.50
2.48
계
3.45
2.60
2.97
3.00
자유도 평균제곱(MS) Fobs
원천
제곱합(SS)
광고(A)
2.1811
2
1.0906
21.81
성별(B)
5.0139
1
5.0139
100.2
8
상호작용(A×B)
.1344
2
.0672
1.34
오차
.6000
12
.0500
합계
7.9294
17
16
Marketing Research
• 연구가설별로 F-table에서 Fcrit를 찾는다.
• 이원분산분석의 경우 보통 상호작용과정을 먼저 조사.
 상호작용효과가 유의적 : 전체 패턴을 주의 깊게 해석(주효과를 추가적으로 조사하지만, 의
미는 크지 않다.)
 상호작용효과가 비유의적 : 주효과를 조사하고 유의적이면 이에 따라 해석.
 상호작용효과에 대한 검증 : Fobs = 1.34 ＜ Fcrit = F(.05 : 2, 12) = 3.89 ∴ 상호작용효과는
유의적이지 않음.
 광고대안(A)의 주효과에 대한 검증 : Fobs = 21.81 ＞ Fcrit = F(.05 : 2, 12) = 3.89 ∴ 광고
대안(A)의 주효과는 유의적.
 성별(B)의 주효과에 대한 검증 : Fobs = 100.28 ＞ Fcrit = F(.05 : 1, 12) = 4.75 ∴ 성별(B)
의 주효과는 유의적.
광고
남녀 모두 광고 1을 광고 2보다 선호하는 경향이 있으며,
태도
전체적으로 남자가 여자보다 실험용 광고에 대한 태도가 호의적
1
남
2
여
이며, 성별에 따라 특정 광고를 선호하는 경향이 다르지 않다
(6개 평균태도점수 간의 차이가 통계적 유의성이 있는지 알기 위해
3
사후다중비교를 실시해야 함).
4
1
2
3
광고
17
Comment : 남자가 여자보다 실험
광고를 선호하며, 광고1을 세 개 중
가장 선호하는 것으로 추정.