Transcript สนามที่เปลีย่ นแปลงตามเวลาและสมการของแมกเวลล์ สมการของแมกเวลล์ และศักดาไฟฟ้าหน่ วง กสิ ณ ประกอบไวทยกิจ ห้องวิจยั การออกแบบวงจรอิเล็กทรอนิกส์ดว้ ยระบบคอมพิวเตอร์ ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้ า คณะวิศวกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลัยเชียงใหม่

สนามที่เปลีย่ นแปลงตามเวลาและสมการของแมกเวลล์
สมการของแมกเวลล์ และศักดาไฟฟ้าหน่ วง
กสิ ณ ประกอบไวทยกิจ
ห้องวิจยั การออกแบบวงจรอิเล็กทรอนิกส์ดว้ ยระบบคอมพิวเตอร์
ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้ า คณะวิศวกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลัยเชียงใหม่
สมการแมกเวลล์ ทอี่ ยู่ในรู ปสมการเชิงอนุพนั ธ์
(1) สาหรับสนามแม่เหล็กและสนามไฟฟ้ าที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา
dB
 E  dt
dD
 H  J
dt
(2) สาหรับสนามแม่เหล็กและสนามไฟฟ้ าสถิตย์
  D  v
B  0
สมการแมกเวลล์ ทอี่ ยู่ในรู ปสมการเชิงอนุพนั ธ์
(3) กฎของแรง (Force Law) สาหรับสนามแม่เหล็ก/ไฟฟ้ าสถิตย์
F  Q(E v B) [N]
F คือแรงที่เกิดจากประจุไฟฟ้ า Q เคลื่อนที่ดว้ ยความเร็ ว v ผ่าน
สนามไฟฟ้ า E และสนามแม่เหล็ก B
(4) กฎของโอห์ม (Ohm’s Law) สาหรับความหนาแน่นกระแสไฟฟ้ าที่
เกิดจากประจุไฟฟ้ าเคลื่อนที่ในตัวนาไฟฟ้ า
J E

สภาพการนาไฟฟ้ า [โมห์/เมตร หรื อ ซีเมนต์]
สมการแมกเวลล์ ทอี่ ยู่ในรู ปสมการเชิงอนุพนั ธ์
(5) กฎของโอห์มสาหรับความหนาแน่นกระแสไฟฟ้ าที่เกิดจากความหนาแน่น
ประจุไฟฟ้ าเคลื่อนที่ดว้ ยความเร็ว v เมตร/วินาที
J  v v [A/m2 ]
(6) Permittivity หรื อค่าคงตัวของไดอิเล็กทริ ก (Dielectric Constant)
D   0 r E
0 
Permittivity of space

1
 10 9 [F/m]
36
สมการแมกเวลล์ ทอี่ ยู่ในรู ปสมการเชิงอนุพนั ธ์
(7) Permeability
B  0 r H [A/m2 ]
0  Permeability of space  4 10
7
[H/m]
สมการแมกเวลล์ ทอี่ ยู่ในรู ปอินทิกรัล
dB
 E d L  - s dt  d S
แรงเคลื่อนไฟฟ้ ามีค่าเท่ากับค่าลบของการอินทีกรัลพื้นที่ผิวของ
สนามแม่เหล็กไฟฟ้ า B ที่เปลี่ยนค่าตามเวลาคูณด้วยพื้นที่หน้าตัด
ที่สนามแม่เหล็ก B ผ่าน
สมการแมกเวลล์ ทอี่ ยู่ในรู ปอินทิกรัล
dD
 H  d L  I  s dt  d S
แรงเคลื่อนไฟฟ้ ามีค่าเท่ากับผลรวมของกระแสไฟฟ้ า(อาจจะเป็ น
ได้ท้ งั กระแสนา กระแสพา หรื อกระแสกระจัด) ที่ไหลผ่านวงจร
แบบปิ ด
สมการแมกเวลล์ ทอี่ ยู่ในรู ปอินทิกรัล
 D d S

   dv
vol
กฎของเกาส์ เส้นสนามไฟฟ้ าที่พงุ่ ออกจากพื้นที่ผิวปิ ดใด ๆ จะ
มีค่าเท่ากับประจุไฟฟ้ าที่ถกู ล้อมอย่างมิดชิดโดยพื้นที่ผวิ ปิ ดนั้น
สมการแมกเวลล์ ทอี่ ยู่ในรู ปอินทิกรัล
 B d S
 0
การอินทิกรัลพื้นที่ผวิ ของสนามแม่เหล็ก B คูณด้วยพื้นที่หน้าตัด
ที่สนามแม่เหล็ก B ไหลผ่านมีค่าเท่ากับศูนย์ (ไม่เกี่ยวกับเวลา)
ทดลองทา
จงหาค่าความหนาแน่นกระแสการกระจัดที่เกิดขึ้น ณ.
(ก) เครื่ องรับวิทยุเอฟเอ็ม กาหนดให้ สถานีส่งส่ งคลื่นสนาม
แม่เหล็ก H ดังนี้
H  0.2cos[2.1(3108 t  x)]az [A/m]
(ข) ภายในตัวเก็บประจุไฟฟ้ า กาหนดให้ 
ที่เกิดในตัวเก็บประจุไฟฟ้ าเท่ากับ
6
r
6
และสนามไฟฟ้ า E
E  100 sin[1.25710 (310 t  2.453)]ax
8
ศักดาไฟฟ้าหน่ วง (Retarded Potentials)
ศักดาไฟฟ้ าหน่วงคือศักดาไฟฟ้ าที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา
 ในสนามไฟฟ้ าสถิตย์ ศักดาไฟฟ้ าที่เกิดจากประจุไฟฟ้ าสามารถหาได้จาก
 v dv
V 
[volt]
4R
v
 V 
2
E  - V
[volt]
ศักดาไฟฟ้าหน่ วง (Retarded Potentials)
 ในสนามแม่เหล็กสถิตย์ ศักดาไฟฟ้ าที่เกิดจากกระแสไฟฟ้ าสามารถหาได้จาก
 J dv
A
[Amp.]
4R
2 A  -  J [Amp.]
B   A
 จากสมการแมกเวลล์ สาหรับสนามไฟฟ้ าแม่เหล็กสถิตย์ที่เกิดจากไฟฟ้ ากระแสตรง
B  0
  A  0
  B    A
ศักดาไฟฟ้าหน่ วง (Retarded Potentials)
ในสนามไฟฟ้ าสถิตย์
 E  0
แต่สาหรับสนามไฟฟ้ าที่เปลี่ยนค่าตามเวลานั้น
 E  0
E  - V  N
 E  0   N
ศักดาไฟฟ้าหน่ วง (Retarded Potentials)
จากกฎของฟาราเดย์สาหรับแม่เหล็กไฟฟ้ าที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา
dB
 N  dt
d
  N  - (  A)
dt
dA
 N  -
dt
dA
N dt
ศักดาไฟฟ้าหน่ วง (Retarded Potentials)
dA
E  - V 
dt
สมมุติให้ B    A เป็ นสมการแม่เหล็กที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา เพราะฉะนั้น
dA
ลงในสมการ
เมื่อแทนค่า B    A และ E  -  V 
dt
dD
 H  J
dt
และ
  D  v
ศักดาไฟฟ้าหน่ วง (Retarded Potentials)

dV d2 A
    A  J     
 2 

dt
dt 

1
และ
d


     V    A    v
dt


ศักดาไฟฟ้าหน่ วง (Retarded Potentials)

dV d2 A
    A  J     
 2 

dt
dt 

1
เพราะว่า
 dV d2 A
    A   J    
 2 
dt 
 dt
    A  (  A) -   ( A)
เพราะฉะนั้น
2

d
V
d
A
2

    A  (  A) -  A)   J    
 2 
dt 
 dt
ศักดาไฟฟ้าหน่ วง (Retarded Potentials)
d


     V    A    v
dt


v
d
 V   A  dt

2
ศักดาไฟฟ้าหน่ วง (Retarded Potentials)
สาหรับสนามแม่เหล็กสถิตย์
 A  0
2 A   J
v
 V  
2
สาหรับสนามแม่เหล็กที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา เราสามารถหาค่า B
และ E ได้จาก B    A และ E  - V  ddtA
ศักดาไฟฟ้าหน่ วง (Retarded Potentials)
พิจารณา
B   A
เราสามารถพิสูจน์ได้วา่
 A  0
สมมติวา่ ขนาดของ A คือ Ay และ Az เท่ากับ 0 เราจะได้วา่
d

d

d
d
d
d

  A   Az  Ay  a x   Ax  Az  a y   Ay  Ax  a z
dz 
dx 
dy 
 dz
 dy
 dx
d

d

  A  0 a x   Ax  a y   Ax  a z
 dz 
 dy 
ศักดาไฟฟ้าหน่ วง (Retarded Potentials)
   A  B  Bx  a x  By  a y  Bz  az
สรุ ปได้วา่
d
d
Bx  0, By 
Ax , Bz 
Ax
dz
dy
สรุ ปได้วา่
 A  0
ศักดาไฟฟ้าหน่ วง (Retarded Potentials)
กาหนดให้
d
  A    V
dt
ตามกฎของลอเรนท์ และสมการ
2

d
V
d
A
2
(  A) -  A)   J    
 2 
dt 
 dt
v
d
 V   A  dt

2
ศักดาไฟฟ้าหน่ วง (Retarded Potentials)
d
dV
d2 A
2
 -  V -  A   J  
 
dt
dt
dt 2
2
d
A
2
  A   J  
dt2
สมการคลื่นไม่เอกพันธ์ (Inhomogeneous Wave)
ศักดาไฟฟ้าหน่ วง (Retarded Potentials)
v
d
 V   A  dt

v  d
d 
2
 V  -     V 
  dt
dt 
v
d2
 -   2 V

dt
2
สมการคลื่นไม่เอกพันธ์ (Inhomogeneous Wave)
ศักดาไฟฟ้าหน่ วง (Retarded Potentials)
B   A
d
  A    V
dt
dA
E  - V 
dt
ศักดาไฟฟ้าหน่ วง (Retarded Potentials)
 v dv
V 
[volt]
4R
[  v ]dv
V 
[volt]
4R
 J dv
A
[Amp.]
4R
[ J ]dv
A
[Amp.]
4R
 R
[ρv ]  ρ t- 
 v
เวลาถ่วง (Retarded Time)
ศักดาไฟฟ้าหน่ วง (Retarded Potentials)
 R
t   t- 
 v
'
R
 การหาค่า V ที่เวลา t นั้นต้องทราบค่า  ที่เวลา t- v
 R ระยะทางระหว่างเวลา t กับ t- Rv ที่ตอ้ งการหาค่า V
v
v คือการเคลื่อนที่ของคลื่นมีค่าเท่ากับ
1

, 3x108 m/s ในอากาศ
ศักดาไฟฟ้าหน่ วง (Retarded Potentials)
P
h
R
Az
iz
 การหาค่า V, A ที่จุด P ณ. เวลา t นั้นต้องทราบค่าที่เวลา
t-
R
v
 R
  t  dv
v
A 
[Amp.]
4R
ซึ่ งอยูห่ ่างจุด P เป็ นระยะทาง R
ศักดาไฟฟ้าหน่ วง (Retarded Potentials)
เมื่อ
J dv  I d L
จากรู ปจะได้
 R
 t  dv
v

A  
I d L  dl  Az a z
4R
หรื อ
h  R
Az   I z 
t  
4r  v 

 R
Az 
Iz t  
4R  v 
ศักดาไฟฟ้าหน่ วง (Retarded Potentials)
ถ้า
I z  I 0 cos(t )
เราจะได้
hI0
 R
Az 
cos wt  t  
4r
 v