Transcript 6.6 Momen, Pusat Massa 6.6. Momen, pusat massa m1 d1 d1 m2 Titik tumpu Gambar 1 m1 x1 Gambar 2 m2 x2

6.6
Momen, Pusat Massa
6.6. Momen, pusat massa
m1
d1
d1
m2
Titik tumpu
Gambar 1
m1
x1
Gambar 2
m2
0
x2
6.6. Momen, pusat massa
• Misalkan dua massa berukuran m1 dan m2 diletakan
pada papan kesetimbangan dan berjarak d1 dan d2 dari
titik tumpu pada bagian-bagian berlawanan
terhadapnya. Papan tersebut hanya setimbang jika
d1m1=d2m2.
• Model matematis diperoleh dengan cara meletakan
ulang papan penyangga dengan suatu sistem koordinat
datar yang titik asalnya berada dititik tumpu.
Maka koordinat x1 dari m1 adalah x1=-d1, koordinat m2
adalah x2=d2 dan kondisi kesetimbangan adalah
x1m1 + x2m2 = 0
6.6. Momen, pusat massa
• Hasil kali massa m suatu partikel dengan jarak
berarahnya dari suatu titik (lengan tuas)
dinamakan momen partikel terhadap titik
tersebut (gambar 3)
• Momen ini mengukur kecenderungan massa
untuk menghasilkan suatu putaran pada titik
tersebut.
• Syarat agar dua massa sepanjang suatu garis
setimbang pada sebuah titik pada garis tersebut
adalah jumlah momen-momennya terhadap titik
itu sama dengan nol.
6.6. Momen, pusat massa
m
x
Momen = (lengan tuas).(massa)
M
= xm
Gambar 3
6.6. Momen, pusat massa
• Jumlah momen M (terhadap titik asal) suatu
sistem yang terdiri atas n massa berukuran m1,
m2, …, mn yang berada pada x1, x2, …, xn
sepanjang sumbu x adalah jumlah momen
masing-masing massa, yakni :
x m
M = x1m1 + x2m2 + … + xnmn =
• Syarat kesetimbangan di titik asal adalah M=0
n
i 1
i
i
6.6. Momen, pusat massa
• Pertanyaan.
• Berapakah koordinat x dari titik tempat titik
tumpu seharusnya diletakan agar sistim dalam
gambar 4. setimbang?
m1
m2
x1
Gambar 4
x2
0
m3
m4
x3
x4
mn-1 mn
xn-1
xn
6.6. Momen, pusat massa
• Misalkan koordinat yang diinginkan adalah x .
Jumlah momen terhadap titik ini adalah nol, yakni
x  xm  x  xm  ... x  xm  0
atau
1
1
2
2
n
n
x1m1  x2m2  ... xnmn  xm1 xm2 ... xmn
Jadi,
n
M
x

n
xm
i 1
n
x
i
m
i 1
Titik
i
i
dinamakan pusat massa.
6.6. Momen, pusat massa
• Contoh 1. Massa sebesar 4, 2, 6, dan 7
kilogram masing-masing diletakkan pada titiktitik 0, 1, 2, dan 4, sepanjang sumbu-x
(gambar 5). Carilah pusat massanya.
4
0
x
7
6
2
1
2
3
4
04  12  26  47   42  2,21
4267
19
6.6. Momen, pusat massa
• Distribusi Massa yang kontinu sepanjang garis
Perhatikan sepotong kawat lurus tipis dengan
kepadatan (massa tiap satuan panjang) yang bervariasi.
Pada kawat terbut kita akan mencari kesetimbangan.
Kita tetapkan suatu garis koordinat sepanjang kawat
dan andaikan kepadatan di x adalah (x).
Dengan mengikuti prosedur baku (iris, hampiri,
integrasikan), kita dapat jumlah massa m dan
kemudian jumlah momen M terhadap titik asal,
dengan rumus
b
M
x

m
 x x dx
a
b
  x dx
a
6.6. Momen, pusat massa
x

0
b
a
x
m    x x
b
m     x dx
a
Gambar 6
M  x  x x
b
M     x dx
a
6.6. Momen, pusat massa
• Contoh 2. Kepadatan (x) sepotong kawat
yang terletak x sentimeter dari salah satu
ujungnya adalah (x)=3x2 gram/sentimeter.
Tentukan pusat massa kawat antara x=0 dan
x=10.
0
10
10
 x.3x dx  
x

2
0
10
 3x dx
2
0
10
3x2
4 0
3 10
x 
0

7500
 7,5cm
1000
6.6. Momen, pusat massa
• Distribusi massa pada bidang
Perhatikan n titik massa m1, m2, …, mn yang terletak
pada titik-titik (x1,y1), (x2,y2), …, (xn,yn) dalam bidang
koordinat. Maka momen total My dan Mx masingmasing terhadap sumbu y dan sumbu x diberikan oleh
n
M y   xi mi
i 1
n
M x   yi mi
i 1
Koordinat-koordinat x, y dari pusat massa (titik
kesetimbangan) adalah
n
x
My
m

 xi mi
i 1
n
m
i 1
i
n
M
y x 
m
ym
i 1
n
i
i
m
i 1
i
6.6. Momen, pusat massa
• Pusat massa suatu lamina (lempeng rata lapis
tipis) homogen
Lamina mempunyai kepadatan massa 
konstan.
Untuk lempeng segiempat homogen, pusat
massa berada pada pusat berada pada pusat
geometrinya.
6.6. Momen, pusat massa
• Tinjaulah lamina homogen yang dibatasi oleh x=a,
x=b, y=f(x) dan y=g(x), dengan g(x)≤f(x). Irislah
lamina ini menjadi jalur-jalur pendek yang sejajar
dengan sumbu-y, karena itu dapat dianggap
berbentuk segiempat, dan bayangkan massa
masing-masing jalur terpusat pada pusat
geometrinya. Kemudian hampiri dan
integrasikan.
• Kita dapat menghitung x, y
b
x
 x f x   g x dx
a
b
  f x   g x dx
a
 x f x   g x  dx
b
1
2
y
2
2
a
b
  f x   g x dx
a