Transcript Diapositiva 1 - Dr. Bogart Mendez

Transformada de Laplace
Ecuaciones
diferenciales
4. Transformada de Laplace
Objetivo
El alumno aplicará la transformada de Laplace en la
resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones
diferenciales lineales
Transformada de Laplace
Transformada
de Laplace
• Relación entre las funciones rampa, escalón e impulso
• Segundo teorema de traslación
• Transformada inversa de Laplace
• La no unicidad de la transformada inversa
• Forma inversa del primer teorema de traslación
• Forma inversa del segundo teorema de traslación
Transformada de Laplace
Relación entre las funciones
rampa, escalón e impulso unitario
r (t )  H (t )  H (t )
La función rampa es la convolución
de la función escalón con ella
misma
d
H (t )  r ( t )
dt
La función escalón es la derivada
de la función rampa
d
 (t )  H ( t )
dt
La función impulso es la derivada
de la función escalón
Transformada de Laplace
r (t  a )
L
H (t  a )
L
 (t  a )
L
 as
e
2
s
e
 as
s
e
 as
Transformada de Laplace
Segundo teorema de traslación
Si F (s)  L  f (t )
y a > 0, entonces
L  f (t  a)U (t  a)  e F (s)
 as
Una forma alternativa del segundo teorema de traslación es
L g (t )U (t  a)  e L g (t  a)
 as
Transformada de Laplace
Aplique el segundo teorema de traslación
para obtener las siguientes transformadas

4(t 2)

2

U (t  2)
1
L e
2
L t U (t  1)
3
L te U (t  1)


t

Transformada de Laplace
Ejercicios de tarea
1 L (cost )U (t   )
2 L (cos2t )U (t   )
Transformada de Laplace
Transformada inversa de Laplace
Sea la función f(t) tal que
L  f (t )  F (s) . Entonces la
transformada inversa de Laplace, L
L
1
1
,de F(s) se define como
F (s) 
f (t )
Para obtener la transformada inversa de una función F(s) utilizaremos
las fórmulas conocidas de L  f (t ) en sentido inverso
Transformada de Laplace
Linealidad de la transformada inversa de Laplace
La transformada inversa de Laplace es un operador
lineal. Las propiedades de linealidad las heredó de la
linealidad de la transformada de Laplace
L f1 (t )  f 2 (t )  L  f1 (t ) L  f 2 (t )  F1 ( s)  F2 ( s)
L -1F1 ( s)  F2 ( s)  L -1F1 ( s) L -1F2 ( s)  f1 (t )  f 2 (t )
Transformada de Laplace
Ejemplos
Obtenga las transformadas inversas siguientes
1
2
L  3   f (t )
s 
2
 3 
L  2
  f (t )
s  9
1
1
3
4
L
L
1
1
 3s 
 2

s  9
  2s  6 
 2

 s 4 
Transformada de Laplace
La no unicidad de la
transformada inversa de Laplace
Obtenga la transformada de Laplace de la función f(t) y luego
determine su transformada inversa
(5,6)
3
5
 3,

f (t )   6,
 3,

t 5
t 5
t 5
Transformada de Laplace
Forma inversa del primer
teorema de traslación
L
1
F (s  a)  e
at
L
1
F (s)  e
Pasos para obtener la inversa de F(s-a):
1. Identificar a F(s)
2. Calcular f (t )  L
1
F (s)
3. Multiplicar a f(t) por eat
at
f (t )
Transformada de Laplace
Ejemplos
1
 s 1 
L  2

 s  2s  5 
2
 s4 
L  2

 s  4s  8 
3
1


L  2

s  s  2
1
1
1
Transformada de Laplace
Completando el cuadrado y traslaciones
Todo polinomio cuadrático real puede escribirse en la forma
a(s  k )  h
2
2
Esto es como sigue:
as  bs  c  a(s  k )  h
2
donde
b
b2
k
y h  c
2a
4a
2
2
Transformada de Laplace
Ejercicios de tarea
1
1


L  2

 s  2s  9 
2
 1 
L  2

 4 s  8s 
3
 6s  4 
L  2

 s  4 s  20
-1
-1
-1
Transformada de Laplace
Forma inversa del segundo
teorema de traslación
L
1
e
 as

F (s)  f (t  a)U (t  a)
donde U(t - a) es la función escalón trasladada
Transformada de Laplace
Ejemplos
1
2
3
L
L
L
1
1
1
 1 s 
e 

s 1

 1
s 
e 
 2
 s 1

 6 2 s 
 3e 
s

Transformada de Laplace
Ejercicios de tarea
1
L
1
 s
s 
e 
 2

s  4
2
s / 3


1 e
L  2

 s  1
3
5 s


e
1
L 
4 
 ( s  2) 
Transformada de Laplace
Links
http://eqworld.ipmnet.ru/en/auxiliary/aux-inttrans.htm
http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Global/OCWHelp/updatedcourses.htm
http://scholar.lib.vt.edu/
http://usuarios.lycos.es/equatdiff/index.htm
http://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/