Transcript TURUNAN PARSIAL - Indonesiaku Tercinta

TURUNAN PARSIAL
Dari www.pas-sman1bojonegoro.web.id/
Disuntung kembali oleh :
http://indonesiakutercinta.wordpress.com
http://facebook.com/akbarpathur/
Materi yang akan dibahas
• Definisi
• Deferensiasi
• Persoalan ekstrem fungsi variabel banyak
takterkendala dan yang terkendala
Dont forget to visit
http://indonesiakutercinta.wordpress.com
Pengertian Turunan Parsial
y
T = f(x,y)
x
Rata-rata perubahan suhu pelat
∆T per satuan panjang dalam
arah sumbu –y, sejauh ∆y, untuk
koordinat x tetap ;
f
f ( x, y  y )  f ( x, y )

y
y
Rata-rata perubahan suhu
pelat ∆T per satuan panjang
dalam arah sumbu –x, sejauh
∆x, untuk koordinat y tetap ;
f
f ( x  x, y )  f ( x, y )

x
x
Pengertian Turunan Parsial
Lazimnya perhitungan perubahan suhu per satuan panjang
dilakukan di setiap titik (x,y), ∆x →0 dan ∆y → 0 , jika
limitnya ada, maka
f
f ( x  x, y )  f ( x, y )
 lim
x ∆x →0
x
f
f ( x, y  y )  f ( x, y )
 lim
y ∆y → 0
y
f
f
dan
y
x
(1a)
(1b)
Menyatakan perubahan suhu per satuan panjang di setiap
titik dalam arah x , dan y
Pengertian Turunan Parsial
f
x
f
y
adalah turunan fungsi f(x,y) terhadap x dengan
memperlakukan y sebagai suatu tetapan, yang disebut
turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap x
adalah turunan fungsi f(x,y) terhadap x dengan
memperlakukan y sebagai suatu tetapan, yang disebut
turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap y
Lambang lain
f
= fx (x,y)
x
f
y
= fy (x,y)
Pengertian Turunan Parsial
Turunan parsial (1a) dan (1b) umumnya juga merupakan
fungsi dari x dan y, maka jika diturunkan lebih lanjut,
disebut turunan parsial kedua.
  f   2 f
   2  f xx
x  x  x
  f   2 f
   2  f yy
y  y  y
  f   2 f
  
 f yx
x  y  xy
Contoh 1
Misalkan f(x,y)=xy2 – sin (xy). Maka ..,
f
 2 xy  x cos(xy)
y
f
 y 2  y cos( xy )
x
2 f
  f 

2
2


y

y
cos(
xy
)

y
sin xy


2

x

x

x
x




  f  
   2 xy  x cos(xy)  2 y  cos xy  xy sin(xy)
x  y  x
  f   2
y  y cos(xy)  2 y  cos xy  xy sin(xy)
 
y  x  y


2 f
  f  
   (2 xy  x cos(xy))  2 x  x 2 sin xy

2
y  y  y
y
  f 
  f 

 


x  y  y  x 
Contoh 2
Tinjau pers. Gas ideal PV = nRT, dengan P,V, dan T berturut-turut adalah
tekanan, volume dan suhu gas ideal; sedangkan n adalah jumlah mol gas, dan
R suatu tetapan fisika, yaitu tetapan gas semesta (universal). Berikut kita akan
menganggap n tetap.
Jika kita pecahkan bagi P, diperoleh:
P
nRT
V
P nR

T V
dan
P
nRT
 2
V
V
Jika kita pecahkan bagi V, diperoleh:
V 
nRT
P
V
nR

T
P
dan
V
nRT

P
P2
Sehingga
P T V  nR  P  nRT 
nRT

 1

  2   
T V P  V  nR  P 
PV
Dont forget to visit
http://indonesiakutercinta.wordpress.com
DIFERENSIAL TOTAL
Yang lalu : perubahan fungsi f(x,y) terhadap pertambahan salah satu
variabelnya, x atau y.
Permasalahan : bagaimanakah perubahan fungsi f(x,y) bila x dan y
keduanya bertambah secara bebas ??
Misalkan fungsi f(x,y) mempunyai turunan parsial di (x,y). Pertambahan
fungsi f(x,y) jika x bertambah menjadi x + ∆x, dan y menjadi y + ∆y,
adalah
∆f = f(x + ∆x, y + ∆y) – f(x,y)
Jika ditambahkan dan dikurangkan f(x, y + ∆y) di ruas kanan, diperoleh :
∆f = [ f(x + ∆x, y+ ∆y) – f(x, y+ ∆y)] + [f(x, y+ ∆y) – f(x,y)]
Pertambahan x dalam fungsi f(x, y+ ∆y) dengan
mempertahankan y+ ∆y tetap
(*)
Teorema nilai rata-rata kalkulus
Jika f(x) memiliki turunan f’(x) pada setiap titik dalam
selang [x - ∆x, x+ ∆x], maka
[f(x+ ∆x)-f(x)]= f’(ξ) ∆x
Dengan ξ = x +  ∆x ( 0 <  < 1 ) sebuah titik dalam selang
[x - ∆x, x+ ∆x].
Dengan demikian,
[ f(x + ∆x, y+ ∆y) – f(x, y+ ∆y)] = fx( x + 1∆x, y + ∆y) ∆x
dengan 0 < 1 < 1
Dengan cara yang sama, untuk suku kedua pers.(*), menghasilkan
[f(x, y+ ∆y) – f(x,y)] = fy(x, y+2∆y) ∆y
dengan 0 < 2 < 1
Jika turunan parsial fx(x,y) dan fy(x,y) kontinu di (x,y), maka
fx(x + 1∆x, y + ∆y) = fx(x,y) + ε1
fy(x, y+2∆y)
= fy(x,y) + ε2
dengan lim ε1= 0 dan lim ε2 = 0 , bila ∆x dan ∆y menuju nol.
Pers.(*) teralihkan menjadi :
∆f = fx(x,y)∆x + fy(x,y)∆y + ε1∆x + ε2 ∆y
Dengan mengambil limit ∆x 0 dan ∆y0, diperoleh turunan total
fungsi f(x,y) :
df 
f
f
dx 
dy
x
y
Untuk f(x,y,z,... ) , turunan totalnya
df 
f
f
f
dx 
dy 
dz  ...
x
y
z
Contoh 3
Hitunglah diferensial total fungsi pada contoh 1
f(x,y)=xy2 – sin (xy).
Jawab.
fx = y2 – y cos (xy)
dan
fy = 2xy - x cos (xy)
Sehingga turunan totalnya :
df = (y2 – y cos (xy) )dx + (2xy - x cos (xy)dy
Contoh 4
Percepatan gravitasi g dapat ditentukan dari panjang l dan
periode T bandul matematis ; rumusnya adalah g = 4π2l/T2.
Tentukanlah kesalahan relatif terbesar dalam perhitungan g jika
kesalahan relatif dalam pengukuran l adalah 5 % dan T, 2 %.
Solusi :
Kesalahan relatif dalam pengukuran l adalah kesalahan
sebenarnya dalam pengukuran l dibagi dengan panjang terukur l.
Karena kita dapat mengukur l lebih besar atau kecil daripada l
sesungguhnya, maka kesalahan relatif terbesar dl/l mungkin -0,05
atau 0,05. Begitupula │dT/T│ terbesar adalah 0,02. Bagaimana
dengan │dg/g│ ???
g = 4π2l/T2
ln g = ln(4π2) + ln l – ln T2
atau
dg
dl
dT

2
g
l
T
Menurut ketidaksamaan segitiga :
dg
dl
dT

2
g
l
T
maka, kesalahan relatif terbesar │dg/g│ adalah
│dg/g│= 0,05 + 2 (0,02) = 0,09
Aturan Berantai
z = f (x,y ) : persamaan permukaan S dalam ruang. Jika
variabel x dan y berubah sepanjang kurva C sebarang, dengan
persamaan parameternya :
x = x (s),
maka
dan
y = y(s)
s sebagai parameter
z = f(x(s), y(s)) = z (s)
Sehingga sepanjang kurva C
dx
ds,
ds
dy
dy 
ds,
ds
dz
dz 
ds
ds
dx 
dz f dx f dy


ds x ds y ds
Kasus khusus :
z = f(x, y) ; y = f(x) ;
x bebas
dz
f
f dy


ds
x
y ds
Secara umum untuk n > 2 variabel,
dengan x = x ( u, v, w, . . . )
y = y ( u, v, w, . . . )
z = z ( u, v, w, . . . )
df 
f
f
f
dx 
dy 
dz  ...
x
y
z
f = f(x, y, z, . . . )
Karena masing-masing variabel x, y, z, . . . adalah juga fungsi
dari u, v, w, . . . , maka ;
dx 
x
x
x
du 
dv 
dw  ...
u
v
w
dy 
y
y
y
du 
dv 
dw  ...
u
v
w
dz 
z
z
z
du 
dv 
dw  ...
u
v
w
Sehingga, turunan total fungsi f(x,y,z,...) adalah
 f x f y f z

 f x f y f z

df  


 ...du  


 ...dv  ...
 x u y u z u

 x v y v z v

Contoh 5.
Jika f = x2 + 2xy – y ln z, dengan x = u + v2, y = u – v2, dan z = 2u,
tentukanlah f , dan f
u
v
Solusi :
f
f x f y f z



u x u y u z u
=(2x + 2y)(1) + (2x –ln z)(1) + (-y/z)(2)
= 4x + 2y – ln z – 2y/z
f
f x f y f z



v
x v y v
z v
= (2x + 2y)(2v) + (2x – ln z)(-2v) + (-y/z)(0)
= 4vy + 2v ln z
Dont forget to visit
http://indonesiakutercinta.wordpress.com
FUNGSI IMPLISIT
Bentuk eksplisit ,
y = f(x)
Bentuk implisit , φ(x, y) = 0,


d 
dx 
dy
x
y
dy/dx = ???
dy
( / x)

dx
( / y)
asalkan   0
x
Secara geometris, fungsi implisit φ(x, y) = 0 menyatakan
sebuah kurva pada bidang xy, dan dy/dx menyatakan

kemiringan garis singgungnya di titik dimana y  0
Contoh 6
Tentukanlah kemiringan garis singgung pada kurva
x2 + 2y2 – 4xy + 7x =3 di titik (1, -1)
Solusi :
φ(x, y) = ( x2 + 2y2 – 4xy + 7x -3 ) = 0
Turunan parsial φ(x, y) terhadap x dan y :

 ( 2 x  4 y  7)
x
di titik (1, -1) :

 (4 y  4 x)
y
di titik (1, -1) :

 13
x

y
 8
Kemiringan kurva di titik (1 , -1 ) adalah :
dy
( / x)
( 2 x  4 y  7) 


 13 / 8

dx
( / y )
( 4 y  4 x)  (1, 1)
Untuk fungsi implisit dalam tiga atau lebih variabel x, y, z, ...,
yaitu φ(x, y, z, . . . ) = 0,
d 
Jika



dx 
dy 
dz  ...  0
x
y
z

0
z
, pemecahan bagi dz :
 


dz  
dx 
dy  ... /( / z )
y
 x

z
( / x)

x
( / z )
z
( / y )

y
( / z )
Contoh 7
Tentukan z / x dan z / y dari persamaan x2 + y2 + z2 - 1 =0
Solusi :
φ(x, y, z) = x2 + y2 + z2 - 1 =0

 2x
x

 2y
y
Dengan demikian :
z
x

x
z
z
y

y
z

 2z
z
Jika z = 0, sepanjang
lingkaran x2 + y2 = 1,
kedua turunan parsial ini
takterdifinisikan.
PENERAPAN DALAM TERMODINAMIKA
Hukum Pertama Termodinamika
“Jika pada sebuah sistem yang berinteraksi secara termal dengan lingkungan
melakukan usaha terhadap lingkungan sebesar δW, maka sistem tersebut akan
mengalami pertambahan energi dalam dU, dan menerima atau melepas kalor
sebanyak δQ, menurut hubungan
δQ = dU + δW”
δQ dan δW untuk membedakan bahwa pertambahan kalor, dan usaha
bergantung pada jenis proses, sedangkan dU menyatakan diferensial total
energi dalam sistem.
Untuk sistem gas, keadaan sistem ditentukan P,V, dan T melalui pers. keadaan
F(P, V, T) = 0
Gas ideal : PV = nRT dan umumnya U (T, V), sedangkan δW = P dV
Hukum Termodinamika Kedua
“Bagi proses irreversibel (terbalikkan ), kalor δQ = TdS, dengan S adalah
entropi “
Hukum pertama termodinamika :
T dS = dU + P dV, atau dU = - TdS + P dV
Tampak bahwa U = U(S, V)
 U 

  T
 S 
 U 

P

V


 U 
 U 
dU  
dS  
dV

S

V




  U    U 




V  S  S  V 

T P

V S
  U 
T


V  S 
V
  U  P


S  V  S
Relasi Maxwell besaranbesaran termodinamika
Dengan cara yang sama, tunjukkan relasi Maxwell berikut:
T V

P S
S P

;
V T
S V

P T
Dont forget to visit
http://indonesiakutercinta.wordpress.com