Transcript II_1 eloadas

I. előadás
Ismétlés
Mintavételi terv
Példa:
A gyártó állítása szerint a szállítmányban a selejt valószínűsége pe  0,05.
A legfeljebb 5% selejtet tartalmazó szállítmányt az átvevő is elfogadja.
-
Az átvevő átveszi a szállítmányt, ha n  15 elemű mintában legfeljebb 2
selejtes terméket talál. Mekkora az átadó kockázata?
Az átvevő akkor is átveszi a szállítmányt, benne pm  0,10 a selejtarány,
de n  15 elemű mintában legfeljebb 2 selejtes terméket talál. Mekkora
az átvevő kockázata?
(Nyilvánvaló, hogy a mintát visszatevéssel választjuk. Miért?)
-
Eredmény: ( 3,61%; 81,6% )
Ismétlés
Normális eloszlás
Példa:
Egy gyártmány mérethibája normális eloszlású valószínűségi változó m  0
várható értékkel. Megállapítottuk, hogy a mérethiba 0,8 valószínűséggel nem éri el
a 20 mm-es határt, amelyen belül a gyártmány még elfogadható minőségű. A termék
első osztályú, ha a mérethiba abszolút értéke nem éri el a 10 mm-es határt.
-
Mekkora a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott termék első
osztályú?
-
A termékek hány százaléka nem tér el a várható értéktől a szórás kétszeresénél
jobban? (2  szabály)
Eredmény:
( 1,625; 0,4778; ,9544 )
A matematikai statisztika tárgya
A valószínűségszámításban egy esemény valószínűségét, egy valószínűségi változó
eloszlásának típusát, várható értékét, szórását stb. elméleti megfontolások alapján
tudtuk kiszámítani.
A gyakorlatban egy-egy esemény valószínűségét, egy-egy valószínűségi változó pontos
eloszlását, várható értékét, szórását stb. nem ismerjük, csak tapasztalati adatok
statisztikai feldolgozásával tudunk rájuk következtetni.
A matematikai statisztika a kísérleti adatokból ( a mintából ) kapható
becslésekkel, a véletlen valószínűségi változó típusára, vagy az eloszlás jellemzőire
a minta alapján feltett hipotézisekkel foglalkozik.
Definíció. A matematikai statisztikában a vizsgálat tárgyát képező egyedek
összességét a hozzájuk tartozó számértékekkel együtt statisztikai sokaságnak
nevezzük.
A matematikai statisztika tárgya
A minta megadása
Definíció. A teljes sokaságból vizsgálatra kivett n elemet a hozzájuk tartozó
x1 , x2 , ... , xn számértékekkel együtt statisztikai mintának nevezzük.
Mivel ugyanabból a sokaságból kivett újabb és újabb mintához más-más számértékek
tartoznak, az x1 , x2 , ... , xn értékek tekinthetők egymástól független, ugyanazon
eloszlású valószínűségi változóknak is.
A minta megadása
xi :1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6
a./
felsorolással:
b./
gyakoriságokkal:
xi  :
 fi :
1
2
3
4
5
20
42
15
18
5
A minta megadása
Módusz, medián
c./ osztályokba sorolással:
osztályok gyakoriság  f i 
10; 12
12; 14
14; 16
16; 18
18; 20
1
5
13
4
2
Módusz: A leggyakrabban előforduló elemet a minta móduszának nevezzük.
pl.:
a./ 4;
b./ 2;
c./ nincs
Medián: Az adatokat monoton növekvő sorrendbe rendezve, a középső elem (ha van)
a minta mediánja. Ha nincs középső elem (páros darabszám esetén), akkor a „két
középső elem” számtani közepe a minta mediánja.
pl.:
a./ 3  4  3,5 ;
b./ 2;
c./ nincs
2
A minta átlaga
Terjedelem.
pl.:
A minta terjedelme a legnagyobb és a legkisebb elem különbsége.
a./
5;
b./
4;
c./ nincs
A minta átlaga
Definíció. A mintavételi változók ( mintaelemek ) számtani közepe a mintaátlag
n
( tapasztalati, empirikus várható érték ) :
pl.:
a./
3,286
x  x2  ...  xn
x 1

n
x
i
i 1
n
A minta átlaga
Definíció. Ha a mintavétel során egy-egy mintaelem többször is előfordul, mégpedig
x1 összesen f 1 -szer ( f 1 gyakorisággal ),
x 2 összesen f 2 -ször ( f 2 gyakorisággal ),

xk
összesen f k-szor ( f k gyakorisággal ), akkor a mintaátlag:
k
xi  f i
x1  f1  x2  f 2  ...  xk  f k 
x
 i 1
n
n
k
Itt a gyakoriságok összege természetesen
f
i 1
pl.:
b./
2,46
i
 n.
A minta átlaga
Tétel. A mintaátlagnak, mint valószínűségi változónak a várható értéke megegyezik a
teljes statisztikai sokaság ( "elméleti sokaság" ) várható értékével, azaz

M x  M   m
Itt a  valószínűségi változó értékei a teljes sokaság értékei, az mintaelemek -vel
azonos eloszlású valószínűségi változók ( i = 1, 2, ..., n ).
Tétel. A mintaátlag szórásnégyzete és a teljes statisztikai sokaság (  ) közötti
összefüggés:

2
2
D x 
, vagyis D x 
n
n
2


Tétel. Ha a teljes statisztikai sokaság normális eloszlású, akkor a mintaátlag is


normális eloszlású, mégpedig ( az előbbiek alapján ) N  m,
  eloszlású.

n
A minta szórása


2
1 n
Definíció. A minta szórásnégyzete: s    xi  x .
n i 1
2
n
Ha az mintaelemek az f i gyakoriságokkal vannak megadva, akkor a minta


2
1 k
szórásnégyzete: s    xi  x  f i .
n i 1
2
n
Tétel. A minta szórásnégyzetének, mint valószínűségi változónak a várható értéke:
 
M sn2 
n 1 2

n
( nem egyezik meg az alapsokaság szórásnégyzetével! )
2
Mivel sn várható értéke nem az alapsokaság szórásnégyzete, ezért a matematikai
statisztikában a korrigált szórásnégyzetet használjuk.
A minta szórása
Definíció. A korrigált tapasztalati szórásnégyzet:

n
1
s 
  xi  x
n  1 i 1
2
n

2
n
 sn2
n 1

Tétel. A minta korrigált tapasztalati szórásnégyzetének várható értéke a teljes
   .
2
n
statisztikai sokaság szórásnégyzete, azaz M s
pl.:
c./
osztályok
10; 12
12; 14
14; 16
16; 18
18; 20
gyakoriság  f i  osztályközép  xi 
1
11
5
13
13
15
4
17
2
19
2
x  15,08
s   1,869
Tapasztalati eloszlásfüggvény
Definíció. Az x1 , x2 , ... , xn mintaelemek közül azoknak a számát, amelyekre
teljesül, hogy xi  x , jelöljük f x -el.
f
Az Fn : x  x
(xR)
n
függvényt a minta eloszlásfüggvényének ( tapasztalati eloszlásfüggvényének )
nevezzük.
Tétel. Az Fn  x tapasztalati eloszlásfüggvény várható értéke x  R esetén:
M  Fn  x   F  x 
Megjegyzés.
Az előbbi tételben szereplő F függvény a teljes statisztikai sokaság
eloszlásfüggvénye. (az u. n. elméleti eloszlásfüggvény)
Az Fn empirikus eloszlásfüggvény tehát a F elméleti eloszlásfüggvény jó
közelítése.
Tapasztalati sűrűségfüggvény
Definíció. Osszuk fel a  mintabeli értékeire szóba jöhető intervallumot
részintervallumokra. Az xi , xi  xi részintervallumokra eső mintaelemek számát
jelöljük f i -vel.
Az xi , xi  xi
részintervallumon állandó f n : x 
fi
n   xi
függvényt
tapasztalati sűrűségfüggvénynek ( a minta sűrűségfüggvényének ) nevezzük.
Megjegyzés.
Mivel f  x 
fi
 f n  x , ezért ha az n elég nagy és a xi részintervallumok
n  xi
elég kicsik, akkor a teljes sokaság f sűrűségfüggvényét a mintabeli f n
sűrűségfüggvény jól közelíti.
Példa a tapasztalati eloszlás- és
sűrűségfüggvényre
Példa:
tapasztalati sűrűségfüggvény
intervallum gyakoriság  f i 
 ; 10
10; 12
1
12; 14
5
14; 16
13
16; 18
4
18; 20
20; 
0
2
0
sűrűség -
függvény  f n  x 
0
1
1

25  2 50
5
25  2
13
50
4
50
2
50
0
tapasztalati eloszlásfüggvény
intervallum gyakoriság f i 
 ; 11
11; 13
1
5
13; 15 
13
15; 17 
4
17; 19 
2
19; 
0
eloszlás függvény Fn  x 
0
1
25
6
25
19
25
23
25
25
1
25