Transcript Les distributions des rendements La méthode du kernel Ingénierie Economique et Financière, Paris-Dauphine.

Les distributions des rendements
La méthode du kernel
Ingénierie Economique et Financière, Paris-Dauphine
Le critère moyenne variance




L’hypothèse fondatrice de la théorie du
portefeuille : le critère moyenne /
variance
Conséquences :
à l’asymétrie (skewness)
à l’importance relative des rendements
extrêmes (kurtosis)
L’hypothèse de normalité



Une justification du critère moyenne /
variance : la normalité (ou la lognormalité) des distributions des
rendements.
Loi normale  rendements géométriques
Loi log-normale  rendements continus
Problème



L’hypothèse de normalité est-elle
satisfaisante, plausible, etc. ?
La nécessité de confronter la loi normale (ou
log-normale) aux distributions empiriques.
Comment construire la distribution
empirique?
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L’histogramme


Une méthode non paramétrique
Quelques résultats sur les indices
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Dis tribution des rendements g éométriques du DJ IA 3 0 , 1 9 8 6 -2 0 0 4
his tog ramme à 5 0 intervalles
10
8
6
4
2
03
0,
02
0,
02
0,
01
0,
01
0,
00
0,
00
0,
1
-0
,0
2
-0
,0
2
-0
,0
3
-0
,0
3
,0
-0
-0
,0
4
0
Formalisation

Les observations (unidimensionnelles) :
S N X1, X 2,...,X N 


La méthode de l’histogramme (dans le cas
symétrique) :
M intervalles de longueur h
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Formalisation (suite)

La densité estimée au point X
I(X) : intervalle contenant X
f(X) : densité estimée au point X


1
ˆ
ˆ
f(X)
# XSN:XI(X)
Nh
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Formalisation (suite)
Autre écriture
(Y;X) fonction caractéristique de
l’appartenance de Y à l’intervalle de
X

0 si YI(X)
(Y; X)
1 si YI(X)
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Formalisation (suite)

Ecriture de la densité avec la fonction
caractéristique :
1
f(X)
Nh

ˆ
(X; X)
Xˆ SN
Limite de l’histogramme



Comme
est discontinue,
une modification faible de h peut modifier
substantiellement f(X)
d’où la recherche de méthodes plus
robustes.
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La méthode du kernel (ou noyau)


En lieu et place de
une
fonction (appelée le kernel) qui est
continue et qui définit la densité :
1
f(X)
Nh

ˆ
K(X; X)
Xˆ SN
Les fonctions utilisées

Le noyau gaussien
K(Y; X) 1 exp( 1 ( X Y )2)
2

2
h
Le noyau d’Epanechnikov
X

Y
X

Y
2
K(Y; X)(1(
) )I1(
)
h
h
La valeur de h




Quelle valeur pour h?
Différentes méthodes
valeurs « optimisées »
relations empiriquement robustes
1 5
hcˆ(n)
, avec c3 ou (4/5)1/5
Un exemple (kernel gaussien)

Trois observations = trois rendements
R= -5%, 10%, 25%
ˆ 18.028
h43.415
(avec c=3)
Un exemple (suite)
Les trois fonctions :
1
1
X

Y
Ki(X)
exp( (
)2)
2 43,415
2
Avec Y = -5, 10, 25 si i=1,2,3
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Un exemple
La densité obtenue en sommant les 3 fonctions
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-100
-50
0 0
50
x
100
Applications
Quelques applications :
(1) Aux indices sur actions
(2) Aux actions
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Les indices

« Le monde est gaussien»
Distribution des rendements de l'indice MSCI Monde, 1920 - 2001
(données annuelles, rendements discrets)
2,5
2
1,5
densité estimée
densité normale
1
0,5
0
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
Distribution des rendements de l'indice MSCI Europe, 1920-2001
(données annuelles, rendements discrets)
2,5
2
1,5
densité estimée
densité normale
1
0,5
0
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
Les actions
Dupont de Nemours
Michelin
Microsoft
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Estimation de la fonction de densité de Dupont de Nemours données quotidiennes 6 octobre 2000 30 septembre 2004
30
25
20
15
densité effective
densité normale
10
5
0
-0,15
-0,1
-0,05
0
-5
0,05
0,1
0,15
Estimation de la densité des rendements de l'action Michelin données quotidiennes : 8 janv. 1985 - 1er oct. 2004
30
25
20
15
densité effective
densité normale
10
5
0
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
-5
0,05
0,1
0,15
0,2
Estimation de la fonction de densité de Microsoft données quotidiennes 6 oct 2000 - 30 sept 2004
25
20
15
densité effective
10
densité normale
5
0
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
-5
0,05
0,1
0,15
Bilan
« En première approximation » les rendements
peuvent être approximés par des lois normales.
 Les « écarts à la normalité » sont naturellement
plus importants sur les actions que sur les indices
sur les actions.
 Les écarts par rapport à la loi normale:
 une fréquence des rendements proches de la
moyenne plus importante;
 une fréquence plus importante des rendements
extrêmes.
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