Transcript Transformada de Laplace.

CONTROL E INSTRUMENTACION DE PROCESOS AMBIENTALES
UNIDAD I: FUNDAMENTOS DEL CONTROL DE PROCESOS
Capítulo 2: Transformada de Laplace
1. INTRODUCCION
 Toma su nombre en honor de Pierre-Simon Laplace, matemático francés,
(1749-1827)
 Es una generalización de la Transformada de Fourier
 Su principal ventaja radica en que las operaciones de la integración y
derivación se convierten en operaciones de multiplicación y división de
funciones racionales
 Su principal aplicación está en la solución de ecuaciones diferenciales
lineales
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2. DEFINICIÓN: La Transformada de Laplace, TdL, de una función f(t),
definida para todos los números reales, t ≥ 0 es la función F(s), se define
como:
 La anterior definición corresponde a la TdL unilateral
 La condición necesaria y suficiente para que la TdL exista es la la
convergencia de la integral impropia
 El parámetro s, permanece constante durante la integración
 La TdL es lineal, esto significa que:
Siempre que f(t) y g(t) existan para t > 0
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3. CALCULO DE LA TdL DE FUNCIONES ELEMENTALES
Procede mediante la aplicación de la definición
 Calcule la TdL de f(t) = 1
NOTA: PARA LA INTEGRACIÓN SE UTILIZA EL MÉTODO “POR PARTES”
 Calcule la TdL de f(t) = t
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 El resultado anterior se puede generalizar para f(t) = t n como:
para:
y
 Calcule la TdL de f(t) = ekt
para
 Calcule la TdL de f(t) = Senkt
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 Calcule la TdL de f(t) = Coskt
De donde podemos concluir que:
Por lo que la transformada de Senkt queda
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 Calcule la TdL de y’(t) = df(t)/dt
Si
es continua por tramos en el intervalo
 De manera similar se puede comprobar que:
 Y generalizando para la derivada n-ésima:
Entonces:
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4. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
 Teorema del Valor Inicial
Si
y
existe y es igual a
 Teorema del Valor Final
Si
y el
 Primer Teorema de Traslación
 Segundo Teorema de Traslación
existe. Entonces:
, entonces:
Tabla de las transformadas de Laplace selectas
Función
Retraso ideal
Impulso unitario
n-ésima potencia
Escalón unitario
Escalón unitario con
retraso
Rampa
Potencia n-ésima con
cambio de frecuencia
Amortiguación
exponencial
Seno
Cseno
Seno Hiperbólico
Coseno hiperbólico
Onda senoidal con
amortiguamiento
exponencial
Onda cosenoidal con
amortiguamiento
exponencial
Dominio en el
tiempo
Dominio en
Laplace
Región de
convergencia
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5. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Ya hemos dicho que una de las principales ventajas de la TdL es su propiedad de
convertir una EDO en una ecuación racional. Esta última se puede resolver para la
variable de interés y “retornar” al espacio temporal para obtener la solución en el
tiempo.
Esta última etapa requiere de una operación inversa a la TdL mediante la llamada
Transformada Inversa de Laplace
 DEFINICION
Si
es la Transformada de Laplace de una función continua
, tal que
, entonces, la Transformada Inversa de Laplace de
denotada como
, es
, es decir,
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EJEMPLO 1: Calcule
Ya que
entonces:
 Métodos para obtener la transformada inversa de Laplace:
1. Usando la integral de inversión compleja
1
f ( t )  L { F ( s )} 
1
c  j
F ( s )e

c  j
2 j
st
ds
2. Por tablas de transformadas.
3. Por expansión en fracciones parciales
Los métodos 2 y 3 pueden aplicarse, debido a la unicidad de la TdL
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6. Expansión en fracciones parciales
Considere que F(s) está en la forma:
F (s) 
n(s)
d (s)

k ( s  z 1 )( s  z 2 )  ( s  z m )
( s  p 1 )( s  p 2 )  ( s  p n )
Donde las raíces de n(s): ( s   z1 ,  z 2 ,  ,  z m )
,
nm
son los ceros de F(s)
Mientras que las raíces de d(s): ( s   p1 ,  p 2 ,  ,  p n ) son los polos de F(s)
Si F(s) se descompone en sus componentes: F1(s)+F2(s)+……Fn(s) y si
las transformadas inversas de Laplace de F1(s), F2(s) , . . . , Fn(s) son obtenidas
fácilmente, entonces:
L-1[F(s)] = L-1[F1(s)] + L-1[F2(s)] +. . . + L-1[Fn(s)]
= f1(t) + f2(t) + . . . + fn(t)
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La ventaja del procedimiento de expansión en fracciones parciales es que
los términos individuales de F(s), resultantes de la expansión en forma de
fracciones parciales, son funciones muy simples de s.
Conviene señalar, sin embargo, que al aplicar la técnica de expansión en
fracciones parciales en búsqueda de la transformada inversa de Laplace
de F(s) = n(s)/ds) deben conocerse previamente las raíces del polinomio
denominador d(s). Es decir, este método no se aplica hasta que se ha
factorizado el polinomio denominador.
 CASOS DE EXPANSION
1. CASO UNO: F(s) tiene solo polos distintos
F (s) 
n(s)
d (s)

a1
s  p1

a2
s  p2
 
an
s  pn
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Donde el coeficiente constante ak es conocido como el residuo en el polo s = - pk y
se obtiene mediante:
a k  [( s  p k ) F ( s )] s   p k
ak 
 pk t
1 
Ya que: L 
entonces f(t) estará dada por:
  ak e
 s  pk 
1
f ( t )  L { F ( s )}  a1 e
 p1t
 a2e
 p 2t
   ane
EJEMPLO DOS: Hallar la transformada inversa de Laplace de
La expansión de F(s) en fracciones parciales es:
 pnt
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Donde a1 y a2 se calculan mediante:
Entonces:
f(t) = L-1[F(s)] = 2e–t – e–2 t
EJEMPLO 3: Hallar la transformada inversa de Laplace de
Nótese que el polinomio denominador puede factorizarse como:
s2 + 2s + 5 = (s + 1 + j2)(s + 1 – j2)
Como la función F(s) incluye un par de polos complejos conjugados, es
conveniente no expandir en las fracciones parciales habituales, sino en una suma
de una función seno y una función coseno amortiguadas
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Ya que:
y que las TdL de
Ya que:
s2 + 2s + 5 = (s + 1)2 + 22
e– µ t sen wt y e– µ tcos wt, son:
f(t) = L-1[F(s)]
= 5e–t sen 2t + 2e–t cos 2t
(t ≥ 0)
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2. CASO DOS: F(s) tiene polos repetidos
Considere que F(s) tiene un polo múltiple en s = -p1 de multiplicidad r. Entonces
la expansión en fracciones parciales es de la forma:
F (s) 
br
( s  p1 )
r

b r 1
( s  p1 )
r 1
 
b1
s  p1

a r 1
s  p r 1

Donde los coeficientes br, br-1, ……….b1 se calculan como:
b r  [ F ( s )( s  p 1 ) ] s   p1
r
d
r 
b r 1   [ F ( s )( s  p 1 ) ] 
 ds
 s   p1

1 d
r 
  j [ F ( s )( s  p 1 ) ] 
j!  ds
 s   p1
j
br  j

r 1
d
r 
b1 
[
F
(
s
)(
s

p
)
]
 r 1
1
( r  1)!  ds
 s   p1
1
an
s  pn
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EJEMPLO 4: Hallar la transformada inversa de Laplace de
La expansión en fracciones parciales es:
y los valores de los bi se obtienen como:
NOTA: b1 = 1
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Ya que: f(t) = L-1[F(s)]
= t2 e–t + 0 + e–t = (t2 +1) e–t
(t ≥
0)
6. SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
La aplicación de la TdL en la solución de ecuaciones diferenciales lineales
con coeficientes constantes es de gran importancia en los problemas sobre
sistemas de control.
Dado que las condiciones iniciales están incluidas en la transformada de
Laplace de la ecuación diferencial, este método nos proporciona la solución
completa (solución complementaria + solución particular) de la ecuación
diferencial.
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El método para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias con
coeficientes constantes con la TdL comprende:
1. Tomar la TdL de ambos lados de la ecuación, en este punto se incorporan
las condiciones iniciales en las transformadas de las derivadas.
2. Resolver algebraicamente la ecuación resultante para la TdL de la función
desconocida.
3. Obtener la transformada inversa de Laplace con el fin de encontrar la función
de t cuya TdL es la obtenida en el paso 2. esta función satisface la ecuación
diferencial y las condiciones iniciales y es la solución deseada
EJEMPLO 5: Resolver la siguiente ecuación diferencial
x' + 3x = 0
x(0) = 2
Resolviendo de acuerdo a las etapas indicadas:
1. sX(s) – 2 + 3X(s) = 0
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