Transcript Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Ini Kuliah terbuka kali ini berjudul “Pilihan Topik Matematika -II”

Selamat Datang
Dalam Kuliah Terbuka Ini
1
Kuliah terbuka kali ini berjudul
“Pilihan Topik Matematika -II”
2
Disajikan oleh
Sudaryatno Sudirham
melalui
www.darpublic.com
3
Sesi 2
 Pangkat dari Fungsi, Fungsi Rasional,
Fungsi Parametrik, Fungsi Implisit
 Turunan Fungsi Trigonometri,
Trigonometri Inversi, Logaritmik,
Eksponensial
4
Fungsi Yang Merupakan Pangkat
dari suatu Fungsi
Contoh:
y1  v 6  v 3  v 2  v
2
3
dy1
3 2 dv
3 dv
2 dv
 (v v )
 (v v )
 (v v )
dx
dx
dx
dx

dv 
dv 2
5 dv
4  dv
3  2 dv
v
 v v
v v v
v

dx
dx
dx
dx
dx



dv
dv
dv
dv 
 dv
 v5
 2v 5
 v5
 v4 v
v 
dx
dx
dx
dx 
 dx
dv
 6v 5
dx
dv6 dv6 dv
dv
Contoh ini menunjukkan bahwa

 6v5
dx
dv dx
dx




dvn
dv
Secara Umum:
 nvn 1
dx
dx
5
Contoh:
y  ( x 2  1) 3 ( x 3  1) 2
Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian
dua fungsi dan pangkat suatu fungsi
3
2
2
3
dy
2
3 d ( x  1)
3
2 d ( x  1)
 ( x  1)
 ( x  1)
dx
dx
dx
 ( x 2  1) 3 2( x 3  1)(3 x 2 )  ( x 3  1) 2 3( x 2  1) 2 2 x
 6 x 2 ( x 2  1) 3 ( x 3  1)  6 x( x 3  1) 2 ( x 2  1) 2
 6 x( x 3  1)( x 2  1) 2 (2 x 3  x  1)
6
Fungsi Rasional
Fungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsi
y
v
w
atau
y  vw1
dy d  v  d (vw 1 )
dw 1
dv

v
 w 1
 
dx dx  w 
dx
dx
dx
dv
dv  v dv 1 dv
 vw  2
 w 1


2
dx
dx w dx w dx

1  dv
dw 
w v


2
dx
dx

w 
Jadi:
dw 
 dv
w

v


dx 
d  v   dx
 
dx  w 
w2
7
Contoh:
y
x2  3
dy

dx

x3
x 3 (2 x)  ( x 2  3)(3 x 2 )
x6
2 x 4  (3 x 4  9 x 2 )
x
Contoh:
Contoh:
6

 x2  9
x4
1
y  x2 
x2
dy
x 2  0  1 2x
2
 2x 
 2x 
dx
4
x3
y
x2 1
; dengan x 2  1 (agar penyebut tidak nol)
x2 1
dy ( x 2  1)2 x  ( x 2  1)2 x

dx
( x 2  1) 2

2x3  2x  2x3  2x
( x 2  1) 2

 4x
( x 2  1) 2
8
Fungsi Berpangkat Tidak Bulat
Bilangan tidak bulat n 
p
dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠ 0
q
yq  v p
y  vn  v p / q
qyq1
Jika y ≠ 0, kita dapatkan
 
y q 1  v p / q
q 1
dy
dv
 pv p1
dx
dx
dy d (v p / q ) pv p 1 dv


dx
dx
qy q 1 dx
(v adalah fungsi yang
bisa diturunkan)
 v p ( p / q) sehingga
dy d (v p / q )
pv p 1 dv p ( p 1) p ( p / q) dv


 v
p ( p / q ) dx
dx
dx
q
dx
qv
p
dv
 v ( p / q)1
q
dx
Formulasi ini mirip dengan keadaan jika n bulat,
hanya perlu persyaratan bahwa v ≠ 0 untuk p/q < 1.
9
Fungsi Parametrik dan
Kaidah Rantai
Apabila kita mempunyai persamaan
x  f (t )
dan
y  f (t )
maka relasi antara x dan y dapat dinyatakan dalam t. Persamaan
demikian disebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter.
Jika kita eliminasi t dari kedua persamaan di atas, kita dapatkan
persamaan yang berbentuk y  F (x)
Kaidah rantai
Jika y  F (x) dapat diturunkan terhadap x dan
x  f (t ) dapat diturunkan terhadap t,
maka y  F  f (t )   g (t ) dapat diturunkan terhadap t menjadi
dy dy dx

dt dx dt
10
Fungsi Implisit
Sebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk explisit
namun sebagian yang lain tidak.
Untuk fungsi yang dapat diubah dalam bentuk eksplisit, turunan
fungsi dapat dicari dengan cara seperti yang sudah kita pelajari di
atas.
Untuk mencari turunan fungsi yang tak dapat diubah ke dalam
bentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebut diferensiasi
implisit. Dalam cara ini kita menganggap bahwa fungsi y dapat
didiferensiasi terhadap x.
11
Contoh:
x 2  xy  y 2  8
Fungsi implisit ini merupakan sebuah persamaan.
Jika kita melakukan operasi matematis di ruas kiri,
maka operasi yang sama harus dilakukan pula di
ruas kanan agar kesamaan tetap terjaga. Kita lakukan
diferensiasi (cari turunan) di kedua ruas, dan kita
akan peroleh
dy
dy
dx
y
 2y
0
dx
dx
dx
dy
( x  2 y)
 2 x  y
dx
2x  x
Jika ( x  2 y )  0 kita peroleh turunan
dy
2x  y

dx
x  2y
12
Contoh:
x 4  4 xy 3  3 y 4  4
Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah
persamaan. Kita lakukan diferensiasi pada kedua
ruas, dan kita akan memperoleh
4
dy 3
3 d ( 4 x ) d (3 y )
4x  4x
y

0
dx
dx
dx
dy
dy
4 x 3  4 x(3 y 2 )
 4 y 3  12 y 3
0
dx
dx
3
Untuk ( xy 2  y 3 )  0 kita dapat memperoleh turunan
dy  ( x3  y3 )

dx 3( xy 2  y3 )
13
Turunan Fungsi Trigonometri
Jika
y  sin x maka
dy d sin x sin(x  x)  sin x


dx
dx
x
sin x cos x  cos x sin x  sin x

x
Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cosx = 1 dan sinx = x.
Oleh karena itu
d sin x
 cos x
dx
14
Jika
y  cos x maka
dy d cos x cos(x  x)  cos x


dx
dx
x
cos x cos x  sin x sin x  cos x

x
Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cosx = 1 dan sinx = x.
Oleh karena itu
d cos x
  sin x
dx
15
Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari.
d tan x d  sin x  cos2 x  sin x( sin x)
1
 

 sec2 x

dx
dx  cos x 
cos2 x
cos2 x
d cot x d  cos x   sin2 x  cos x(cos x)
1
 

  csc2 x

dx
dx  sin x 
sin2 x
sin2 x
d sec x d  1  0  ( sin x)
sin x


 sec x tan x


2
2
dx
dx  cos x 
cos x
cos x
d csc x d  1  0  (cos x)  cos x


  csc x cot x


2
2
dx
dx  sin x 
sin x
sin x
16
Contoh:
Hubungan antara tegangan kapasitor vC dan arus kapasitor iC adalah
iC  C
dvC
dt
Tegangan pada suatu kapasitor dengan kapasitansi C = 210-6 farad
merupakan fungsi sinus vC = 200sin400t volt. Arus yang mengalir pada
kapasitor ini adalah
iC  C
dvC
d
 2  106  200sin400t   0,160cos 400t ampere
dt
dt
vC
vC
iC
iC
200
100
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05 t [detik]
-100
-200
17
Contoh:
Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi
sinus iL = 0,2cos400t ampere.
Hubungan antara tegangan induktor vL dan arus induktor iL adalah
di
vL  L L
dt
di
d
vL  L L  2,5   0,2 cos 400t   2,5  0,2  sin 400t  400  200sin 400t
dt
dt
vL iL
vL
iL
200
100
0
-100
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
t[detik]
-200
18
Turunan Fungsi Trigonometri Inversi
y  sin1 x
x  sin y
dx  cos ydy
1
x
y
dy
1

dx cos y
dy
1

dx
1  x2
1  x2
y  cos1 x
x  cos y
1
y
1  x2
dx   sin ydy
dy
1

dx sin y
dy
1

dx
1  x2
x
19
y  tan1 x
x  tan y
1
dx 
dy
2
cos y
1 x2
y
x
dy
 cos2 y
dx
dy
1

dx 1  x 2
1
y  cot1 x
x  cot y
dx 
1
2
dy
sin y
1 x2
y
1
dy
  sin2 y
dx
dy
1

dx 1  x 2
x
20
y  sec1 x
x  sec y 
x
1
cos y
x2  1
y
1
1
x  csc y 
y  csc x
x
y
x 1
2
1
dx 
0  ( sin x)
2
dy
cos y

dy cos2 y
1 
x




dx
sin y
x 2  x 2  1 
1

x x2  1
1
sin y
dx 
0  (cos x)
2
dy
sin y
dy sin2 y
1



2
dx  cos y
x

x
x2  1
1
x x2  1
21
Fungsi Trigonometri dari Suatu Fungsi
Jika v = f(x), maka
d (sinv) d (sinv) dv
dv

 cosv
dx
dv dx
dx
d (cosv) d (cosv) dv
dv

  sinv
dx
dv dx
dx
d (tan v) d  sinv  cos2 x  sin2 x dv
dv
 
 sec2 v

dx
dx  cos v 
dx
dx
cos2 x
d (cot v) d  cos v 
2 dv


   csc v
dx
dx  sinv 
dx
d (secv) d  1  0  sinv dv
dv
 
 sec v tan v

dx
dx  cos v 
dx
cos2 v dx
d (cscv) d  1 
dv
 
   cscv cot v
dx
dx  sinv 
dx
22
Jika w = f(x), maka
d (sin1 w)
1
dw

dx
1  w2 dx
d (cos1 w)
1
dw

dx
1  w2 dx
d (tan1 w)
1 dw

dx
1  w2 dx
d (cot1 w)
1 dw

dx
1  w2 dx
d (sec1 w)
1
dw

dx
w w2  1 dx
d (csc1 w)
1
dw

dx
w w2  1 dx
23
Turunan Fungsi Logaritmik
Fungsi logaritmik f ( x)  ln x didefinisikan melalui suatu integral
y
f ( x)  ln x 
6
5
1/t
4
ln x 
3
x1
1 t
dt
x1
1 t dt
1
0
1
2
1/x
x
3
Tentang integral akan
dipelajari lebih lanjut
luas bidang yang dibatasi
oleh kurva (1/t) dan
sumbu-t, dalam selang
antara t = 1 dan t = x
2
0
( x  0)
4
x +Δx
ln(x+x)lnx
d ln x 1

dx
x
t
1/(x+Δx)
d ln x ln(x  x)  ln(x)
1 



dx
x
x 
x  x 1
x

dt 
t 
Luas bidang ini lebih kecil dari luas
persegi panjang (Δx  1/x). Namun jika Δx
makin kecil, luas bidang tersebut akan
makin mendekati (Δx  1/x); dan jika Δx
mendekati nol luas tersebut sama dengan
(Δx  1/x).
24
Turunan Fungsi Eksponensial
ln y  x ln e  x
y  ex
penurunan secara implisit di kedua sisi
d ln y 1 dy

1
dx
y dx
dy
 y  ex
dx
Jadi turunan dari ex adalah ex itu sendiri
atau
.
y  e x
Jika v  v(x)
1
y  etan x
y  e x
y  e x
dst.
dev dev dv
dv

 ev
dx
dv dx
dx
1
1
dy
e tan x
tan 1 x d tan x
e

dx
dx
1  x2
25
Diferensial dx dan dy
Turunan fungsi y(x) terhadap x dinyatakan dengan formulasi
dy
y
 lim
 f ( x)
dx x0 x
Sekarang kita akan melihat dx dan dy yang didefinisikan sedemikian
rupa sehingga rasio dy/dx , jika dx 0, sama dengan turunan fungsi y
terhadap x. Hal ini mudah dilakukan jika x adalah peubah bebas dan
y merupakan fungsi dari x: y  F (x)
dx dan dy didefinisikan sebagai berikut:
1). dx, yang disebut sebagai diferensial x, adalah bilangan nyata dan
merupakan peubah bebas lain selain x;
2). dy, yang disebut sebagai diferensial y, adalah fungsi dari x dan dx
yang dinyatakan dengan dy  F ' ( x)dx
26
Penjelasan secara grafis
y
dy
P
Ini adalah fungsi
(peubah tak bebas)
dy  F ' ( x)dx
dx

x
dy
 tan 
dx
Jika dx berubah, maka dy
dy berubah sedemikian rupa
sehingga dy/dx sama
dengan kemiringan garis
singgung pada kurva
y
P
Ini adalah
peubah bebas
dx

x
dy  (tan)dx
adalah laju perubahan y
terhadap perubahan x.
adalah besar perubahan nilai y
sepanjang garis singgung di
titik P pada kurva, jika nilai x
berubah sebesar dx
Diferensial dx dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke kanan” dan
negatif jika “mengarah ke kiri”.
Diferensial dy dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke atas” dan negatif
jika “mengarah ke bawah”.
y
y
y
dx
P
P
dy
dy
dx
dx
dy


x
x
P

x
27
Dengan pengertian diferensial seperti di atas, kita kumpulkan formula
turunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam tabel berikut.
Dalam tabel ini v adalah fungsi x.
Turunan Fungsi
Diferensial
dc
 0; c  konstan
dx
dc  0; c  konstan
dcv
dv
c
dx
dx
dcv cdv
d (v  w) dv dw


dx
dx dx
d (v  w)  dv  dw
dvw
dw
dv
v
w
dx
dx
dx
v
d   w dv  v dw
 w
dx
 dx
dx
w2
dv n
dv
 nv n 1
dx
dx
dcx n
 cnx n 1
dx
d (vw)  vdw  wdv
 v  wdv  vdw
d  
 w
w2
dv n  nv n1dv
d (cx n )  cnxn1dx
28
Ada dua cara untuk mencari diferensial suatu fungsi.
1).Mencari turunannya lebih dulu (kolom kiri tabel), kemudian
dikalikan dengan dx.
2). Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanan
tabel)
Contoh:
y  x 3  3x 2  5x  6
y   3x 2  6x  5
sehingga dy  (3x 2  6x  5)dx
Kita dapat pula mencari langsung dengan menggunakan
formula dalam tabel di atas
dy  d ( x 3 )  d (3x 2 )  d (5x)  d (6)  3x 2 dx  6 xdx  5dx
 (3x 2  6 x  5)dx
29
Kuliah Terbuka
Pilihan Topik Matematika II
Sesi 2
Sudaryatno Sudirham
30