Transcript Función rampa - Dr. Bogart Mendez

Transformada de Laplace
Ecuaciones
diferenciales
4. Transformada de Laplace
Objetivo
El alumno aplicará la transformada de Laplace en la
resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones
diferenciales lineales
Transformada de Laplace
Transformada
de Laplace
• Función escalón unitario
• Función rampa
• Función impulso unitario (Delta de Dirac)
Transformada de Laplace
Función escalón unitario
0, t  0
U (t )  
1, t  0
f(t)
1
0
t
Transformada de Laplace
Función escalón trasladada y amplificada
 0, t  a
 U (t  a)  
 1, t  a
f(t)
t>a
.

t<a
a
t
Transformada de Laplace
Exprese la carga en la viga mediante
funciones escalón
a
b
 0,

W ( x )   w0 ,
 0,

c
xa
a  x c
xb
W ( x)  w0U ( x  a)  w0U x  (a  b)
Transformada de Laplace
Transformada de Laplace de U(t)
0, t  a
U (t  a)  
1, t  a
Aplicando la definición de L{f(t)} a U(t-a) obtenemos:

L U (t  a)   e U (t  a)dt 
0
 st
e
 as
s
Transformada de Laplace
Obtenga la transformada de Laplace de
la función mostrada representando a f(t)
con funciones escalón
f(t)
2
0
-2
1
t
Transformada de Laplace
Función rampa
f(t)
0, t  0
r (t )  
t, t  0
1
45°
1
t
Transformada de Laplace
Función rampa trasladada y amplificada
ta
 0,
M  r (t  a)  
M (t  a), t  a
tg-1 M
t
Transformada de Laplace
Combinación de funciones rampa
f (t )  Mr (t  a)  Mr (t  b)
f(t)
f(t)
f(t)
=
M(b-a)
tg-1 M
a
b
tg-1 M
t
a
tg-1 M
t
b
t
f (t )  Mr(t  a)  Mr(t  b)
f(t)
f(t)
a
b
tg-1 M
-M(b-a)
t
=
f(t)
a
tg-1 M
t
-
b
tg-1 M
t
Transformada de Laplace
Combinación de funciones rampa
f(t)
f(t)
=
M1(b-a)
a
tg-1 M1
b
tg-1 M2
c
f(t)
b
+
M1(b-a)
t
a
tg-1 M1
b
t
c
-1
tg M2
t
-M2(b-a)
f(t)
M1(b-a)
f(t)
=
tg-1 M2
tg-1 M1
a
b
b1
c
t
f(t)
b
+
M1(b-a)
a
tg-1 M1
b
t
-M2(c-b)
b1
tg-1 M2
t
Transformada de Laplace
Exprese la función mostrada en términos de
la función rampa
f (t )  ?
f(t)
1
t
Transformada de Laplace
Transformada de Laplace de r(t-a)
ta
 0,
r (t  a)  
t  a, t  a
Aplicando la definición de L{f(t)} a r(t-a) obtenemos:

 as
e
L r (t  a)   e r (t  a)dt  2
s
0
 st
Transformada de Laplace
Obtenga la transformada de Laplace de la
función mostrada
f(t)
1
t
Transformada de Laplace
Función impulso unitario
(Delta de Dirac)
 0, t  0
 (t )  
 L  (t )  1
, t  0
Transformada de Laplace
Función impulso unitario trasladada
 0, t  a
 as
 (t  a)  
 L  (t  a)  e
, t  a
t
Transformada de Laplace
Obtenga las transformadas siguientes:
(1) L t (t  1)


(2) L e  (t  3)
t
(3) L t (t )
Transformada de Laplace
Ejercicios de tarea
Determine la transformada de Laplace de las funciones
siguientes:
1
f(t)
3
1
2
3
4
5
t
Transformada de Laplace
f(t)
2
4
2
t
Transformada de Laplace
Desafío
Demuestre que
 as
e
L r (t  a)  2
s