Transcript METODE NUMERIK MENGHITUNG KESALAHAN Jenis Kesalahan   Kesalahan Pemotongan (Truncation of Error) Kesalahan Pembulatan (Round of Error)

METODE NUMERIK
MENGHITUNG KESALAHAN
Jenis Kesalahan


Kesalahan Pemotongan (Truncation of Error)
Kesalahan Pembulatan (Round of Error)
Kesalahan Pemotongan

Kesalahan yang disebabkan adanya
pemotongan pembatasan pada prosedur
matematis yang tidak berhingga (infinite
mathemathics) menjadi berhingga (finite
mathemathics)
Prosentase Kesalahan

Kesalahan sebenarnya

Mengacu pada nilai analitis (nilai sebenarnya)
εt 

nilai_pend
ekatan nilai_s ebe
narnya
x1 0 0 %
nilai_s ebe
narnya
Kesalahan aproksimasi

Digunakan jika nilai analitis tidak diketahui
aproks imas
i_s ekarang aproks imas
i_s ebelumn
ya
εa 
x1 0 0 %
aproks imas
i_s ebelumn
ya
Kesalahan Pemotongan

Deret Mac Laurin
Deret Mac Laurin untuk f(x), dimana x = 0
f 0
f 0 2 f 0 3 f iv 0 4
x  
x  
x   
f x   f 0 
x
1!
2!
3!
4!
Kesalahan Pemotongan (ex. 1)

Hitung kesalahan pemotongan pada f(x) = sin x,
dimana x   ( = 3,14)
2
 
2

Secara analitis s in   1

Dengan deret Mac Laurin:






f(0) = sin (x) = sin (0) = 0
f(0) = cos (x) = cos (0) = 1
f(0) = - sin (x) = - sin (0) = 0
f(0) = - cos (x) = - cos (0) = -1
fiv(0) = sin (x) = sin (0) = 0
fv(0) = cos (x) = cos (0) = 1
Kesalahan Pemotongan (ex. 1)

Sehingga dengan deret Mac Laurin:
1
0 2  1 3 0 4 1 5
s inx   0  x  x 
x 
x  x 
1!
2!
3!
4!
5!
3
5
7
9
x
x
x
x
s inx   x 




3!
5!
7!
9!
Kesalahan Pemotongan (ex. 1)

Nilai sin x dengan deret Mac Laurin:



2
3

x3 
  2
2 suku  sin x = x 
3!
2
3!
1 suku  sin x = x =
 

x3 x5


 
3 suku  sin x = x 
3!
5!
2

4 suku  sin x =
x3 x5 x7

x


 
3!
5!
7!
2
 2   2
3
5
3!
5!
 2   2   2
3
3!
5
5!
7
7!
Kesalahan Pemotongan (ex. 1)
Suku ke
Sin (x)
|t| %
|a| %
1
1.57142857 57.14286%
-
2
0.92468416
7.53158%
69.94220%
3
1.00453730
0.45373%
7.94925%
4
0.99984234
0.01577%
0.46957%
Kesalahan Pemotongan (ex. 2)

Hitung kesalahan pemotongan pada ln (1.5)


ln (1.5) = ln (1 + 0,5)
sehingga f(x) = ln (1 + x), dimana x = 0,5
Secara analitis ln (1.5) tidak diketahui
Kesalahan Pemotongan (ex. 2)

Dengan deret Mac Laurin:


f(0) = ln (1 + x ) = ln (1 + 0) = 0
f(0) = 1  1  1
1  x  1  0

f (0) = 

f(0) =

fiv(0) = 
1
1  x 
2
2
1  x 
3
6
1  x 
4


1
1  0
2
2
2
1  0

 1
3
6
1  0
4
 6
Kesalahan Pemotongan (ex. 2)

Sehingga dengan deret Mac Laurin:
1
ln1  x   0  x  
1!
1 2
ln1  x   x  x 
2
 1 x 2  2 x 3   6 x 4  
2!
3!
4!
1 3 1 4 1 5
x  x  x 
3
4
5
Kesalahan Pemotongan (ex. 2)

Nilai ln(1 + x) dengan deret Mac Laurin:



1 suku  ln(1 + x) = x = 0.5
2 suku  ln(1 + x) = x  1 x 2  0.5  1 0.52
2
2
3 suku  ln(1 + x) =
1 2 1 3
1
1
2
3
x  x  x  0.5  0.5  0.5
2
3
2
3

4 suku  ln(1 + x) =
1 2 1 3 1 4
1
1
1
2
3
4
x  x  x  x  0.5  0.5  0.5  0.5
2
3
4
2
3
4
Kesalahan Pemotongan (ex. 2)
Suku ke
ln(1 + x)
|a| %
1
0.5
-
2
0.375
33.33333%
3
0.41666667
10.00000%
4
0.40104167
3.89610%
Soal


Hitung kesalahan pemotongan pada ex,
dimana x = 0.5
Hitung kesalahan pemotongan pada cos 2x,
dimana x = 
Kesalahan Pembulatan



Kesalahan karena komputer hanya dapat
menyatakan besaran-besaran dalam sejumlah digit
berhingga.
Kesalahan ini berhubungan dengan angka
signifikansi.
Misalnya :



2
 0,6 6 6 6 7
3
2
4 angka signifikansi1  1,6 6 6 7
3
2
3 angka signifikansi1 0  1 0,6 6 7
3
5 angka signifikansi
Kesalahan Pembulatan


Angka signifikansi
Banyaknya angka dengan digit tertentu dan dapat
dipakai dalam memberikan/mendekati suatu nilai.
Contoh:



Nilai ½ dengan 4 angka signifikansi : ½ = 0,5000
Nilai 5% dengan 4 angka signifikansi : 5% = 0,05000
(angka yang dicetak tebal merupakan 4 angka
signifikansi)
Perhatikan pemakaian angka 0, pada beberapa
angka tidak selamanya signifikan.

0.001845, 0.0001845, 0.00001845 memiliki 4 angka
signifikansi.
Kesalahan Pembulatan

Jika beberapa angka 0 terletak di bagian ekor suatu
bilangan, maka tidak jelas berapa banyaknya 0 itu
yang signifikan.


45.300 dapat memiliki angka signifikan sebanyak 3/4/5
tergantung apakah harga 0 diketahui atau tidak.
Ketidakpastian itu dapat diselesaikan dengan
menggunakan notasi ilmiah



4.53 x 10-4 = 0.000453  3 angka signifikan
4.530 x 10-4 = 0.0004530  4 angka signifikan
4.5300 x 10-4 = 0.000045300  5 angka signifikan
Kesalahan Pembulatan




Jika ingin menggunakan pendekatan numerik
bukan perhitungan analitis, maka perlu
ditetapkan berapa besarnya |s|.
|s| = nilai toleransi yang digunakan untuk
menentukan batas konvergensi
|a| < |s|  kondisi yang sering dianggap
konvergen
|s| biasanya ditentukan
Kesalahan Pembulatan

Ada 2 cara menentukan besarnya |s|


Sembarang
Rumus: s = (0.5 * 102-n)%
dimana
n = banyaknya angka signifikansi yang ditentukan
Kesalahan Pembulatan (ex.)

Dalam menyelesaikan masalah, diambil
angka signifikansi sebesar 5
s = (0.5 * 102-n)%
= (0.5 * 102-5)%
= 0.0005%
artinya agar iterasi berhenti maka:
|s| < 0,0005%