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Unidad 1: ECUACIONES
DIFERENCIALES DE
PRIMER ORDEN
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
PROPIEDADES OPERACIONALES
Introducción
Con el propósito de ahorrar trabajo, en
lugar de utilizar la definición de la
Transformada de Laplace en cierto tipo de
funciones, conviene la utilización de
algunas propiedades que simplifican el
proceso.
 Estas propiedades se sintetizan enseguida.

Traslación en el eje s
PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN

Si L {f(t)}=F(s) y a es cualquier número real,
entonces:
L {eatf(t)}=F(s-a)
Demostración:
De acuerdocon la definición:

L {e at f (t )}   e  st e at f (t )dt   e ( s a )t f (t )dt  F ( s  a )
0
0
Problemas:

Evalúe:
4t 2
1. L {e t }
 2t
2. L {e Cos(3t )}
3. L
-1
 2s  5 

2 
 ( s  3) 
Función escalón unitario

La función escalón unitario U (t-a) se
define como:
0 0  t  a
U (t  a )  
ta
1
Representación de funciones
mediante la función escalón
unitario

Cuando una función f definida para toda
t>0 se multiplica por U (t-a), la función
escalón unitario “desactiva” una parte de la
gráfica de dicha función.
Por ejemplo, para “desactivar” de la
función: f(t)=t-3 la porción de la gráfica de f
en el intervalo 0<t<2, simplemente se
forma el producto: (t-3) U (t-2)
Representación de funciones
mediante la función escalón
unitario…

La función escalón unitario también se
puede usar para escribir funciones
definidas por partes en forma compacta.
Por ejemplo, si se consideran los intervalos
0<t<2 y 2<t<3 y los valores
correspondientes de U (t-2) y U (t-3), la
función
2 0t 2

f (t )   1 2  t  3
0
t 3

sería: f(t) = 2 – 3 U (t-2) + U (t-3)
Representación de funciones
mediante la función escalón
unitario…

También, la función definida por partes
 g (t ) 0  t  a
f (t )  
ta
 h(t )
se puede expresar por:
f(t) = g(t) – g(t) U (t-a) + h(t) U (t-a)
 De manera similar, una función del tipo:
 0 0t a

f (t )   g (t ) a  t  b
 0
t b

se escribe: f(t) = g(t)[ U (t-a) - U (t-b)].
Traslación en el eje t
SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACIÓN

Si F(s)= L {f(t)} y a>0, entonces:
L { f(t-a)U (t-a) } = e-asF(s).
Demostración:
Mediante la propiedad del intervalo aditivo
de integrales,

L
 f (t  a)U(t  a)   e
0
 st
f (t  a )U(t  a )dt
se puede escribir como la suma de dos
integrales.
Traslación en el eje t
SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACIÓN…

a
L
 f (t  a )U(t  a )   e st f (t  a )U
(t  a )dt   e  st f (t  a )U(t  a )dt






0
cero para
0  t a
a
uno para
0  t a

L
 f (t  a )U(t  a )   e st f (t  a )dt
a
Ahora bien, si v=t-a, dv=dt en esta última integral:

L
 f (t  a )U(t  a )   e s ( v  a ) f (v )dv
a

L
 f (t  a )U(t  a )  e as  e  sv f (v )dv  e as L { f (t )}  e as F ( s ).
0
Problemas

Obtenga la Transformada de Laplace para
cada una de las funciones indicadas.
1. L U(t  a )
2. L 3 U(t  2)  2 U(t  5)
3. L
1
 1 3 s 
e 

s  4

Derivadas de una
transformada

La Transformada de Laplace del producto de
una función f(t) con t se puede encontrar
mediante diferenciación de la Transformada
de Laplace.

Supongase que F(s)=L {f(t)} existe y que es posible
intercambiar el orden de diferenciación e integración.
Entonces:

d
d
 st
F (s) 
e
f (t )dt 

ds
ds 0
es decir :
d
L {tf (t )}   L { f (t )}
ds


  st
 st
[
e
f
(
t
)]
dt


e
0 s
0 tf (t )dt  L {tf (t )}
Derivadas de una
transformada…

Se puede usar el último resultado para
obtener la Transformada de Laplace de t2f(t);
d
2
L {t f (t )}  L {t * tf (t )}   L {tf (t )}
ds
2
d  d
 d
    L { f (t )}   2 L { f (t )}
ds  ds
 ds

Estos dos casos nos conducen a lo siguiente:
Si F(s) = L {f(t)} y n=1, 2, 3, . . . , entonces
n
d
L {t n f (t )}  ( 1) n n F ( s )
ds
Problema

Evalúe:
L { t Cos(kt) }
Transformadas de integrales
(Convolución)

Si las funciones f y g son continuas por
partes en [0,+Inf), entonces el producto
especial, denotado por f*g, se define
mediante la integral:
t
f * g   f ( ) g (t   )d
0
y se llama convolución de f y g. La
convolución de f*g es una función de t
Teorema de convolución

Si f(t) y g(t) son funciones continuas por
partes en [0,+Inf) y de orden exponencial,
entonces:
L {f*g} = L {f(t)} L {g(t)} = F(s) G(s)

Forma inversa:
L -1{F(s)G(s)} = f*g
Teorema de convolución…

Demostración:
Sean :

F ( s )  L { f (t )}   e  s f ( )d
0

G( s )  L { f (t )}   e
 s
g (  )d
0
Si se procede de manera formal, se tiene:
Teorema de convolución…
   s
   s

F ( s )G( s )    e f ( )d   e f (  )d 
0
 0

  


 s (   )
e
f ( ) g (  )dd

0 0



0

f ( )d  e  s (   ) g (  )d
0
Manteniendo t fija, se permite que t=+,
dt=d, de modo que:
Teorema de convolución…

F ( s )G( s ) 


f ( )d  e  st g (t   )dt .

0
Puesto que f y g son continuas y de orden
exponencial, es posible intercambiar el
orden de integración:

F ( s )G ( s )
t
  e dt  f ( ) g (t   )d
0

 st
0
t


  e  f ( ) g (t   )d  dt
0
0

 L { f * g}
 st
Problema

Evalúe
t 

L  e Sen(t   )d 
0

Transformada de una
integral

Cuando g(t) = 1, L {g(t)}=G(s)=1/s; el
teorema de convolución implica que la
Transformada de Laplace de la integral de f
t


es:
 1  F (s)
L  f ( )d   F ( S )  
0

s

De manera inversa:
L
1
 F (s) 

   f ( )d
 s  0
t
s
Problema

Obtenga
L
1
 1

 2

 s( s  1) 
Transformada de una
función periódica
Si una función periódica tiene un periódo T,
T>0, entonces f(t+T)=f(t).

Si f(t) es continua por partes en [0,+Inf), de
orden exponencial y periódica en T,
entonces:
T
1
 st
L  f (t ) 
e
f (t )dt .
 sT 
1 e 0
Transformada de una
función periódica…

Primeramente escribiremos la Transformada
como la suma de dos integrales:
T

0
T
L { f (t )}   e  st f (t )dt   e  st f (t )dt
Cuando se hace t=u+T, la última integral se
convierte en:



T
0
0
 st
 s ( u T )
 sT
 su
 sT
e
f
(
t
)
dt

e
f
(
u

T
)
du

e
e
f
(
u
)
du

e
L { f (t )}



De donde:
T
1
 st
L  f (t ) 
e
f (t )dt .
 sT 
1 e 0
Problema

Si:
1 0  t  1
f (t )  
0 1  t  2
y fuera del intervalo [0,2), f(t+2) = f(t)
[Función de onda cuadrada]
Determine L {f(t)}.