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Fuzzy推論(Fuzzy inference)
根據保存的規則(rule)和給予的事實推導出新的結論
note
Fuzzy推論不只可以處理明確命題，也可以
處理Fuzzy命題
Fuzzy 推 論 是 根 據 近 似 推 理 (approximate
reasoning)的概念發展出來的，較傳統推論
的嚴正推理(exact reasoning)更合理也更具
彈性
1
GMP(General Modus Ponens)
規則：IF X is A THEN Y is B
事實：X is A’
結論：Y is B’
note
GMP是modus ponens的一般化
MP : P  (P  Q)  Q
GMP是Fuzzy蘊含式PQ接受P’的真值推
導出Q’的真值的過程，可以寫成
P'(P  Q)  Q'
這 種 方 式 又 稱 為 前 向 推 理 (forward
reasoning)
前向推理是接受輸入資訊後推導出結果的
演算過程，很適合Fuzzy控制過程使用
2
GMT(General Modus Tollens)
規則：IF X is A THEN Y is B
事實：Y is B’
結論：X is A’
note
GMT是modus tollens的一般化
MT :~ Q  (P  Q) ~ P
GMT是Fuzzy蘊含式PQ由Q’的真值反推
出P’的真值的過程，可以寫成
Q'(P  Q)  P'
這 種 方 式 又 稱 為 逆 向 推 理 (backward
reasoning)
對GMP及GMT而言，規則就是Fuzzy蘊含
式，實際的應用場合可能存在很多的規則
組成知識庫，而希望由事實推導出結果
3
Fuzzy推論在Fuzzy理論的研究範疇中，是相當重要
的課題，所以有許多學者提出不同的方法，大體而
言可以分成下列兩種：
直接推論(direct inference)
間接推論(indiretc inference)
直接推論
就是先把規庫裡所有的規則，以Fuzzy
關係R表示，再把R與事實A’做Fuzzy關
係的合成運算得到結論B’
前題部A
結論部B
模糊關係R
事實A’
合成運算
4
結論B’
Fuzzy規則合成推論(compositional rule of inference)
R i : IF Ai THEN B i , i  1, 2, ..., n
B'  A'R
 A'( R1  R 2    R n )
 ( A'R1 )  ( A'R 2 )    ( A'R n )
n
  ( A'R i )
i 1
n
B' (v )  {max ( A ' (u )  A B (u, v ))}
i 1
n
uU
i 1
n
uU
i 1
uU
i
i
 {max ( A ' (u )  [ Ai (u )  Bi (v )])}
 {max ( A ' (u )  [ Ai (u )  Bi (v )])}
5
A1
B1
A'
R1
U
A'
R2
V
A2
B2
U
V
B1
B2
B'
V
note
此法乃Zadeh在1975年提出的前向推論法
式中的 ° 代表Fuzzy關係R與輸入量A‘的合
成運算
式中所採用的合成運算為max-min方法
式 中 所 採 用 的 Fuzzy 蘊 含 式 運 算 方 法 為
Mandani蘊含，此方法對A’=A時推論的結
果為B，可滿足前向推論的條件
6
Ex.有一個FRBS的規則庫有兩個規則表示如下：
R1 : IF X is A1 THEN Y is B1
R 2 : IF X is A2 THEN Y is B2
A1, A2  U  {u1, u2 , u3}, B1, B2  V  {v1, v2 , v3}
假設這個規則庫的Fuzzy關係R可以表示為：
 1 0.6 0.1
R  R1  R 2  0.6 0.8 0.8
0.2 0.8 0.9
現在X有一個輸入為 A'  0.8 u1  0.3 u2  0 u3
則可得到Y的輸出為
B'  A'R  [(A '  X  Y)  R]  Y
 1 0.6 0.1
 [ 0.8 0.3 0 ]  0.6 0.8 0.8
0.2 0.8 0.9
T
(
0
.
8

1
)

(
0
.
3

0
.
6
)

(
0

0
.
2
)


 ( 0.80.6 )( 0.30.8)( 00.8)   0.8 0.6 0.3
 ( 0.80.1)( 0.30.8)( 00.9 ) 
B'  0.8 v1  0.6 v2  0.3 v3
7
第五章 Fuzzy控制
控制問題
輸入
根據觀測量來決定操控量，或是以獲得
系統輸入與輸出的對應關係為目的
控制系統
輸出
傳統控制理論是以知道受控對像運動過程的數學模
型，並根據某些最佳化準則來獲得這種控制所需的
對應函數。其中轉移函數(transfer function)及狀態空
間法(state space)為古典及現代的控制理論研究方法
兩者均需要建立數學模型來描述系統的特徵。雖然
這些研究方法已經被發展得很完整，但對於那些非
線 性 (nonlinear) 、 不 確 定 (uncertainty) 及 時 變 (time
variant)的系統，僅能對真實系統做近似的數學描述
因此設計出來的控制器當然就不易達到預期的效果
8
Zadeh提出以Fuzzy控制取代傳統控制方法有三個特
點：
1.不用數值或數學模型，改用語言變數來描述系統
的特徵
2.利用附帶條件的敘述描述系統的特性及動作方式
3.使用Fuzzy近似推理方法取代傳統的數值演算方
式來操控系統
Fuzzy控制器(或稱Fuzzy邏輯控制器，FLC)
基本概念為整合人員操作的“專家經驗”於控制器
設計上，並以包含語言變數的fuzzy IF-THEN的控制
規則來描述系統輸入與輸出之間的關係
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Fuzzy控制器的基本架構
Fuzzy知識庫
(Fuzzy
Knowledge Base)
Crisp
模糊化介面
(Fuzzification)
Fuzzy
Terms
Fuzzy
Fuzzy推論機構 Terms
(Fuzzy Inference
Mechanism)
Process Output
受控系統
(Controlled
system)
解模糊化介面 Crisp
(Defuzzification)
Actual Control
完整的FLC共包含了四個主要部分：
模糊化介面
Fuzzy知識庫
Fuzzy推論機構
解模糊化介面
10
模糊化介面
接收資料擷取介面量測的值
進行量化工作，以便將觀測量的範圍轉換
到語言變量對等的論域
將輸入資料轉換成可被模糊集合表現的語言
數值
Fuzzy知識庫
主要由資料庫(data base)和語言控制規則庫
(rule base)組成
資料庫提供語言變數所需的定義，如變數論
域、語言項子集合與歸屬函數規劃等
語言控制規則庫利用定義出來的語言控制
規則來描述控制目標和領域專家的控制策略
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Fuzzy推論機構
FLC的核心，具有模擬人類做決策判斷的能
力。為根據人類特有的近似推理方式所延伸
的Fuzzy推論技術做出來的計算機構
解模糊化介面
進行等級對應的工作，以便將輸出變數值的
範圍由一Fuzzy值轉換到對等的明確值論域
中
由推論出來的控制動作產生出實際明確的控
制動作
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設計Fuzzy控制器的基本原則
定義輸入及輸出變數
決定模糊化策略
定義各語言變數的資料庫
設計控制規則庫
設計Fuzzy推論機構
選擇解模糊化的方式
定義輸入及輸出變數
FLC的輸入變數通常都是擷取自受控系統的
觀測量，或是推論出來的資料。而輸出變數
則為操控受控系統的操作量
一般來說，FLC的輸入變數可能是系統的狀
態、狀態誤差、狀態誤差微分量、狀態誤差
積分量等
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輸入向量x及輸出向量y可以定義為：
x  {( xi ,{Tx1i , Tx2i ,, Txki i },Ui ,
{1xi ,  x2i ,,  xkii }) | i  1,2,, n}
y  {( yi ,{Ty1i , Ty2i ,, Tylii },Vi ,
{1yi ,  y2i ,,  ykii }) | i  1,2,, m}
T ( xi )  {Tx1i , Tx2i ,, Txki i } 為xi的語言項
( xi )  {1x , x2 ,, xk } 為定義在Ui歸屬函數
i
i
i
i
語言項的大小 T ( xi )  ki 稱作xi 的模糊分割
(fuzzy partition)量，它決定了模糊控制器的
n
最大規則數 N   ki
i 1
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一般會用以下的文字來描述FLC的Fuzzy集合
PB  Positive Big
PM  Positive Medium
PS  Positive Small
ZE  Zero
NS  Negative Small
NM  Negative Medium
NB  Negative Big
語言項的數量及歸屬函數的外形可完全由專
家知識或經驗來決定，也可利用其它方法，
如聚類分析、自我組織、學習或一些最佳化
法則等建立出來
Fuzzy語言項的特性可以利用歸屬函數來描
述，原則上歸屬函數都要具備凸及正規等性
質，定義時也要注意其單調性
歸屬函數通常可分成數值(離散化)或函數(連
續化)兩種定義方式
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歸屬函數的涵蓋性：原則上應該使論域中
的任何一點對所有Fuzzy集合的最大歸屬度
都不能太小，以免出現失控現象
歸屬函數的重疊性：重疊度小表示對系統
控制的靈敏度高，但對參數變化的適應性
較差，亦即強健性(robustness)較差
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決定模糊化策略
模糊化(fuzzification)是一種把量測值轉換成
主觀評價的一種手續
一般來說，由系統所觀測到的值都是明確
值，而藉由模糊化策略我們將之映射成論
域中的一個模糊值
最簡單的模糊化方法即是將量測到明確值
直接轉換成Fuzzy單值(Fuzzy singleton)
1 x  x0
 A ( x)  
0 x  x0
1
fuzzy singleton
x0
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另外一種情形為輸入訊號被隨機雜訊干擾，
所以我們將機率性資料轉化成模糊數來處理
 ( x  x0 )2 
 A ( x)  exp 

2



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設計控制規則庫
Fuzzy規則庫的建立是FLC設計的重點之一，
這 些 由 語 言 變 數 所 形 成 的 IF-THEN 規 則 在
FLC中是用來建立系統輸入輸出的關係
一般來說，模糊規則的形式分為語意式的模
糊規則及函數式的模糊規則
語意式模糊規則
R i : IF X1 is Ai1 AND  AND X k is Aik
THEN Y is Bi , i  1, 2, ..., n
函數式模糊規則(又稱為TS Fuzzy Model)
R i : IF X1 is Ai1 AND  AND X k is Aik
THEN Y is f i (X1 ,, X k ), i  1, 2, ..., n
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設計Fuzzy推論機構
Fuzzy推論機構為FLC的核心，為模擬人類
決策的概念於模糊邏輯及近似推理的架構
GMP及GMT為近似推理的兩種重要推論方
式，其中GMP為前向式推論方法，只要有
輸入資料就能照著規則推理出結論，因此
很適合應用在Fuzzy控制的推論機構
GMP:
規則：IF X is A THEN Y is B
事實：X is A’
結論：Y is B’
前件部的Fuzzy關係可以Fuzzy蘊含的方式
表示成 R  A  B
結論Y可以由 B'  A' R  A'( A  B) 得到
多規則近似推理時，每個規則的Fuzzy蘊含
是以else相連接，這個生產鏈的運算方法選
擇也是Fuzzy推論機中的重要運算
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茲將各種不同的推論法中的三個重要運算(蘊含、合
成、生產鏈)分別比較如下：
Mamdani的Min-Min-Max模糊推論法
R 1 : IF X1 is A11 AND X 2 is A 21 THEN Y is B1
R 2 : IF X1 is A12 AND X 2 is A 22 THEN Y is B2
Wi  min{ max [min( A1i , X1 )], max [min( A2i , X2 )]}
X1
X2
Bi  min( Wi , Bi ( y ))
r
B  max Bi
*
i 1
x1 is A11
x 2 is A21
X1
x1 is A12
y is B1
Y
X2
x 2 is A22
B*
y is B2
Y
X1
X2
21
Y
Larsen的Min-Product-Max模糊推論法
R 1 : IF X1 is A11 AND X 2 is A 21 THEN Y is B1
R 2 : IF X1 is A12 AND X 2 is A 22 THEN Y is B2
Wi  min{ max [min( A1i , X1 )], max [min( A2i , X2 )]}
X1
X2
Bi  Wi  Bi ( y )
r
B  max Bi
*
i 1
x1 is A11
x 2 is A21
X1
x1 is A12
y is B1
Y
X2
x 2 is A22
B*
y is B2
Y
X1
X2
22
Y
Tsukamoto的模糊推論法
R 1 : IF X1 is A11 AND X 2 is A 21 THEN Y is B1
R 2 : IF X1 is A12 AND X 2 is A 22 THEN Y is B2
Wi  min{ max [min( A1i , X1 )], max [min( A2i , X2 )]}
X1
X2
W1
X1
X2
y1
Y
W2
X1
X2
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y2
Y
Takagi與Sugeno的模糊推論法
R 1 : IF X1 is A11 AND X 2 is A 21 THEN Y is B1
R 2 : IF X1 is A12 AND X 2 is A 22 THEN Y is B2
Wi  min{ max [min( A1i , X1 )], max [min( A2i , X2 )]}
X1
x1 is A11
X2
x 2 is A21
y1  a1 * x1  b1 * x 2  c1
W1
X1
x1 is A12
X2
x 2 is A22
y 2  a 2 * x1  b2 * x 2  c2
W2
X1
X2
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選擇解模糊化的方式
解模糊化的目的在於將推論結果的平均值換
成實際的操作量
常用的解模糊化方法有：最大歸屬度選擇法
(離散式)、加權平均法、重心法、高度法及
面積法
最大歸屬度選擇法
在FLC的輸出Fuzzy集合中，選取歸屬度最大
的那個元素作為操作量
C1  0.2 2  0.7 3  1 4  0.7 5  0.2 6
 u*  4
C2  0.2 0  0.6 1  1 2  1 3  1 4  1 5  0.2 6
(2  5)
 u* 
 3.5 或
2
(2  3  4  5)
u* 
 3.5
4
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加權平均法
以歸屬度為加權係數，操作量u*為
u* 
  (ui ) * ui
i
  (ui )
i
C1  0.2 2  0.7 3  1 4  0.7 5  0.2 6
0.2 * 2  0.7 * 3  1 * 4  0.7 * 5  0.2 * 6
 u* 
0.2  0.7  1  0.7  0.2
12.2

 4.3
2.8
重心法
求推論結果陰影部分的重心
B ( y ) * ydy

u* 
 B ( y )dy
i
i
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高度法
以被觸動規則前件部的適合度為結論部的高
度，則輸出u*為
u* 
 wi * yi
 wi
wi  Aij (X j )
其中yi 建議使用單值形式或Sugeno線性方程
式的結論部
面積法
Ai * Yi

u* 
 Ai
Ai   Bi ( Y j )dy
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