Transcript Sistemas Lineales y Simulación (SLS5201)

Automatización
Industrial (AIS7201)
Prof. Christian Nievas Grondona.
Sesión 1:
Control Automático.
2
Contenidos

Introducción.
 Ecuación
diferencial del sistema (EDS).
 Función de transferencia.
 Estabilidad del sistema.

Control.
 Lazo
abierto/Cerrado.
3
Introducción

Se presentan algunos términos generales
utilizados en el control automático.
 Planta.
 Actuador.
 Medición.
 Arquitectura.
 Perturbación.
 Controlador.
4
Introducción
5
Introducción

Planta:
 Modelo
matemático del sistema o proceso real
que se quiere controlar, obtenido en base al
comportamiento físico.
 Para
modelar se deben manejar conocimientos
físicos como:
Equilibrio energético.
 Conservación de masa.
 Dinámica de fluidos.

6
Introducción

Actuador:
 Encargado
de llevar a la planta de un estado
inicial o estado estacionario al estado deseado
por el controlador.
 En
esta etapa del lazo es donde se limita el
rendimiento de un sistema.
7
Introducción

Medición:
 Permiten
apreciar el estado actual de la planta.
 Ayuda
al controlador a la toma de decisiones
correctas para que el sistema se comporte
como es deseado.
8
Introducción

Arquitectura.
 Es
la estructura lógica de las conexiones de los
elementos antes descritos, más el controlador.
 Generalmente
podemos apreciar arquitecturas
de lazo abierto y lazos cerrados o
realimentados.
9
Introducción

Perturbación.
 Cualquier
acción externa al sistema de control,
o a la planta en si, que signifique una alteración
al rendimiento de nuestro sistema controlado.
 Generalmente
se presentan en la entrada de la
planta, en la salida de la planta y como ruido de
medición.
10
Atributos de un buen control

Debe ser estable.
 Entradas

Debe ser preciso.
 No

acotadas = Salidas acotadas.
confundir con exacto.
Debe ser rápido.
 Más
rápido que el sistema.
11
Modelado

Ecuación Diferencial del Sistema (EDS):
 Modelo
matemático central para los sistemas,
que relaciona la entrada del sistema con la
salida.
12
Modelado

Características presentes en un modelo
de una planta, en base a su EDS, son:
 Entradas
o estímulos que varían el
comportamiento del modelo.
 Condiciones iniciales que definen el estado
inicial del modelo.
 Respuestas que nos entrega el modelo
dependiendo de las entradas y de las C.I.
13
Modelado
u(t): Entradas o excitaciones del sistema.
 y(t): Salidas o respuestas del sistema.
 x(t0): Estado del sistema en el instante t0
(condiciones iniciales).

14
Modelado

Forma general de la EDS:
d n y (t )
d n 1 y (t )
 an 1
 ...  a0 y (t ) 
n
n 1
dt
dt
d n 1u (t )
d n  2u (t )
bn 1
 bn  2
 ...  b0u (t )
n 1
n2
dt
dt
15
Modelado

Ejemplo:
Circuito RLC (sistema).
 Fuente de voltaje vf(t) (entrada).
 Voltaje de R2 v(t) (salida)

16
Modelado

Ejemplo:

Ecuaciones:
v f (t )  R1i(t )  v(t )
1 t
dv(t ) v(t )
i(t )   v( )d  C

L 
dt
R2
17
Modelado

Ejemplo:

Para eliminar la integral, derivamos:
d
v f (t )  R1i (t )  v(t )
dt
1 t
dv(t ) v(t )
i (t )   v( )d  C

L 
dt
R2
d
dt
18
Modelado

Ejemplo:

Nos queda lo siguiente:
dv f (t )
di(t ) dv(t )
 R1

dt
dt
dt
di(t ) 1
d 2 v(t ) 1 dv(t )
 v(t )  C

2
dt
L
dt
R2 dt
19
Modelado

Ejemplo:

Juntamos ambas ecuaciones en 1:
d v(t ) R1  R2 dv(t ) 1
1 dv f (t )


v(t ) 
2
dt
R1R2C dt
LC
R1C dt
2
20
Modelado

Ejemplo:
d 2v(t ) R1  R2 dv(t ) 1
1 dv f (t )


v(t ) 
2
dt
R1R2C dt
LC
R1C dt

Esta ecuación, tiene la forma EDS, en donde
u(t)=vf(t), y(t)=v(t) y n=2. Si:
R1  R2
1
1
a1 
; a0 
; b2  0; b1 
; b0  0
R1R2C
LC
R1C
21
Modelado

Ejemplo:
2
dv f (t )
d v(t )
dv(t )
 a1
 a0v(t )  b1
2
dt
dt
dt
2
d y(t )
dy(t )
du(t )
 a1
 a0 y(t )  b1
2
dt
dt
dt
22
Función de transferencia.

Transformada de Laplace.
 Herramienta
matemática para solucionar
ecuaciones diferenciales ordinarias.
 Se
ocupa en control para obtener la función
de transferencia de una EDS y determinar
parámetros característicos de ella.
23
Función de transferencia.

Podemos transformar la EDS aplicando la
propiedad de derivada en el tiempo.
d n y (t )
d n 1 y (t )
 an 1
 ...  a0 y (t ) 
n
n 1
dt
dt
d n 1u (t )
d n  2u (t )
bn 1
 bn  2
 ...  b0u (t )
n 1
n2
dt
dt
24
Función de transferencia.

Propiedad de derivada en el tiempo de la
Transformada de Laplace:
n 1
 d n f(t)
d
y(t )
n
n 1
L  n   s F ( s)  s y(0)  ... 
n 1
dt
dt


t 0

Se obtiene la siguiente expresión:
s nY (s)  an1s n1Y (s)  ... a0Y (s)  bm s mU (s)  ... b0U (s)  f (s, x0 )

Donde f(s,x0) es una función que depende de la
variable s y de las n condiciones iniciales.
25
Función de transferencia.

Suponiendo condiciones iniciales igual a cero,
nos queda entonces:
Y ( s)  H ( s)·U ( s)

Donde se define la función de transferencia en el
dominio de Laplace:
m 1
B(s) bm s  bm1s  ...  b0
H ( s) 
 n
n 1
A(s)
s  an1s  ...  a0
m
26
Función de transferencia.

Definiciones a raíz de la función de transferencia:
B(s) bm s m  bm1s m1  ...  b0
H ( s) 
 n
A(s)
s  an1s n1  ...  a0
 Las
m raíces de la ecuación B(s)=0, son llamados
Ceros del sistema. Ellos hacen además que H(s)=0.
 Las n raíces de la ecuación A(s)=0, son llamados
Polos del sistema. Ellos hacen además que H(s).
 La diferencia de grado entre A(s) y B(s), es decir, n-m,
se denomina grado relativo.
27
Función de transferencia.

Definiciones a raíz de la función de transferencia:
B(s) bm s m  bm1s m1  ...  b0
H ( s) 
 n
A(s)
s  an1s n1  ...  a0
 Si
m<n (gr. positivo) decimos que el modelo es
estrictamente propio.
 Si m=n, (gr. cero) decimos que el modelo es Bipropio.
 Si mn, decimos que el modelo es propio.
 Si m>n, (gr. negativo) decimos que el modelo es
Impropio.
28
Función de transferencia.

Ejemplo:
 Tenemos
la EDS:
d 2 y (t )
dy(t )
2
 u (t )
2
dt
dt
 Aplicando
transformada de Laplace:
s 2Y (s)  2sY (s)  U (s)
Y (s)(s 2  2s)  U (s)
29
Función de transferencia.
 Obtenemos
la función de transferencia en el dominio
de Laplace:
1
H ( s)  2
( s  2s)
 De
esta función de transferencia se desprende:

No posee ceros el sistema (no existen raíces de B(s))

El sistema posee 2 polos, que se obtienen del polinomio de
A(s)=s2+2s=0.
El grado relativo del sistema es 2, por lo tanto es estrictamente
propia.

30
Respuestas a impulso y escalón



La función de transferencia está asociada a la
respuesta a impulso del sistema.
Si se aplica un impulso como entrada, la
respuesta contiene solamente los modos
naturales del sistema.
Esto nos permite estudiar su comportamiento
natural del sistema, que es independiente de la
entrada.
31
Respuestas a impulso y escalón

La respuesta a escalón unitario del sistema se
expresa:
1
Y ( s)  H ( s )·U ( s)  H ( s)·
s

Suponiendo que el sistema no tiene polos en el
origen:
y(t )  y  modosnaturalesdel sistema

Con y=H(0).
32
Respuestas a impulso y escalón

Si el sistema es estable, entonces los modos
naturales decaen exponencialmente a cero.

Luego, para sistemas estables, la respuesta en
estado estacionario está dada por la constante y.

Ahora, si el sistemas tiene un o más ceros en el
origen, entonces y=0.
33
Respuestas a impulso y escalón

Ejemplo:
 Consideremos
el sistema definido por su EDS:
d 2 y (t )
dy(t )
5
 4 y (t )  2u (t )
2
dt
dt
 Aplicando
transformada de Laplace, suponiendo
condiciones iniciales iguales a cero:
s Y (s)  5sY (s)  4Y (s)  2U (s)
2
34
Respuestas a impulso y escalón
 Obtenemos
la función de transferencia en el dominio
de Laplace:
2
H ( s)  2
( s  5s  4)
 La respuesta del sistema cuando la entrada es un
impulso (delta de dirac) es:
U ( s)  L { (t)}  1
 Y ( s)  H ( s) 
2
( s 2  5s  4)
35
Respuestas a impulso y escalón
 Aplicando
respuesta inversa de Laplace:
2
2 1
1 
Y ( s)  2
 


( s  5s  4) 3  s  1 s  4 

2 t
L {Y ( s )}  y (t )  e  e  4t
3
 Polo

dominante en s=-1.
36
Respuestas a impulso y escalón
37
Respuestas a impulso y escalón
 Ahora,
la respuesta del sistema cuando la entrada es
un escalón es:
1
U ( s)  L { (t)} 
s
 Aplicando
2
1
 Y ( s)  2
·
( s  5s  4) s
respuesta inversa de Laplace:
2
Y ( s) 
s( s 2  5s  4)
1 2 t 1  4 t
L {Y ( s)}  y (t )   e  e
2 3
6
38
Respuestas a impulso y escalón
39
Respuestas a impulso y escalón

Es útil también definir un conjunto de parámetros
que describen ciertas propiedades de la
dinámica del sistema:
 Respuesta
estacionaria (y).
 Tiempo de subida (tr).
 Overshoot (Mp).
 Undershoot (Mu).
 Tiempo de asentamiento (ts).
40
Respuestas a impulso y escalón
Overshoot
Resp.
estacionaria
Undershoot
Tiempo de subida
Tiempo de asentamiento
41
Estabilidad del sistema


Si la excitación (entrada) y estado inicial de un
sistema son acotados, las variables del sistemas
serán acotadas.
Además, los modos naturales (polos) del
sistemas deben ser acotados, para que el
sistema estable.

Un modelo lineal es estable si y sólo si todos sus
modos naturales decaen asintóticamente a cero.
 Parte real de los polos sea menos que cero (SPI
abierto).
42
Velocidad de un sistema

Las frecuencias naturales más alejadas del eje
imaginario, son las frecuencias más rápidas.

La frecuencia natural más lenta de un sistema, es
la frecuencia natural dominante, y por lo tanto,
su velocidad es la velocidad del sistema.
43
Estabilidad y velocidad
Región de Estabilidad (SPI abierto)
44
Control de sistemas

Para controlar una planta, se disponen de 2
arquitecturas de lazo de control, ampliamente
utilizados:
 Control
a lazo abierto.
 Control
a lazo cerrado (realimentado).
45
Control a lazo abierto.

Básicamente el controlador C(s) trata de que la
planta G(s) persiga una señal de referencia r(t)
variante en el tiempo, con actuaciones u(t) que el
controlador induce.
46
Control a lazo abierto



Un problema es que el controlador no tiene
información actualizada sobre el comportamiento
y el estado de la planta.
La habilidad que estos controladores tienen para
ejecutar una acción sólo depende de la
calibración inicial.
El diseño del controlador es lo más importante en
este modelo.
47
Control a lazo abierto

Consideraciones de diseño:
 La
planta y el controlador deben ser estables, para que
el sistema total sea estable.
 La
estructura no permite compensar perturbaciones.
 La
planta no puede variar en el tiempo.
48
Control a lazo cerrado.


En esta arquitectura, el controlador tiene el
mismo propósito descrito para el caso abierto.
La diferencia fundamental, es que el controlador
cuenta con información actualizada obtenida de
la salida del proceso y(t).
49
Control a lazo cerrado.


Gracias a la información obtenida de la salida de
la planta y(t), el controlador puede modificar su
actuación u(t), por medio del error e(t) obtenido al
comparar la referencia inducida con la medición
obtenida e(t)=r(t)-y(t).
La realimentación en un sistema existe cuando
existe una secuencia cerrada de relaciones de
causa y efecto entre las variables del sistema.
50
Control a lazo cerrado.

Consideraciones de diseño:
 Esta
arquitectura es aplicables para el control de
plantas estables o inestables.
 No es necesario tener un pleno conocimiento de la
planta a controlar.
 Permite la compensación a perturbaciones.
 El sistema se puede controlar si la planta varía en el
tiempo.
51
Control a lazo cerrado.

Esquema del proceso de control de lazo cerrado:
52
Consultas y Contacto
Christian Nievas Grondona.
[email protected]
53