Transcript Aplikasi turunan - yuliakurniasih30

A P L I K A S I
T U R U N A N
Disusun oleh :
1. Lintang Chandra D.
2. Nastiti Dyah P.
3. Safira Fadhilah P.
4. Yulia Kurniasih
SMA NEGERI 4 SURAKARTA
XI – A4 / 16
XI – A4 / 19
XI – A4 / 28
XI - A4 / 31
APLIKASI TURUNAN
Sains (Fisika)
• Gerak lurus
Matematika
berubah
Teknik
• Menyelesaikan beraturan
• Membantu limit
(GLBB)
programer • Persamaan
meliputi
garis singgung Kecepatan
dalam
pembuatan
dan
aplikasi dari
Percepatan
mesin – mesin
Ekonomi
• Biaya
minimum
dan laba
maksimum
Aplikasi turunan yang akan dibahas meliputi :
Matematika
1. Aplikasi Turunan untuk Menentukan Limit Tak
Tentu
2. Aplikasi Turunan untuk Menentukan Persamaan
Garis Singgung Kurva
Sains (Fisika)
3. Aplikasi Turunan dalam Perhitungan
Kecepatan dan Percepatan
Ekonomi
4. Aplikasi Turunan untuk Menentukan Maksimum
dan Minimum
1. Aplikasi Turunan untuk Menentukan Limit Tak Tentu
Limit-limit yang mempunyai bentuk-bentuk tak tentu dapat
diselesaikan dengan aturan L’ Hospital. Bentuk-bentuk tak tentu
yang dimaksud adalah dan .
Apabila f(x) dan g(x) memiliki turunan di x = a dan f(a) =
g(a) = 0, sedangkan f’(a) dan g’(a) tidak nol , maka berlaku
2. Aplikasi Turunan untuk Menentukan Persamaan Garis
Singgung Kurva
Turunan pertama suatu fungsi
merupakan gradien persamaan garis
singgung pada suatu titik tertentu.
Apabila suatu gradien persamaan
garis singgung f(x) di titik (a, b)
diketahui, maka dapat dicari
persamaan garis singgungnya.
Persamaan garis di titik (a, b) dan bergradien m adalah
y – b = m(x – a)
Karena m = f’(a), persamaannya dapat dirumuskan menjadi
y – b = f’(a) (x – a)
Garis Normal
Garis normal adalah garis
yang tegak lurus dengan
garis singgung.
Persamaan garis normal
di titik (x0 , y0) adalah
y – y0 = - m1 (x – x0)
Sub-Normal, Sub-Tangen
Subtangen = QR
Subnormal = RS
Panjang Garis Singgung = PQ
Panjang Garis Normal = PS
PR
m=tg= QR
y
Panjang Subtangen = QR = |m0 |
Panjang Subnormal = RS = |my0|
Contoh Soal dan Pembahasannya
Tentukan persamaan garis singgung dari y = x3 - 2x2 - 5
pada titik (3,2).
Jawab :
y=f(x)= x3-2x2-5
y=f(x)=3x2-4x f ’(3) = 3(3)2 - 4(3) = 15 ; m = 15.
Rumus pers. Garis singgung :
y-yo = m (x-xo)
Maka garis singgung fungsi diatas adalah :
y – 2 = 15 (x – 3) atau y = 15x – 43
3. Aplikasi Turunan dalam Perhitungan Kecepatan dan
Percepatan
Dalam bidang fisika dibahas mengenai gerak lurus berubah
beraturan, yang berarti bahwa kecepatan benda selama
bergerak tidaklah tetap. Misalnya benda bergerak menempuh
jarak s dalam waktu t. Kecepatan rata-rata dapat ditentukan
dengan
Kecepatan rata-rata =
=
Jika kecepatan pada saat t dinotasikan dengan v(t) maka
kecepatan dirumuskan dengan
v(t) =
Jika fungsi kecepatan terhadap waktu v(t) diturunkan lagi
maka akan diperoleh percepatan
a(t) =
Dengan kata lain, percepatan pada waktu t adalah turunan
pertama dari fungsi kecepatan. Percepatan juga diartikan
sebagai turunan kedua dari fungsi jaraknya yaitu
a(t) =
=
(
)=
= s”t
Aplikasi turunan dalam bidang fisika digunakan untuk
menurunkan suatu rumus
Berikut contoh penerapan turunan dalam fisika :
1. Momentum Sudut
Didefinisikan l = r x p (p = mv). Besarnya momentum
sudut : l = r p sin . Rumusan ini dapat diubah menjadi : l = r
(p sin) = r p atau l = p (r sin) = p r .
Dari definisi momentum sudut l = r x p, bila
dideferensialkan diperoleh :
dl/dt = d (r x p)/dt
dl/dt = (r x dp/dt) + (dr/dt x p)
dl/dt = (r x F) + (v x mv)
dl/dt = 
dp/dt = F
2. Torsi
Sebuah benda berotasi dengan sumbu putar adalah
sumbu z. Sebuah gaya F bekerja pada salah satu partikel di
titik P pada benda tersebut. Torsi yang bekerja pada partikel
tersebut adalah :
=rxF
Arah torsi  searah dengan sumbu z. Setelah selang
waktu dt partikel telah berputar menempuh sudut d dan
jarak yang ditempuh partikel ds, dimana ds = r d. Usaha
yang dilakukan gaya F untuk gerak rotasi ini
dW = F . ds
dW = F cos  ds
dW = (F cos ) (r d)
dW =  d
dW = F . ds
Laju usaha yang dilakukan (daya) adalah :
dW/dt =  d/dt
P=
P=Fv
Untuk benda yang benar-benar tegar, tidak ada disipasi
tenaga, sehingga laju dilakukannya usaha pada benda tegar
tersebut sama dengan laju pertambahan tenaga kinetik
rotasinya.
dW/dt = dK/dt
dW/dt = d(1/2 I 2)/dt
  = 1/2 I d2/dt
  = I d/dt
  = I 
 =I
F=ma
Contoh Soal dan Pembahasannya
Posisi partikel ditunjukkan oleh persamaan s=f(t)=t3-6t2+9t (t
dalam detik dan s dalam meter). Tentukan :
a. Kecepatan pada waktu t?
b. Kecepatan setelah 2 detik?
c. Kapan partikel berhenti?
d. Kapan partikel bergerak maju ?
Jawab :
a. Fungsi kecepatan adalah turunan dari fungsi posisi.
s=f(t)=t3-6t2+9t
v(t)= =3t2-12t+9
Contoh Soal dan Pembahasannya
b. Kecepatan setelah 2 detik bermakna sebagai kecepatan
sesaat pada t=2
v(t)= =3t2-12t+9
v(2)= 3(2)2-12(2)+9=-3m/dt
c. Partikel berhenti jika v(t)=0
v(t)= 3t2-12t+9=0
3t2-12t+9
3(t2-4t+3)
3(t-1)(t-3)=0
 t1=1 dan t2=3 Partikel berhenti setelah t=1 atau t=3
Contoh Soal dan Pembahasannya
d. Partikel bergerak maju (dalam arah positif) jika v(t)>0
3t2-12t+9=3(t-1)(t-3)>0
 Partikel bergerak maju jika
t<1 atau t>3 (dari mana ?)
 Partikel bergerak mundur jika
1<t<3
4. Aplikasi Turunan Menentukan Maksimum dan
Minimum
Pada bidang ekonomi fungsi turunan dipakai untuk mencari
biaya marjinal, yaitu dengan cara menurunkannya dari
persamaan biaya total.
Misal C(x) adalah biaya total yang dikeluarkan sebuah
perusahaan untuk menghasilkan x satuan barang tertentu. Fungsi
C disebut sebagai fungsi biaya. Jika banyakya barang yang
dihasilkan bertambah dari x1 menjadi x2, biaya tambahan =
=C(x2) - C(x1).
Laju perubahan rata-rata biaya :
Limit besaran ini ketika x 0 disebut laju perubahan sesaat
biaya, terhadap banyaknya barang yang dihasilkan.
Oleh para ekonom disebut dengan biaya marjinal.
Biaya Marjinal =
Penerapan Konsep Turunan Parsial (1 Variabel) Dalam
Ekonomi
1. Elastisitas
Bentuk umum :
η =
= lim = y′ .
a. Elastisitas Permintaan
Rasio antara persentase perubahan jumlah barang yang
diminta terhadap persentase perubahan harga. Jika Qd =
f(P) maka elastisitas permintaannya :
ηd =
=
= lim = Q′d .
b. Elastisitas Penawaran
Rasio antara persentase perubahan jumlah barang yang
ditawarkan terhadap persentase perubahan harga. Jika Qs =
f(P) maka elastisitas penawarannya :
ηs =
=
= lim = Q′s .
c. Elastisitas Produksi
Rasio antara persentase perubahan jumlah keluaran
terhadap persentase perubahan jumlah masukan). Jika P =
jumlah produk yang dihasilkan & X = jumlah faktor produksi
yang digunakan, dan fungsi produksi P = f(X) maka elastisitas
produksinya :
ηp =
=
= lim = P′ .
2. Penerimaan marginal, Utilitas marginal, dan Produk marginal
a. Penerimaan Marginal
Penerimaan
tambahan
yang
diperoleh
akibat
bertambahnya satu unit keluaran yang diproduksi (terjual).
Fungsi penerimaan marginal adalah turunan pertama dari
fungsi penerimaan total. Jika fungsi penerimaan total adalah
R = f(Q) maka penerimaan marginalnya :
MR = R′
b. Utilitas Marginal
Utilitas tambahan yang diperoleh konsumen akibat
bertambahnya satu unit barang yang dikonsumsi. Fungsi utilitas
marginal adalah turunan pertama dari fungsi utilitas total. Jika
fungsi utilitas total adalah U = f(Q) maka utilitas marginalnya :
MU = U′
Contoh Soal dan Pembahasannya
1. Perusahaan menaksir biaya memproduksi x unit barang
(dalam USD) adalah : C(x)=10.000+5x+0,01x2 .
a. Tulisakan biaya marginalnya!
b. Berapakah biaya marginalnya untuk 500 unit?
Jawab :
a. Maka fungsi biaya marjinalnya adalah C’(x)=5+0,02x
b. Biaya marjinal untuk tingkat produksi 500 unit adalah :
C’(x)=5+0,02x
C’(500)=5+0,02(500)
=USD 15/unit
Contoh Soal dan Pembahasannya
2. Sebuah perusahaan mempunyai biaya 3200 + 3,25x –
0,0003x2 dengan jumlah persatuan x=1000. Tentukan biaya ratarata dan biaya marjinal?
Jawab :
Biaya rata-rata = C(x)/x = 3200+3,25x-0,0003x2 / X
= 3200+3,25 (1000)-0,0003(1000)2 / 1000
= 6150 / 1000 = 6,15
Maka biaya rata-rata persatuan yaitu 6,15 x 1000 = Rp.6150
Biaya marjinal = dc/dx
= 3,25-0,0006x = 3,25-0.0006 (1000) = 2,65
Maka biaya marjinalnya, 2,65 x 1000 = Rp.2650 pada x=1000
Dari hasil di atas, dibutuhkan Rp.6150 untuk memproduksi 1000
barang pertama dan membutuhkan Rp. 2,65 untuk membuat 1
barang setelah barang yang ke 1000, hanya dibutuhkan Rp. 2650
untuk membuat 1000 barang yang sama.
Contoh Soal dan Pembahasannya
3. Jumlah dua bilangan adalah 75. Tentukan kedua bilangan itu
agar hasil perkaliannya maksimum.
Jawab :
Misalnya kedua bilangan itu adalah x dan y dan hasil kalinya P.
Berdasarkan soal itu, maka
x + y = 75 = 75 – y
P = xy P = (75-y)y
P= 75y – y2
Kemudian akan kita cari nilai ekstremnya dengan menyatakan
turunan fungsi P dengan nol.
Contoh Soal dan Pembahasannya
0. 75 – 2y = 0
2y = 75
y = 37,5
Jadi, diperloleh nilai x = 75 – y = 75 – 37,5 = 37,5
Dengan demikian, untuk x = 37,5 dan y = 37,5, diperoleh hasil
perkalian yang maksimum.
Contoh Soal dan Pembahasannya
4. Diketahui suatu persegi panjang dengan keliling 200 cm.
Tentukan berapa ukuran panjang dan lebar yang maksimum.
Jawab :
K = 2p + 2l
200 = 2p + 2l
 p = 100 – l
Luasnya L=pl = (100-l)l = 100l – l2
Selanjutnya dicari nilai ekstremnya dengan L = 0
100 – 2l = 0  I = 50
 p = 100 – l = 100 – 50 = 50 maka p=l=50 cm