Transcript Document 7383692

Przegląd wieloatrybutowych
metod podejmowania decyzji
Opracował:
Mirosław Kwiesielewicz
PWSZ Elbląg
Wybór samolotu bojowego
Atrybuty - Xj
Wariant
Prędkość Zasięg Ładowność
max.
[funt]
[Mach]
[NM]
Koszt
Eksp.
106 $
NiezawodZdolność
ność
Manewrowa
A1
2.0
1500
20000
5.5
Średnia
Bardzo
Wysoka
A2
2.5
2700
18000
6.5
Niska
Średnia
A3
1.8
2000
21000
4.5
Wysoka
Wysoka
A4
2.2
1800
2000
5.0
Średnia
Średnia
Arytmetyczna
xij
rij  m
, i, j
Normalizcja
x
i 1
ij
Atrybut
X1
X2
X3
X4
X5
X6
A1
2.0
1500
20000
5.5
5
9
A2
2.5
2700
18000
6.5
3
5
A3
1.8
2000
21000
4.5
7
7
A4
2.2
1800
2000
5.0
5
5
Wariant
Normalizacja arytmetyczna
Normalizacja
r4  1  r4
Normalizacja rij 
xij
max
x 
, i, j
ij
i
Atrybut
X1
X2
X3
X4
X5
X6
A1
2.0
1500
20000
5.5
5
9
A2
2.5
2700
18000
6.5
3
5
A3
1.8
2000
21000
4.5
7
7
A4
2.2
1800
2000
5.0
5
5
Wariant
Normalizacja rij 
xij
max
x 
, i, j
ij
i
r4  1  r4
+Normalizacja
Metoda MAXIMIN
Wybór wariantu


A  Ai ; max min rij , j  1,2,, n, i  1,2,, m
*
j
i
Problem wspólnej skali
rij 
xij
max
i
x 
ij
, i, j
normalizacja
Inne propozycje normalizacji
xij  x min
j
rij 
x x
*
j
min
j
gdzie
x  max xij ,
*
j
x
min
j
i
 min xij ,
i
i  1,2,  , m
Dla atrybutu
czwartego
,
rij 
x *j  xij
x x
*
j
min
j
Wtedy
max min rij
i
j
j  1,2,  , n,
i  1,2,  , m
,
Przykład MAXIMIN
min
x1
X2
x3
x4
x5
X6
A1
0.80 0.56 0.95 0.82 0.71
1.0
A2
1.00 1.00 0.86 0.69 0.43 0.56
A3
0.72 0.74 1.00 1.00 1.00
0.78
A4
0.88 0.67 0.95 0.90 0.71
0.56
max
Metoda MAXIMAX
Wybór wariantu

A*  Ai ; max max rij
i
j  1,2,  , n
i  1,2,  , m
j

Przykład MAXIMAX
max
x1
X2
x3
x4
x5
X6
A1
0.80 0.56 0.95 0.82 0.71 1.0
A2
1.00 1.00 0.86 0.69 0.43 0.56
A3
0.72 0.74 1.00 1.00 1.00 0.78
A4
0.88 0.67 0.95 0.90 0.71 0.56
max
Rozwiązanie kompromisowe




A   Ai ; max  min rij  1    max rij 
 
j
i 
j


j  1,2,, n, i  1,2,, m
*
 - indeks pesymizm - optymizm
maximin
maximax
Metoda satysfakcjonująca
Stanowisko wizytującego w szkole francuskiej
amerykańskiego nauczyciela historii
Nie można skompensować tutaj niewystarczającej
znajomości francuskiego perfekcyjną znajomością
historii, ani odwrotnie
Szkoła decyduje się wyeliminować kandydatów o
niewystarczającej wiedzy w obydwu zakresach
Decydent musi znać minimalne, akceptowalne wartości
dla obydwu atrybutów, które spełniają rolę wartości
progowych
Wariant decyzyjny Ai jest akceptowany, gdy
xij  x 0j , j  1,2,, n
Przykład obliczeniowy
x 0  (2.0, 1500, 20000, 6.0, srednia, srednia )
Wariant
X1
x2
x3
x4
x5
x6
A1
2.0
1500
20000
5.5
Średnia
Bardzo
Wysoka
A2
2.5
2700
18000
6.5
Niska
Średnia
A3
1.8
2000
21000
4.5
Wysoka
Wysoka
A4
2.2
1800
20000
5.0
Średnia
Średnia
Uwagi
Metoda ta nie jest stosowana do
wyboru wariantów decyzyjnych
Służy ona głównie do zakwalifikowania
ich do zbioru kategorii akceptowalnych i
nie akceptowalnych
Metoda wydzielania
Wybierany jest wariant decyzyjny, którego poziom
przekracza największą wartość dla jednego z
atrybutów
Wybór wariantów „utalentowanych” pod jednym z
kierunków
Wariant decyzyjny Ai jest akceptowany, gdy
xij  x 0j dla j=1 lub 2 lub 3 lub ... lub n
Przykład obliczeniowy
x 0  (2.4, 2500, 21000, 4.5, bardzo wysoka, bardzo wysoka )
Wariant
X1
x2
x3
x4
x5
x6
A1
2.0
1500
20000
5.5
Średnia
Bardzo
Wysoka
A2
2.5
2700
18000
6.5
Niska
Średnia
A3
1.8
2000
21000
4.5
Wysoka
Wysoka
A4
2.2
1800
20000
5.0
Średnia
Średnia
Metoda leksykograficzna
Atrybuty powinny być uszeregowane od
najważniejszego do najmniej ważnego
Niech X1 – najważniejszy, X2 mniej ważny, itd..
Wybiera się wariant
A1  {Ai ; max xi1}, i  1,2,, m
i
Jeśli otrzymamy zbiór jednoelementowy, to jest on
najbardziej preferowanym wariantem, jeśli nie to
 
A2  {Ai ; max xi1}, i  A1
i
Jeśli otrzymamy pojedynczy element to STOP, jeśli nie
to.......j.w., aż do otrzymania pojedynczego elementu.
Przykład obliczeniowy
Ważność atrybutów X1, X3, X2 ...
Wariant
X1
x2
x3
x4
x5
x6
A1
2.0
1500
20000
5.5
Średnia
Bardzo
Wysoka
A2
2.5
2700
18000
6.5
Niska
Średnia
A3
1.8
2000
21000
4.5
Wysoka
Wysoka
A4
2.2
1800
20000
5.0
Średnia
Średnia
Dodatkowe założenie
(półporządek leksykograficzny)
Różnica 0.3 macha lub mniejsza nie jest znacząca
Wariant
X1
x2
x3
x4
x5
x6
A1
2.0
1500
20000
5.5
Średnia
Bardzo
Wysoka
A2
2.5
2700
18000
6.5
Niska
Średnia
A3
1.8
2000
21000
4.5
Wysoka
Wysoka
A4
2.2
1800
20000
5.0
Średnia
Średnia
Dodatkowe założenie
Różnica 1000 funtów lub mniejsza nie jest znacząca
Wariant
X1
x2
x3
x4
x5
x6
A1
2.0
1500
20000
5.5
Średnia
Bardzo
Wysoka
A2
2.5
2700
18000
6.5
Niska
Średnia
A3
1.8
2000
21000
4.5
Wysoka
Wysoka
A4
2.2
1800
20000
5.0
Średnia
Średnia
Metoda permutacji
Tablica decyzyjna
A1
D  A2

Am
X1
 x11
x
 21
 

 x m1
X2
x12
x 22

xm2


Xn
x1n 
 x 2 n 
 


 x mn 
Wektor wag
X1
w
w1
X2  Xn
w2
 wn 
Permutacje dla 3 wariantów
Istnieje 6 możliwości
P1   A1 , A2 , A3 
P4   A2 , A3 , A1 
P2   A1 , A3 , A2 
P5   A3 , A1 , A2 
P3   A2 , A1 , A3 
P6   A3 , A2 , A1 
Testowanie porządku dla
wariantu 5
P5   A3 , A1 , A2 
Zbiór zgodnego częściowego uporządkowania
A3  A1 ,
A3  A2 ,
A1  A2
Zbiór niezgodnego częściowego uporządkowania
A3  A1 ,
A3  A2 ,
A1  A2
Jeśli występuje uporządkowanie Ak  Al to
dla x kj  xlj przypiszemy w j , natomiast
dla x  x przypiszemy  w
kh
lh
h
Zbiory zgodności i
niezgodności
Załóżmy, że w permutacji Pi zachodzi Ak  A,l czyli
k-ty wariant jest bardziej preferowany od l-tego
Wtedy permutacji Pi przypisujemy liczbę Ri
Ri 
gdzie
 w   w , i  1,2,, m!
C  j; x  x , k , l  1,2,, m, k  l
jCkl
kl
j
jDkl
kj
j
lj
(zbiór zgodności)
Dkl  j; x kj  xlj , k , l  1,2,, m, k  l
(zbiór niezgodności)
Rozważany przykład
permutacja P   A , A , A , A 
4
0.1+
A1  A3
A1  A3
1
0.1+
3
0.1+
4
2
0.2
0.2+
=0.5
c31
0.3 =0.5
c13
Wariant
X1
x2
x3
x4
x5
x6
A1
2.0
1500
20000
5.5
Średnia
Bardzo
Wysoka
A3
1.8
2000
21000
4.5
Wysoka
Wysoka
waga
0.2
0.1
0.1
0.1
0.2
0.3
Macierz dla rozważanej
permutacji P   A , A , A , A 
4
1
c4  3
4
Wagi
niezgodne z
porządkiem
2
1
3
4
2
1
3
4
3 Wagi zgodne z
 0 0.5 0.6 0.7  porządkiem
 0 .5 0 0 .8 0 .7 


 0 .7 0 .2 0 0 .7 


0
.
3
0
.
6
0
.
3
0


sumy
R4 
w
jCkl
j

w
jDkl
j
 4.0  2.6  1.4
Wariant najlepszy
Najlepsze uporządkowanie wariantów
odpowiada permutacji która posiada
największą wartość Ri
W rozważanym przypadku jest to
porządek
P17   A3 , A4 , A1 , A2 
Prosta addytywna metoda
wagowa
Najbardziej znana i najczęściej stosowana
Każdemu z atrybutów przyporządkowuje się
wagę
Najlepszy wariant decyzyjny jest obliczany
n
jako




*
A   Ai ; max
i


w x
j 1
j
n
w
j 1
j
ij





Przykład
Porządek przeciwny
Atrybut
X1
X2
X3
X4
X5
X6
A1
2.0
1500
20000
5.5
5
9
A2
2.5
2700
18000
6.5
3
5
A3
1.8
2000
21000
4.5
7
7
A4
2.2
1800
2000
5.0
5
5
Wariant
Normalizacja
xij
min
i
x
rij  * , j  1,2,3,5,6, ri 4 
xi 4
xj
Macierz znormalizowana
Atrybut
X1
X2
X3
X4
X5
X6
A1
0.80
0.56
0.95
0.82
0.71
1.00
A2
1.00
1.00
0.86
0.69
0.43
0.56
A3
0.72
0.74
1.00
1.00
1.00
0.78
A4
0.88
0.67
0.95
0.90
0.71
0.36
Wariant
Wektor wag
w  (0.2 0.1 0.1 0.1 0.2 0.3)
Wynik
A1  0.835,
A2  0.709,
Czyli
P17   A3 , A1 , A4 , A2 
A3  0.852,
A4  0738
Metoda Electre
ELECTRE – Elimination et Choice Translating
Reality)
Metoda wykorzystuje koncepcję relacji
outrankingu Ak  Al, która mówi, że nawet
jeśli dwa warianty nie dominują się
wzajemnie matematycznie, decydent
akceptuje ryzyko traktowania wariantu Ak ,
jako prawie na pewno lepszego od wariantu Al
Podstawy metody Electre
Metoda opiera się na porównaniach
parami wariantów decyzyjnych
Sprawdza:


stopień w jakim wagi preferencji są w
zgodzie z relacją dominacji par (zgodność)
Stopień w jakim obliczenia wagowe różnią
się między sobą (niezgodność)
Krok 1. Obliczenie znormalizowanej
macierzy decyzyjnej
A1
R  A2

Am
gdzie
X1
 r11
r
 21
 

rm1
X2  Xn
r12  r1n 
r22  r2 n 

 


rm 2  rmn 
rij 
xij
, i, j
m
x
i 1
ij
Przykład
X1
X2
X3
X4
X5
X6
A1
2.0
1500
20000
5.5
5
9
A2
2.5
2700
18000
6.5
3
5
A3
1.8
2000
21000
4.5
7
7
A4
2.2
1800
2000
5.0
5
5
.4671
.5839
R
.4204

.5139
.3662 .5056 .5063 .4811 .6708
.6591 .4550 .5983 .2887 .3727
.4882 .5380 .4143 .6736 .5217

.4392 .5056 .4605 .4811 3727 
Krok 2. Obliczenie macierzy ważonej
znormalizowanej
A1
V  A2

Am
X1
 w1 r11
w r
 1 21
 

 w1 rm1
X2
w2 r12
w2 r22

w2 rm 2

Xn
 wn r1n 
 wn r2 n 
 


 wn rmn 
X1
Gdzie wektor wag
w
w1
X2  Xn
w2
 wn 
Przykład
w  (0.2 0.1 0.1 0.1 0.2 0.3)
.0934
.1168
V
.0841

.1028
.0366 .0506 .0506 .0962 .2012
.0659 .0455 .0598 .0577 .1118
.0488 .0531 .0414 .1347 .1565

.0439 .0506 .0460 .0962 .1118
Krok 3. Określenie zbioru zgodności i
niezgodności
Dla każdej pary wariantów decyzyjnych k i l
zbiór atrybutów dzielony jest na dwa
podzbiory:
 zbiór zgodności ( Ak preferowane nad Al )
C kl  j; x kj  xlj , k , l  1,2,, m, k  l

zbiór niezgodności
Dkl  j; x kj  xlj , k , l  1,2,, m, k  l
Przykład C12
.0934
.1168
V
.0841

.1028
.0366 .0506 .0506 .0962 .2012
.0659 .0455 .0598 .0577 .1118
.0488 .0531 .0414 .1347 .1565

.0439 .0506 .0460 .0962 .1118
D12={1, 2}
C12={3, 4, 5 ,6}
Wyznaczenie macierzy
zgodności
Krok 4.
Wyznaczenie indeksu zgodności
c kl 
w
jCkl
j
n
 wj
, lub c kl 
 w (gdy wagi znormalizo wane)
jCkl
j
j 1
Macierz zgodności
C


c
 21
 

c m1
c12


cm 2

 c1m 
 c 2 m 

 

  
Przykład
C12={3, 4, 5 ,6}
w  (0.2 0.1 0.1 0.1 0.2 0.3)
suma
c12 
w
jC12
j
 0.7
C


  0.7  c1m 
 0. 3   c 
2m 

 


 


cm1 cm 2   
Wyznaczenie macierzy
niezgodności
Krok 5.
Wyznaczenie indeksu zgodności
d kl 
max vkj  vlj
jDkl
max vkj  vlj
, J  Ckl  Dkl
jJ
Macierz niezgodności 
Dx 

 
d
 21
 

d m1
d12


d m2
 d1m 
 d 2 m 

 

  
Przykład
.0934
.1168
V
.0841

.1028
.0366 .0506 .0506 .0962 .2012
.0659 .0455 .0598 .0577 .1118
.0488 .0531 .0414 .1347 .1565

.0439 .0506 .0460 .0962 .1118
max vkj  vlj
max .0234,.0293
d12 


max vkj  vlj max .0234,.0239,.0051,.0092
 ,.0385,.0894
jDkl
jJ
 .3277
Dx 

  .3277  d1m 
 1



d
2m 

 


 


d m1 d m 2   
Wyznaczone macierze
C
Dx 
  0 .7 0 . 5 0 . 6 
 0 .3  0 . 3 0 . 6 


 0 .5 0 .7  0 . 8 


 0 . 7 0 .7 0 . 2  
  0.3277 0.8613 0.1051
1.


1
.
1
.


1. 0.4247

0.4183


1.
 
1. 0.5714
Wyznaczenie macierzy
dominacji zgodności
Tworzona jest z
macierzy zgodności
w oparciu o pewien
próg zgodności
m
m
ckl
c  
k 1 l 1 mm  1
k l l  k
Z macierzy C tworzy
się macierz F taką,
że
f kl  1, gdy ckl  c
f kl  0, gdy ckl  c
Przykład obliczeniowy
C
F
  0 .7 0 . 5 0 . 6 
 0 .3  0 . 3 0 . 6 


 0 .5 0 .7  0 . 8 


0
.
7
0
.
7
0
.
2




0

0

1
1
 0 1 
1  1

1 0 
1
0
m
m
ckl
c  
 0.55
k 1 l 1 4  3
k l l  k
Wyznaczenie macierzy
dominacji niezgodności
Tworzona jest z
macierzy niezgodności
w oparciu o pewien
próg zgodności
m
m
d kl
d  
k 1 l 1 mm  1
k l l  k
Z macierzy D tworzy
się macierz G taką,
że
g kl  1, gdy d kl  d
g kl  0, gdy d kl  d
Przykład obliczeniowy
  0.3277 0.8613 0.1051
1.


1
.
1
.


1. 0.4247

0.4183


1
.
0
.
5714
1
.



Dx 
m
m
d kl
d  
 0.757
k 1 l 1 4  3
k l l  k
G

0

0

0
1
 0 0 
1  1

1 0 
1
0
Wyznaczenie zagregowanej
macierzy dominacji E=FxG
F

0

0

1
1
 0 1 
1  1

1 0 
1
0
E
G

0

0

0
1
 0 0 
1  1

1 0 
1
0

0

0

0
1
 0 0 
1  1

1 0 
1
0
Eliminacja najgorszych wariantów na
podstawie zagregowanej macierzy
dominacji
E

0

0

0
1
 0 0 
1  1

1 0 
1
0
A1  A2 , A1  A4
A3  A2 , A3  A4
A4  A2
A1
 A2
A3
 A4