Transcript สื่ อการเรียนการสอน เรื่อง การวัดค่ ากลางของข้ อมูล โดย...นางรุ่งนภา ผลเกิด กลุ่มสาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร์ รายวิชาคณิตศาสตร์ เพิม่ เติม รหัสวิชา ค43201 ระดับชั้นมัธยมศึกษาปี ที่ 6

่
สื
อการเรี
ย
นการสอน
่
เรือง
การวด
ั ค่ากลางของ
ข้อมู ล
โดย...นางรุ
ง่ นภา ยผลเกิ
กลุ่มสาระการเรี
นรู ้ ด
คณิ ตศาสตร ์
รายวิชา
คณิ ตศาสตร ์
่
เพิ
มเติ
ม
รหัสวิชา ค
43201
้
ระดบ
ั ชนมั
ั ธยมศึกษา
่
ปี ที 6
การวัดค่ากลาง
ของข้อมู ล
่
1. ค่าเฉลียเลข
x
คณิมัตธ(ยฐาน
) ( Median )
2.
3. ฐานนิ ยม ( Mode )
่
4. ค่าเฉลียฮาร
์โมนิ ก
่
5. ค่าเฉลียเรขาคณิ
ต
่
6. ค่ากึงกลางพิ
สย
ั
่
1. ค่าเฉลียเลขคณิ
x ต
(่ )
กรณี ท ี 1 ถ้าข้อมู ลไม่มก
ี ารแจก
แจงความถี่ x1  x2  x3  ...  xn
x 
n
n
x 
x 
x
i 1
n
x
n
i
้ั ที่
ตัวอย่างที่ 1 จากการสอบถามอายุของนิ สต
ิ ชนปี
2 ของมหาวิทยาลัยแห่งหนึ่ ง
จานวน 5 คน ปรากฏว่ามีอายุดงั นี ้ 20 , 19
, 20 , 22 , 27 ปี
x

x 
่
วิธท
ี า จงหาค่
าเฉลีnยเลขคณิ
ตของนิ สต
ิ กลุ่มนี ้
20  19  20  22  27

5
 21.6
้ อายุเฉลีย
่ ( ค่าเฉลียเลขคณิ
่
ดงั นัน
ต ) ของนิ สต
ิ
กลุ่มนี ้ คือ 21.6 ปี
่
1. ค่าเฉลียเลขคณิ
x ต
(่ )
กรณี ท ี 2 ถ้าข้อมู ลมีการแจก
แจงความถีf1่ x1  f 2 x2  f 3 x3  ...  f n xn
วิธ ี x  n
n
ตรง
 f i xi
x 
x 
i 1
n
 fx
n
ตัวอย่างที่ 2 ในการสอบวิชาสถิตข
ิ องนักเรียนกลุม
่
้
หนึ่ ง 30 คน
ปรากฏผลดั
ง
นี
คะแนน
19
18
17
16
15
วิธท
ี า
คะแนน
(x)
จานวน
2
4
13
8
3
่
่ )
นักเรียนาเฉลียเลขคณิ
จงหาค่
ต ( คะแนนเฉลีย
ของคะแนนสอบ
 fx
จานวน
fx
x 
นักเรียน ( f
n
)
504

19
2
38
30
18
4
72
 16.8
17
13
221
16
8
128
fx  504

15
3
45
้ Nคะแนนเฉลี
่
รวม
= 30
ดงั นัน
ยในการสอบ
คือ 16.8
่
1. ค่าเฉลียเลขคณิ
x ต
(่ )
กรณี ท ี 2 ถ้าข้อมู ลมีการแจก
แจงความถี่
วิธ ี
  fd 
x  a
I
ลัด
N


้ เลือกจากจุด
a = ค่ากลางสมมติ โดยค่านี ให้
่
้ั
้ั
่ งก็ได้
กึงกลางของช
นใดช
นหนึ
่
้ั มี
่ ความถี่
แต่นิยม ใช้จด
ุ กึงกลางของช
นที
สู งสุด หรือ
ตัวอย่างที่ 2 ในการสอบวิชาสถิตข
ิ องนักเรียนกลุ่ม
้
หนึ่ ง 30 คน
ปรากฏผลดั
คะแนน
19 งนี18
17
16
15
วิธท
ี า
x
15
16
17
18
19
รวม
จานวน
2
4
13
8
3
นักเรียนาเฉลียเลขคณิ
่
่ )
จงหาค่
ต ( คะแนนเฉลีย
ของคะแนนสอบ
f
d
fd
3
8
13
4
2
N=
30
-2
-1
0
1
2
-6
-8
0
4
4
 fd  6
  fd 
x a  
I
 N 
 6
 17    (1)
 30 
 17  ( 0.2 )
 16.8
่
1. ค่าเฉลียเลข x
่ต (
การหาค่าคณิ
เฉลียเลขคณิ
)ตรวม
หลาย ๆ กลุ่ม
n1 x 1  n 2 x 2  ...  n k x k
x 
n1  n 2  ...  n k
่ ni
เมือ
xi
คือ จำนวนข ้อมูลของแต่ละ
กลุม
่
่
คือ ค่ำเฉลียเลขคณิ
ต
ของแต่ละกลุม
่
ตัวอย่างที่ 3 นักเรียนห้องหนึ่ งเป็ นชาย 10 คน หญิง
10 คน นักเรียนชาย
มี
่ 160 ซม. นักเรียนหญิงมีส่วนสู งเฉลีย
่
ส่วนสู งเฉลีย
่
150 ซม.
จงหาส่วนสู งเฉลีย
n1 x1  n2 x 2  ...  nk x k
วิ
ธ
ท
ี
า
จ
ากโจทย
์
จะ
้
ของนักเรียนทังห้อง
 x 
จำนวน นร. ช
n1  n2  ...  nk
ได้
n 
1
= จ10
คนนร. ญ
ำนวน
n2 = 10 คน
่ นสูงเฉลีย
สว
่ นร. ช =
x1  160
่ นสูงเฉลีย
สว
่ นร. ญ =
x2 
150
10 (160 )  10 (150 )

10  10
= 155
้ ส่วนสู งเฉลียของนั
่
้ อง
ดงั นัน
กเรียนทังห้
คือ 155 ซม.
่ x
1. ค่าเฉลียเลข
คณิ ต (
)
่
การหาค่าเฉลียเลขคณิ
ตแบบถ่วงน้ าหนัก
w1 x1  w2 x2  ...  wn xn
x 
w1  w2  ...  wn
่ wi
เมือ
คือน้ าหนักของx i
ข้อมู ล
้ั
่ งของนักเรียนคน
ตัวอย่างที่ 4 ผลการสอบครงหนึ
หนึ่ ง เป็ นดัรายวิ
งนี ้ ชา
หน่ วย ระดับคะแนนที่
วิธ ี
ทา
การเรียน
สอบได้
ภาษาไทย
2
3
ภาษาอ ังกฤ
3
2
ษ
4 ยของ
4
่
จงหาระดับคะนนเฉลี
คณิ ตศาสตร
w x ์ ้ w x  ...  w x
นักxเรียนคนนี
1 1
2 2
n
w1  w2  ...  wn
2(3)  3(2)  4(4)

23 4
28

 3.11
9
n
2. มัธยฐาน (
Median )
้
กรณี ท ี่ 1 ถ้าข้อมู ลไม่เป็ นอ ันตรภาคชน
ั
n 1
คือ ตาแหน่ งที่
2
ตาแหน่ งมัธยฐาน
( ข้อมู ลต้องเรียงจากมากไปหาน้อย หรือ
น้อยไปหามาก )
n
n
่ ่ตาแหน่ ง
่
ข้อมู ลทีอยู
+
ข้
อ
มู
ล
ที
2
2
Me
่
กรณี ท ี n เป็ น คู ่ อยู ่ตาแหน่ ง
+ 1
2
=
n 1
Me ่
่
่
ง
กรณี ท ี n เป็ น คี ข้อมู ลทีอยู ่ตาแหน่
2
=
ตัวอย่างที่ 5 กาหนดข้อมู ลเป็ น 7 , 4 , 8 , 3 , 2 จง
หามัธยฐาน
วิธ ี
เรียงข้อมู ลจากน้อยไปมากจะได้
ทา
( n = 5 )
ตาแห
น่ งที่
ข้อมู ล
1
2
3
4
5
2
3
4
7
8
n 1
Me
่
ง
กรณี ท ี่ n เป็ น คี่ ข้อมู ลทีอยู ่ตาแหน่
2
=
5 1
่
 3ง
ข้อมู ลทีอยู ่ตาแหน่
2
=
Me
= 4
ตัวอย่างที่ 6 กาหนดข้อมู ลเป็ น 5 , 9 , 4 , 7 , 10 ,
จงหามัธยฐาน
วิธ ี
ทา
ตาแห
น่ งที่
ข้อมู ล
เรียงข้อมู ลจากน้อยไปมากจะได้
( n = 6 )
1
2
3
4
5
6
2
4
5
7
9
10
n
่ ่ตาแหน่ ง
ข้อมู ลทีอยู
2
Me
่
กรณี ท ี n เป็ น คู ่ อยู ่ตาแหน่ ง
+ 1
2
=
6
่
ข้อมู ลทีอยู ่ตาแหน่
ง
2
Me
อยู ่ตาแหน่ ง
+ 1
2
=
่ ่ตาแหน่ ง 3
Me ข้อมู ลทีอยู
่ ่ตาแหน่ ง 4
= ทีอยู
2
Me 5  7
2
=
้
ดังนัน
Me
= 6
+
n
ข้อ2มู ลที่
+
6
ข้อ2มู ลที่
+
ข้อมู ล
2. มัธยฐาน (
Median )
้ั
กรณี ท ี่ 2 ถ้าข้อมู ลอยู ่ในรู ปอ ันตรภาคชน
N

   fL 
2

I
Me  L 
fM






่ L
เมือ
=
้ั มี
่ มธั ยฐาน
ขอบล่างของอ ันภาคชนที
N
=
จานวนข้อมู ล
N
2
f
L
fM
=
ตาแหน่ งของมัธยฐาน
่
้ั
ผลรวมของความถีของอ
ันตรภาคชนทม
้ั มี
่ มธั ยฐานอยู ่
อ ันตรภาคชนที
่
้ั ่ Me อยู ่
= ความถีของอ
ันตรภาคชนที
=
้ั ่ Me อย
I = ความกว้างของอ ันตรภาคชนที
่
ตัวอย่างที่ 7 จากตารางแจกแจงความถีของคะแนน
สอบของนักเรียน 40 คน
จงหามัธย
ฐาน
คะแน
จานวน
ความถี่
น
นักเรียน ( f ) สะสม
11 –
5
5
20
7
12
21 –
12
24
30
11
35
31 –
5
40
n
40
วิธ ี
ตาแหน่ งมัธยฐาน
=
2
41 –
ทา
40
=2  20
50
้ 51มั
้ั
ดังนัน
–ธยฐานจะอยู ่ในอ ันตรภาคชน
31 – 40
60
จาก
สู ตร
N

   fL 
I
Me  L   2
fM






L = 30.5
I = 10
f M = 12
 f = 5 + 7 = 12
L
 20  12 
 30.5  
 10
 12 
8
 30.5    10
 12 
 30.5  6.67
 37.17
3. ฐานนิ ยม
(
Mode
)
่ ความถีสู
่ งสุด
ฐานนิ ยม คือ ค่าสังเกตทีมี
้ั
กรณี ท ี่ 1 กรณี ขอ
้ มู ลไม่ได้จด
ั เป็ นอ ันตรภาคชน
ตัวอย่างที่ 8 คะแนนสอบรายจุดประสงค ์ของนักเรียน 4
คะแนน 0 1 2
จานวน 3 2 1
นักเรียน
0
ฐานนิ ยมคะแนนสอบ
3 4 5
2 3 2
0
คือ 3
ข้อสังเกต
่ ากันทังหมด
้
1. ถ้าแต่ละค่าสังเกตมีความถีเท่
ถือว่าไม
เช่น ข้อมู ล
4 9 12 8
ข้อมู ล 8 7 7 10 10 8
ไม่มฐ
ี านนิ ยม
ไม่มฐ
ี าน
2. ฐานนิ ยมอาจมีคา
่ มากกว่าหนึ่ งจานวนก็ได้
เช่น ข้อมู ล 7 2 4 6 4 8 7
ฐานนิ ยมคือ 7 และ 4
้ั
กรณี ท ี่ 2 กรณี ทข้
ี่ อมู ลถู กจัดเป็ นอ ันตรภาคชน
้ั มี
่ ความถีสู
่ งสุด แล้วจึงใช้สู
เลือกอ ันตรภาคชนที
 d1 
 I
Mo  L  
 d1  d 2 
่ คว
้ั มี
L คือ ขอบล่างของอ ันตรภาคชนที
้ั ่ Mode ตกอยู ่ )
( ชนที
่
้ั
d1 คือ ผลต่างของความถีของอ
ันตรภาคชน
้ั ต
่ ากว่
่
่
และอ ันตรภาคชนที
าซึงอยู
่ตด
ิ ก
่
เมือ
่
้ั
d 2 คือ ผลต่างของความถีของอ
ันตรภาคชน
้ั สู
่ งกว่าซึงอยู
่
และอ ันตรภาคชนที
่ตด
ิ ก
่ อไปนี ้ จงหาฐา
ตัวอย่างที่ 9 จากตารางแจกแจงความถีต่
อ ันตร
้ั
ภาคชน
5–9
10 – 14
15 – 19
20 – 24
25 – 29
ความถี่ ( f )
3
7
10
8
2
( 1 ) ตารางนี ้ มีความกว้างเท่ากัน
้ั ่ 3 ( ช่วงคะแนน 15 – 19 ) มี
( 2 ) ชนที
่ งสุด
ความถีสู
้ ฐานนิ ยมจะอยู ่ในชนนี
้ั ้
ดังนัน
่ าหาค่าอย่างคร่าว ๆ ( ค่าฐานนิ ยม
( 2 ) ซึงถ้
โดยประมาณ ) แล้ว
่
Mode = จุดกึงกลาง
้ั ้
ของชนนี
15  19
= 2
= 17 (
ค่าประมาณ )
่ กต้อง ต้องหาจาก
( 3 ) ถ้าต้องการหาค่าทีถู
สู ตร
 d1 
 I
Mo  L  
 d1  d 2 
อ ันตร
้ั
ภาคชน
5–9
10 – 14
15 – 19
20 – 24
25 – 29
ความถี่ ( f )
3
7
10
8
2
d1  10  7  3
d2  10  8  2
้ั ่
L = ขอบล่างของชนที
3 = 14.5
d1  f 3  f 2  10  7  3
d 2  f 3  f 4  10  8  2
้ั ่ 3 =
I = ความกว้างของชนที
19.5 - 14.5 = 5
่
= ความถีของ
f3 ้ ่
ชนที
ั
3 ่
= ความถีของ
f2 ้ ่
ชนที
ั
3
ดังนั้
น
 d1 
 I
Mo  L  
 d1  d 2 
 3 
 14.5  
5
 3 2
 17.5
่
4. ค่าเฉลีย
ฮาร
์มอนิ
ก
่ คา
x
,
x
,
...
,
x
เป็
นข้อมู ลทีมี
่ เป็ นบวก
ให้
1
2
n
N
=
1 1
1
1
   ... 
x1 x2 x3
xn
H.M.
=
N
1
x
่ั
ตัวอย่างที่ 10 ขับรถด้วยความเร็ว 80 กิโลเมตรต่อชวโมง
่ั
100 กิโลเมตรต่อชวโมง
และ ค ขับรถด้วยควา
่ั
่
ต่อชวโมง
ถ้า H.M. คือค่าเฉลียฮาร
์มอนิ กของ
วิธท
ี า
จะได้
H.M.
=
3
=1 1 1


80 100 120
่ั
97.30 กิโลเมตร / ชวโมง
่
5. ค่าเฉลีย
เรขาคณิ
ต
่ คา
่ เป็ นบวก
ให้ x , x , ... , x เป็ นข้อมู ลทีมี
1
2
G.M.
n
=x1 x2 x3 ...xn
n
1
log G.M . 
N
N
 log x
i 1
i
ตัวอย่างที่ 11 ถ้าครอบคร ัวหนึ่ งมีบด
ิ ามีอายุ 60 ปี
ภรรยาอายุ 30 ปี บุตร 4 คน
มีอายุ 12 , 10 , 8 , 1 ปี ตามลาดับ
่
ถ้า G.M. คือค่าเฉลียเรขาคณิ
ต
้
ของอายุ
ข
องบุ
ค
คลในครอบคร
ัวนี
วิธท
ี า ข้อมู ล 60 , 30 , 12 , 10 , 8 , 1
1
log G.M . 
จากสู
ต
ร
n
1 6
log G.M .   log xi
6 i 1
n
 log x
i 1
i
log 60  log 30  log 12  log 10  log 8  log 1

6
1.7782  1.4771  1.0792  1  0.9031  0

6
log G.M .  1.0396
G.M .  101.0396
้ G.M. =
ดังนัน
11.45 ปี
6. ค่า
่
กึงกลางพิ
สย
ั
่
ค่ากึงกลาง
พิสย
ั =
xmax  xmin
2
่
ตัวอย่างที่ 12 จากข้อมู ลจงหาค่ากึงกลางพิ
สย
ั
2 , 4 , 6 , 8 , 10
วิธท
ี า
่
ค่ากึงกลาง
พิสย
ั =
่
ค่ากึงกลาง
พิสย
ั =
10  2
2
6
THE END
x