Transcript Lanjutan…… Hakekat Derivatif dan Diferensial y  lerengdari kurva y  f(x) x lim y dy  x  0 x dx dy/dx  terdiri dari 2

Lanjutan……
Hakekat Derivatif dan Diferensial
y
 lerengdari kurva y  f(x)
x
lim y dy

x  0 x dx
dy/dx  terdiri dari 2 suku, dy dinamakan diferensial
y, dx merupakan diferensial dari x.
Diferensial dari x : dx = ∆x
Diferensial dari y : dy=(dy/dx) ∆x
Variabel terikat
 dy/dx  lereng taksiran (approximated slope)
dari kurva y = f(x) pada kedudukan x tertentu.
 ∆y/∆x  lereng yang sesungguhnya (the true
slope)
 Lereng taksiran ini dapat lebih besar (over
estimated), atau lebih kecil (under estimated),
atau sama dengan lereng sesungguhnya
(teragantung pada jenis fungsinya dan besar
kecilnya perubahan pada variabel bebas)
 Fungsi y = f(x) yang linier, lereng taksiran =
lereng sesungguhnya, berapapun ∆x  dy/dx
= ∆y/ ∆x
y = f(x)
∆y = dy
Q
∆x = dx
Perubahan y = ∆y
Diferensial x = dx
R
P
Perubahan x = ∆x
Diferensial y = dy
Kuosien diferensi =
∆y/ ∆x
Derivatif = dy/dx
dy/dx = ∆y/ ∆x
 Fungsi y = f(x) yang non-linier
y
y
S
S
R QR=∆y
QS=dx
Q
P
(a)
P
∆x = dx
∆x = dx
0
R
Q QR=dy
QS=∆x
x 0
(b)
dy > ∆y
dy < ∆y
Over-estimated
Under-estimated
x
Derivatif
dari
derifatif
 Setiap fungsi bisa diturunkan lebih dari 1
kali (tergantung derajatnya).
 Turunan pertama (turunan dari fungsi
awal), turunan kedua (turunan dari fungsi
pertama, dst.
contoh:
y  f ( x)  x 3  4 x 2  5 x  7
y '  dy / dx  3x 2  8 x  5
y ' '  d 2 y / dx2  6 x  8
y ' ' '  d 3 y / dx3  6
y 'v  d 4 y / dx4  0
Hubungan antara fungsi dan Derivatifnya
 Dengan mengetahui hub. antara fungsi dan
derivatifnya  besarnya turunan pertama dan turunan
kedua  akan bisa dikenali bentuk gambar dari fungsi
tersebut
 Kita akan mengetahui kurva menaik atau menurun,
titik ekstrim dan juga titik beloknya.
contoh:
3
2
1
y  f ( x) 
x  4 x  12x  5  fungsi kubik
3
2
y '  dy / dx  x  8 x  5  fungsi kuadrat
y ' '  d y / dx  2 x  8  fungsi linear
2
2
y ' ' '  d y / dx  2  konstanta
3
3
Perhatikan pengurangan derajat fungsi pada masingmasing turunannya
Fungsi
Menaik
dan
Menurun
 Turunan pertama dari sebuah fungsi non-linear dapat
digunakan untuk menentukan apakah kurva dari fungsi
yang bersangkutan menaik atau menurun pada kedudukan
tertentu.
Lereng nol
Lereng
positif
fungsi
menaik
y = f(x)
Lereng negatif
fungsi
menurun
Lereng nol
f’(a) > 0, y = f(x) menaik
f’(a) < 0, y = f(x)menurun
Uji Tanda
 Apabila turunan pertama f’(x) = 0, berarti
y = f(x) berada di titik ekstrim
 Untuk menentukan apakah titik ekstrim
tersebut merupakan titik maksimum ataukah
minimum, maka perlu dilakukan uji tanda
terhadap f’(a) = 0.
 Jika f’(x) > 0 untuk x < a dan f’(x) < 0 untuk x >
a, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum.
 Jika f’(x) < 0 untuk x < a dan f’(x) > 0 untuk x >
a, maka titik ekstrimnya adalah titik minimum.
Titik ekstrim fungsi parabolik
 Turunan pertama dari fungsi parabolik y = f(x) berguna
untuk menentukan letak titik ekstrimnya.
 Sedangkan turunan kedua berguna untuk mengetahui
jenis titik ekstrim yang bersangkutan.
 Perhatikan fungsi parabolik berikut dan turunanturunannya, serta hubungan secara grafik.
y = f(x) = x2 - 8x + 12 ………….fungsi parabolik
y’ = f’(x) = dy/dx = 2x – 8 …….fungsi linear
y” = f”(x) = d2y/dx2 = 2 ……….konstanta
 Parabola y = f(x) = x2 - 8x + 12 , mencapai titik ekstrim –
dalam hal ini titik minimum yaitu (4, -4)
y’ = 0, nilai variabel bebas x = 4. x = 4  dimasukkan ke
dalam persamaan Parabola  didapat nilai y = -4
y
y = x2 – 8x + 12
12
y’= 2x - 8
y” = 2
2
0
-4
-8
2
4
(4,-4)
6
x
 Parabola y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y’ = 0
 Jika y” < 0 : bentuk parabolanya terbuka ke bawah,
titik ekstrimnya adalah titik maksimum.
 Jika y” > 0 : bentuk parabolanya terbuka ke atas, titik
ekstrimnya adalah titik minimum.
Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik
 Titik maksimum atau minimum fungsi kubik,
serta titik beloknya dapat dicari melalui turunan
pertama dan kedua dari fungsi tersebut.
 Perhatikan fungsi kubik dan turunannya berikut :
y = 1/3x3 – 3x2 + 8x – 3 ………….fungsi kubik
y’ = x2 – 6x + 8 ……………………fungsi kuadratik
y” = 2x – 6 ………………………..fungsi linear
 Jika y’ = 0,





x2 – 6x + 8 = 0
(x – 2)(x – 4) = 0  x1 = 2, x2 = 4
Untuk x1 = 2 dimasukkan pada persamaan kubik

maka y = 3.67 (2, 3.67)  titik ekstrim maksimum
Untuk x1 = 2 apabila dimasukkan dalam turunan
ke dua, maka y” = -2 < 0 (turunan kedua negatif )
Untuk x2 = 4 dimasukkan pada persamaan kubik

maka y = 2.33 (4, 2.33)  titik ekstrim minimum
Untuk x2 = 4 apabila dimasukkan dalam turunan
ke dua, maka y” = 2 > 0 (turunan kedua positif )
Jika y” = 0  2x – 6 = 0  x = 3, nilai x = 3
dimasukkan dalam persamaan kubik 
y
y’ = x2 – 6x + 8
8
y’’= 2x – 6
(2,3.67)
3.67
y = 1/3x3 – 3x2 + 8x + 3
(3,3)
(4,2.33)
y” = 2
2
0
-2
-4
-6
2
3
(3,-1)
4
x
 Fungsi Kubik y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y’ =
0
 Jika y” < 0 pada y’ = 0, maka titik ekstrimnya adalah
titik maksimum
 Jika y” > 0 pada y’ = 0, maka titik ekstrimnya adalah
titik minimum
 Fungsi kubik y = f(x) berada di titik belok pada y” = 0
Relationship between marginal-cost and averagecost
functions
 TC = C(Q)
total cost
 MC = C'(Q)
 AC = C(Q)/Q
marginal cost
average cost
d C Q  C Q   Q  1 C Q 

2
dQ Q
Q
1
C Q 
 C Q  

Q
Q 
1
 MC  AC  0
Q
C
MC
AC
Q
Penerapan lain :
 Elastisitas  dengan rumus umum :
lim y / y dy x
Ey


 
Ex x  0 x / x dx y