Transcript Momentum Sudut

BAB. 6
(Impuls dan Momentum)
4/12/2015
1
A. Pengertian (Konsep).
Momentum sudut (L), besaran vektor.
Partikel massa m berada pada posisi r (dalam
sistem koordinat tertentu), memiliki momentum p.
Momentum sudut partikel
(L) diacukan terhadap 0 didefinisikan sebagai:
m
r
p
0
L = r x p
= m (r x v)
L  r
dan
L  p
Satuan L adalah kg m2 s-1, dimensi [M L2 T-1].
4/12/2015
2
B. Momentum Sudut (Sistem Koordinat Kartesian)
r  xi  y j z k
p  p x i  py j  p z k
 L  r p
Lx  ( y pz  z p y )
Ly  ( z px  x pz )  L  Lx i  Ly j  Lz k
Lz  ( x p y  y px )
4/12/2015
3
Jika gerak benda dalam bidang (x , y) z = 0
 (berarti pz = 0).
Akhirnya nilai, Lx = Ly = 0.
Tetapi komponen Lz  0, [artinya ada L tegak lurus
bidang (x ; y)].
4/12/2015
4
C. Momen Gaya (Perubahan L terhadap t).
Besaran L mengalami perubahan setiap saat
sehingga diperoleh persm,
dL
d
dr
dp
 r  p  
p  r 
dt
dt
dt
dt
dr
 p  0, vektor searah (nilai sinus sudut apit  0)
dt
dL
dp
Akhirnya ,
 r 
 r  F ,(gaya luar)
dt
dt
Pernyataan r x F disebut momen gaya ().
 = r x Fext.
4/12/2015
5
ΔL  terhadap waktu (momen gaya) diberikan oleh:
dL
dp
r
dt
dt
Analog dengan
dL
 r  FEXT
dt
FEXT
dp

!!
dt
Akhirnya kita peroleh:  EXT
4/12/2015
dL

dt
6
Bab 6-6
F  Fx i  Fy j  Fz k
r  xi  y j z k
 τ  rF
  x  y Fz  z Fy 
τ   x i   y j   z k   y  z Fx  x Fz 
  z  x Fy  y Fx 
4/12/2015
7
Contoh.
Benda m = 6 kg berposisi (vektor), r = (3 t2 – 6
t) i – 4 t3 j + (3 t + 2) k, satuan posisi r dinyatakan dalam meter dan t dalam detik.
Hitunglah: a. F yang bekerja pada partikel tersebut !
b. p dan L.
c. momen putar terhadap titik 0
d. periksalah momen gaya lewat
persm r x F dengan dL/dt.
Penyelesaian.
Jika posisi, r = (3 t2 – 6 t) i – 4 t3 j + (3 t + 2) k.
Kecepatan, v = (6 t – 6) i – 12 t2 j + 3 k.
4/12/2015
8
Kecepatan, a = 6 i – 24 t j.
a.F yang bekerja pada benda, F = m a maka,
F = 6 kg (6 i – 24 t j)
F = 36 i - 144 t j
b. p yang bekerja pada benda, p = m v maka,
p = 6 kg (6 t – 6) i – 12 t2 j + 3 k)
p = (36 t – 36) i – 72 t2 j + 18 k
b. p sudut dari benda, L = r x p jika,
L = Lx i + Ly j + Lz k maka
Lx = y pz - z py = (- 4 t3)(18) - (3 t + 2)(- 72 t2)
= 144 (t3 + t2)
Ly = z px - x pz = (3 t + 2)(36 t - 36) - (3 t2 – 6 t) 18
= 54 t2 + 72 t - 72
4/12/2015
9
Lz = x py - y px
= (3 t2 – 6 t)(-72 t2) - (- 4 t3)(36 t - 36)
= - 72 t4 + 288 t3
L = 144 (t3 + t2) i + (54 t2 + 72 t - 72) j - (72 t4
- 288 t3) k
c. Momen gaya, r × F = 
 = [(3 t2 - 6 t) i - 4 t3 j + (3 t + 2) k]
× (36 i - 144 t j)
= [(- 4 t3)(0) - (3 t + 2)(-144 t)] i
+ [(3 t + 2)(36) - (3 t2 – 6 t)(0)] j
+ [(3 t2 – 6 t)(-144 t) - (- 4 t3)(36)] k
4/12/2015
10
= 144 (3 t2 + 2 t) i
+ 36 (3 t + 2) j
- 288 (t3 – 3 t2) k
d. Momen putar (dL/dt) = 144 (3 t2 + 2 t) i
+ 36 (3 t + 2) j
- 288 (t3 – 3 t2) k
Bandingkan hasil antara r × F dengan (dL/dt),
ternyata sama.
4/12/2015
11
Contoh.
Carilah momen F dan L terhadap 0 dari peluru
(massa m) yang ditembakan mendatar dengan kecepatan awal vo dari puncak bangunan !
Penyelesaian.
vo
0
A
y
P
x
FN
mg
gt
4/12/2015
FT
vo
v
Misal setelah t detik benda
berada di titik P. Selanjutnya x = 0A = vo t dan
y = AP = - ½ g t2. Komponen v P, vx = vo dan vy =
- g t. p dinyatakan sebagai p = m v.
12
Lz = x py - y px = m (x vy - y vx)
= m [(vo t)(- g t) - (- ½ g t2)(vo)
= - ½ m g vo t2
Komponen F pada P, Fx = 0 dan Fy = - m g sehingga momen F.
Dihasilkan z = x Fy - y Fx
= [(vo t)(- m g) - (- ½ g t2)(0)
= - m g vo t.
Pernyataan momen dapat pula diperiksa,
d
d 1
2
Lz    z    m g vo t    m g vo t
dt
dt  2

4/12/2015
13
Contoh.
Bola bermassa m dilempar dengan sudut elevasi 
dan dengan kecepatan awal v. Hitung L bola pada
titik tertinggi terhadap titik awal !
Penyelesaian.
H
v
r
0

h
vx
Pada titik tertinggi H
vx = v cos  i
v 2 sin 2 
h
2g
pH = m v cos  i
R
r = ½ R i + h j,  L = r x p
4/12/2015
14
L = (½ R i + h j) x m v cos  i
= - h m v cos  k
m v sin  cos
L
k
2g
3
4/12/2015
2
15
2. L ,(Koordinat Kutub)
Besaran fisika umumnya berubah, dalam besar
(nilai) dan arah.
Dalam gerak melingkar r dan v saling tegak lurus (L searah ω) sehingga L = m r v = m r2 .
Besaran v dinyatakan dalam koordinat kutub,
bentuknya menjadi,
dr
d
ˆ
v  rˆ  r
dt
dt
4/12/2015
d 
 dr
ˆ
L  r  m v  r  m  rˆ  r

dt 
 dt
16
dr
r  rˆ , adalah vek tor searah hasilnya nol.
dt
d 
d
 dr
ˆ
ˆ
Hasil dari, L  r  m  rˆ  r
.
  r  m r
 dt
Dengan demikian,
dt 
dt
dL
dt
dL d 
d 
ˆ
  r  m r

dt dt 
dt 
dr
d
dr ˆ d
ˆ

 m r
rm 
dt
dt
dt dt
2
dˆ d
d

ˆ
rmr
 r  m r 2
dt dt
dt
4/12/2015
17
dL
d
dˆ
hasilnyamenjadi
, sehingga
  rˆ
Besaran
dt
dt
dt
 
2

dL
d  dr ˆ 
dr d
d 
mr
 m r 2  r  ˆ
      m
dt
dt  dt
dt 
  dt dt
4/12/2015
18
Hukum Kekekalan Momentum
Linear, jika Σ F = 0, maka p konstan.
Rotasi, jika Σ  = 0, maka L konstan.
4/12/2015
19
Bab 6-19
Contoh.
4/12/2015
20
4/12/2015
21
4/12/2015
22
4/12/2015
23
Momentum Sudut: Defenisi & Penurunan
Untuk gerak linear sistem partikel berlaku p = mv
FEXT
dp

dt
Momentum kekal jika FEXT  0
Bagaimana dengan gerak rotasi ?
Untuk rotasi, analog gaya F adalah torsi
 r F
analog momentum p adalah
momentum sudut ,
L r p
4/12/2015
24
Hukum kekekalan momentum sudut
 EXT 
dL
 EXT  r  FEXT
dimana
L
=
r
x
p
dan
dt
Jika torsi resultan = nol, maka
 EXT
Hukum kekekalan momentum sudut
4/12/2015
dL

0
dt
I11  I22
25
4/12/2015
26