Transcript 11. előadás - ESTIEM Wiki

Gazdaságstatisztika
11. előadás
Gazdaságstatisztika
VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓ, ELMÉLETI ELOSZLÁSOK
Valószínűségszámítási alapok
Néhány alaptétel

Ha az A esemény valószínűsége P(A), akkor a komplementer
esemény valószínűsége P A 1  P A


Bizonyítás

A ii.) és iii.) axióma alapján




1  P  P A  A  P A  P A  P A  1  P A

Ha AB, akkor P(B-A) = P(B) – P(A)

Bizonyítás

B  A  B \ A
és
A
és
B \ A diszjunktak, ezért a iii.) axióma szerint
PB  PA  B \ A  P A  PB  A
ebből

PB  A  PB  P A
Következmény

Az i.) axióma szerint P(A), P(B) és P(A+B) nemnegatív, s mivel
P(B) = P(A)+P(B-A), így P(B)P(A)
Gazdaságstatisztika
3
Néhány alaptétel

Tetszőleges A és B eseményre érvényes, hogy
P A  B  P A  PB  P AB

Bizonyítás
A  B  A  B   AB
A és B   AB diszjunktak
ezért a iii.) axióma szerint
P A  B  P A  PB   AB
továbbá
AB  B
ezért az előző tétel szerint:
így
PB  AB  PB   P AB
P A  B  P A  PB   AB  P A  PB  P AB

Megjegyzés

Ez az ún. Poincare-formula két eseményre
Gazdaságstatisztika
4
Valószínűségek meghatározásának módszerei

A valószínűségi mező jellemzőitől függően különböző módszerek
lehetségesek

Mi két valószínűségi mezővel foglalkozunk


Klasszikus valószínűségi mező

Geometriai valószínűségi mező
Klasszikus valószínűségi mező

Egy ,A,P valószínűségi mező klasszikus, ha  véges halmaz és
minden i   elemi esemény bekövetkezése azonos valószínűségű, azaz
P i  c , ahol c konstans.
 
Mivel   1; 2 ;...;n  , ezért 1 
Ha A  i  i  ...  i , akkor

1
2
n
P  
k
    
i 1
 
P A  P i1  i2  ...  ik  P i1  P i2  ...  P ik
Gazdaságstatisztika
1
n
1 k
 kc  k 
n n
Pi   nc, azaz c 
5
Valószínűségek meghatározásának módszerei

Klasszikus valószínűségi mező esetén egy A esemény
valószínűsége
k
P  A 
n

k: kedvező esetek száma

n: összes eset száma

Ez a valószínűség klasszikus (vagy kombinatorikus) meghatározási módja

Ha egy kísérletben az eseménytér n számú egyenlően valószínű elemi
eseményt tartalmaz, akkor a kísérlettel kapcsolatban megfogalmazható
bármely véletlen esemény valószínűségét megkapjuk, ha a véletlen
eseményt alkotó elemi események k számát elosztjuk az összes elemi
esemény n számával.
Gazdaságstatisztika
6
Valószínűségek meghatározásának módszerei

Geomteriai valószínűség


 egy geometriai halmaz (1 dimenziós, 2 dimenziós, stb.), A
Ha  egy olyan mérték az  halmazon (pl. hossz, terület, térfogat),
amelyre     0 és    véges és a pontok egyenletesen oszlanak el az
 halmazon (egyenletességi hipotézis), akkor
P A  c  A
ahol c konstans.
1
  A
Mivel 1  P  c , ezért c 
, így P A 
.
 
 

Ha egy véletlen kísérlettel kapcsolatos elemi eseményeket egy korlátos
geometriai alakzat (szakasz, ív, síkidom v. test) pontjainak véletlenszerű
kiválasztásával modellezhetünk, és a pontok egyenletes eloszlására
vonatkozó feltétel teljesül, akkor a kísérlettel kapcsolatos események
valószínűségét geometriai módszerekkel (hosszúság, terület v. térfogat
kiszámításával) határozhatjuk meg.*
* Reimann J. – Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985, pp. 29.
Gazdaságstatisztika
7
Példa

Kockadobás esetén (szabályos kockával dobva) jelentse A azt az
eseményt, hogy a dobott pontszám páros, B pedig azt, hogy a
dobott pontszám 3-nál nagyobb. Határozzuk meg a P(A), P(B),
P(AB) és P(A+B) valószínűségeket!

Megoldás

Az eseménytér az {1; 2; 3; 4; 5; 6} halmaz. Az összes eset száma 6.

Az A esemény akkor következik be, ha a 2, 4,6 elemi események valamelyike a
kimenetel. Ezért az A eseményre a kedvező esetek száma 3.

A B esemény akkor következik be, a 4, 5, 6 elemi események valamelyike a
kimenetel. Ezért a B eseményre a kedvező esetek száma 3.

AB = {4;6}, A+B = {2; 4; 5; 6}
3 1
P  A  
6 2

3 1
P B   
6 2
2 1
P AB   
6 3
4 2
P A  B   
6 3
P(A+B) a Poincare formulával: P A  B   P( A)  P( B)  P( AB ) 
Gazdaságstatisztika
1 1 1 2
  
2 2 3 3
8
Példa

Egy 10 cm sugarú kör alakú céltáblán a céltáblával koncentrikus
1 cm sugarú körbe érkező lövések értéke 10 pont. Mekkora a
valószínűsége annak, hogy egy a céltáblát eltaláló véletlen lövés
10 pont értékű?

Megoldás

Az Ω eseménytér a céltábla pontjainak halmaza, A pedig az 1 cm sugarú belső
kör pontjainak halmaza.

Tegyük fel, hogy teljesül az egyenletességi hipotézis, azaz egy véletlen lövés
azonos valószínűséggel érhet a céltábla bármely pontjába.

Ekkor a keresett valószínűség:
  A 12 
1
P A 
 2 
  10  100
Gazdaságstatisztika
9
Gazdaságstatisztika
VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓ, ELMÉLETI ELOSZLÁSOK
Valószínűségi változók jellemzői
Valószínűségi változó

Legyen ,A,P egy tetszőleges valószínűségi kísérletet leíró
valószínűségi mező. A
 :  R
    
leképezést valószínűségi változónak nevezzük.

Szokásos jelölés:    helyett csak  . Szokásos még az  jelölés.

Egy kísérlettel kapcsolatos eseménytéren minden elemi eseményhez
egyértelműen hozzárendelünk egy valós számot. Ez a hozzárendelés a
valószínűségi változó.

Például

Kockadobás esetén a felső lapon látható pontok számát rendeljük hozzá az
adott kimenetelhez

Kockadobás esetén a felső lapon látható pontok négyzetét rendeljük hozzá az
adott kimenetelhez
Gazdaságstatisztika
11
Valószínűségi változók két nevezetes osztálya

Attól függően hogy a valószínűségi változó milyen értékeket
vehet fel beszélhetünk diszkrét és folytonos valószínűségi
változóról.

Diszkrét valószínűségi változó

Véges, vagy megszámlálhatóan végtelen sok különböző értéket vehet fel.


Például: selejtes termékek száma, születések száma, vizsgajegy
Folytonos valószínűségi változó

Megszámlálhatatlanul végtelen sok értéket vehet fel.

Például a telefonbeszélgetések hossza, vagy motorgyártásnál a henger felületi
érdessége, a BUX index értéke, az ország GDP-je
Gazdaságstatisztika
12
Valószínűségi változók jellemzői





Eloszlásfüggvény
Valószínűség-eloszlás f.
Sűrűségfüggvény
Várható érték
(Elméleti) szórás
Gazdaságstatisztika
Diszkrét
Folytonos
F(k)
pk
F(x)
—
—
f(x)
E()
E()
D()
D()
13
Valószínűség-eloszlás függvény

Egy diszkrét valószínűségi változó minden lehetséges értékéhez
megadja annak a valószínűségét, hogy a valószínűségi változó az
adott értéket veszi fel.


pk  P  k 
A pk  P  k  valószínűség-eloszlás függvény tulajdonságai:
k  

p
k  

k
1
0  pk  1
b 1

P ( a    b )   pk
k a

Folytonos  valószínűségi változó esetén P  k   0 minden kra.
Gazdaságstatisztika
14
Valószínűség-eloszlás függvény

A kockadobás valószínűség-eloszlás függvényének grafikonja
pk
1/6
1
2
3
4
Gazdaságstatisztika
5
6
k
15
Valószínűségi változó eloszlásfüggvénye

Egy  valószínűségi változó F eloszlásfüggvénye minden valós x
értékhez megadja annak a valószínűségét, hogy   x .
F : R  0,1
F x   P  x 

Az eloszlásfüggvény tulajdonságai:

Monoton növekvő

Balról folytonos


lim F  x   1
x 
és
lim F  x   0
x  

Diszkrét valószínűségi változó esetén a pk  P   k
eloszlás függvény és az F eloszlásfüggvény kapcsolata:
F (k )  P  k  
k 1
p
i  
i

valószínűség-
pk  F (k  1)  F (k )
b 1
P(a    b)  F (b)  F (a)   pk
k a
Gazdaságstatisztika
16
Valószínűségi változó eloszlásfüggvénye

A kockadobás eloszlásfüggvényének grafikonja
F(x)
1
5/6
2/3
1/2
1/3
1/6
1
2
3
4
Gazdaságstatisztika
5
6
x
17
Folytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvénye

Ha a  valószínűségi változó F eloszlásfüggvénye folytonos, és
majdnem mindenütt deriválható (véges sok hely kivételével
mindenütt), akkor az f=F’ deriváltfüggvényt a  valószínűségi
változó sűrűségfüggvényének nevezzük.

Az f  x  sűrűségfüggvény tulajdonságai:


Mivel
Mivel
F x 
lim F  x   1
x 
lim F x  
x 

monoton növekvő, ezért
és
F x  
F ' x   f x   0
x
 f t dt , ezért


 f t dt  1 , azaz a sűrűségfüggvény-görbe alatti terület 1.

Az eloszlás és sűrűségfüggvény kapcsolata
F x  
x


f t dt
F ' x   f x 
b
Pa    b    f x dx  F b   F a 
a
Gazdaságstatisztika
18
Valószínűségi változók függetlensége (kiegészítő anyag)

A 1 ,  2 ,..., n valószínűségi változók teljesen függetlenek, ha
minden x1 , x2 ,..., xn valós számok esetén
P1  x1, 2  x2 ,...,n  xn   P1  x1 P2  x2 ...Pn  xn 
azaz

F x1 , x2 ,...,xn   F x1 F x2 ...F xn 
A 1 ,  2 ,..., n valószínűségi változók páronként függetlenek, ha
közülük bármely kettő független, azaz minden xi , x j i  j 
esetén
F xi , x j   F xi F x j 
Gazdaságstatisztika
19