Les satellites de Jupiter représentent une très bonne illustration d’un système képlérien simple si l’on ne prend pas en compte les.
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Les satellites de Jupiter représentent une très bonne illustration d’un système képlérien simple si l’on ne prend pas en compte les faibles perturbations des orbites : - orbites circulaires (ellipse e=0) - orbites planes (dans le plan équatorial de Jupiter) - périodes suivant la 3ème loi de Kepler Dans le TD 1 avec le support de Géogébra il a été construit un modèle animé temporellement : - avec vue au-dessus de pôle de Jupiter - vue dans le plan équatorial dans une direction perpendiculaire à la direction du point vernal - animation temporelle dans cette dernière vue pour le repérage temporel Dans ce deuxième TD, on va se placer sur la Terre pour voir plus réellement ce que l’on observe. Fichier de départ : plajosat_syssol0.ggb 2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 2 Les satellites vus de la Terre J • On part de l’animation précédente avec sa direction de visée. S g • Jupiter tourne sur son orbite entrainant ses satellites • Centre de l’orbite : le Soleil • On est sur le Terre qui est aussi en orbite • Jupiter est donc vu dans la direction TJ T • La direction de projection sera perpendiculaire à TJ 1 - Jupiter tournant autour du Soleil et la Terre aussi la direction de projection tourne aussi. g H 2 – La distance TJ varie avec les deux rotations. Vu de la terre les distances angulaires Jupiter-satellites varieront avec la distance Terre-Jupiter. Premier travail : tracer à l’échelle un modèle simplifié Soleil Terre Jupiter. 2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 3 Les satellites vus de la Terre Simplifications : • Les orbites, Jupiter, Terre, satellites sont circulaires • Jupiter et son plan équatorial sont dans l’écliptique. Données supplémentaires : PT = 365.25 j PJ = 4332.59 j aT = 1 u.a. aJ = 5.2 u.a. Longitudes origines des planètes en fonction de la date origine : l0T et l0J Données à rentrer dans la partie tableur de la feuille. Attention le "°" est important pour l’homogénéité des calculs ultérieurs 2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 4 Les satellites vus de la Terre Créer sur la feuille Géogébra du système de Jupiter, un système SoleilTerre-Jupiter qui soit fonction du temps. • Echelle du graphique : pour rester compatible avec les dimensions du graphique des satellites. Unité en u.a. (unités astronomiques) échelle distance = x 400 gdist=400 cellule B16 • Décalage Centre xH = 5000 ; yH = 0 cellule B17 et B18 Le décalage peut être choisi tout autre, à la convenance de chacun. 2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 5 Les satellites vus de la Terre Orbites des planètes. Mettre dans le graphique : • le point Soleil x_H = B17 y_H=B18 H=(x_H,y_H) • l’orbite de la Terre cercle de centre H et rayon 1 x 400 • l’orbite de Jupiter cercle de centre H et rayon 5.2 x 400 ct=cercle[H,D7*gdist] cj=cercle[(H,H),D6*gdist] Cacher les étiquettes 2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 6 Les satellites vus de la Terre Positions des planètes Calculer les longitudes des deux planètes en fonction du temps Long. planètes = vitesse angulaire x temps + longitude 0 Vitesse angulaire = 360 / période lt=(360/B7)*tps+E7 lj=(360/B6)*tps+E6 Placer les planètes en coordonnées polaires et translations Soit le point O=(0,0) T=translation[(D7*gdist;lt),vecteur[O,(x_H,y_H)]] J=translation[(D6*gdist;lj),vecteur[O,(x_H,y_H)]] Tracer les segments Soleil-planètes et Terre-Jupiter : sht=segment[H,T] shj=segment[H,J] stj=segment[T,J] Enlever les étiquettes des segments. 2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 7 Graphiques système de Jupiter et Système Soleil-Terre-Jupiter 2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 8 Positions de Jupiter Le graphique permet de savoir où se trouve Jupiter dans le ciel à une date donnée. Orientons le graphique pour un observateur à midi. - horizon et Soleil au plus haut Ouest Est - Est et Ouest suivant rotation de la Terre Déterminer la position relative de Jupiter par rapport au Soleil - même direction : conjonction, non visible - à 180° : opposition, visible toute la nuit - à l’Ouest : visible plutôt le matin - à l’Est : visible plutôt le soir On peut faire afficher l’élongation de Jupiter : angle HTJ. elong=Angle[H, T, J]. Elongation : distance angulaire Soleil-planète. 2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 9 Les satellites vus de la Terre La vision projetée de la Terre n’est pas celle du TD1, suivant un axe perpendiculaire à la direction du point vernal. g La direction de visée est TJ. La vision terrestre est la projection sur une droite perpendiculaire à la direction TerreJupiter. Construire le vecteur Terre-Jupiter vtj=vecteur[T, J] Cette droite donnera la direction de la vision de Jupiter et des satellites vus de la Terre. Regardons ce qui se passe à la hauteur de Jupiter. 2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 10 Vision jovicentrique et vision terrestre Vision suivant convention du TD1 Supposons la Terre dans une direction orthogonale à celle de visée. Direction Terre Droite de projection Terre Projection Vision suivant position demandée Comparaison des visions Constatation ? 2009/10/18 L’effet de perspective est différent. La course des satellites galiléens de Jupiter II 11 o Les satellites vus de la Terre S’ J Soit S un satellite S lSat g Connaissant à une date t dproj la longitude héliocentrique de la Terre lTerre la longitude héliocentrique de Jupiter lJup les rayons des orbites aTerre et aJup la position du satellites par rapport à Jupiter lSat aJ On peut construire la droite de projection perpendiculaire à TJ en J dproj=Perpendiculaire[O, stj] Et trouver les positions des projections (S’). lJup aT T g H lTerre S’ = Intersection[dproj, Perpendiculaire[S, dproj]] 2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 12 o Les satellites vus de la Terre S’ J S lSat g dproj Remarque : par simplicité, on projette orthogonalement (SS’), mais réellement il faudrait trouver l’intersection de TS avec la droite de projection. aJ La différence est négligeable (voir diapositive du calcul de l’erreur). La distance Terre Jupiter est au minimum de 4.2 u.a. soit plus de 600 000 000 de km et la distance la plus grande d’un satellite est de 1 883 000 km. lJup aT T g H lTerre 2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 13 Les satellites vus de la Terre Le satellite se projette en S’ S’ Pour la lisibilité, les projections seront tournées et translatées sur pp’. b0 S q J Quelles opérations faire ? 1 – Rotation pour amener JT verticalement g S’’ Angle du vecteur JT : b0 Donc tourner de q angle du vecteur JT : Terre q = 270°-b0 S’ vient en S’’ 2 – Translation de yp en ordonnées Soleil yp S’’ vient en S’’’ Terre 2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II p’ S’’’ p 14 Les satellites vus de la Terre S’ b0 Résumons 1 – Projection - intersection S q J dproj=Perpendiculaire[O, stj] g S’’ S’=Intersection[dproj, Perpendiculaire[S, dproj]] b0 = Angle[Vecteur[O, (100, 0)], Vecteur[J, T]] Terre 2 - Rotation q = 270°-Angle[Vecteur[O, (100, 0)], vtj] S’=Rotation[S’,q,O] yp 3 – Translation de yp en ordonnées Terre S’’’=Translation[ Rotation[ Intersection[dproj, Perpendiculaire[S3J, dproj]], θ, O], Vecteur[O, (0, y0 + B20)]] 2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II p’ S’’’ p Le point de projection sera : Soleil 15 Effet de la distance Dernier étape Les angles sous lesquels on voit Jupiter et ses satellites est aussi fonction de la distance Terre Jupiter. • Plage de variation en u.a. et en % ? Variation : de 4.2 à 6.2 u.a. Soit +/-19.2 % C’est l’ensemble Jupiter et satellites qui paraîtra plus ou moins grand. Représenter sur une troisième projection, d’ordonnée yp’, l’aspect relatif suivant la distance. On prendra la projection déjà construite comme projection moyenne, celle où Jupiter est à 5.2 u.a. de la Terre. 2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 16 Effet de la distance L’abscisse du point de projection du satellite variera comme l’inverse de la distance TJ. L’abscisse du point de projection sera multiplié par le facteur 5.2/TJ P3SD=(x(P3S) 5.2 / (Longueur[vtj]/ gdist),y0 + B20 + B21) Remarque : si l’on trace un cercle représentant Jupiter, il faudra aussi tenir compte des variations de son rayon avec la distance. 2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 17 Eclipses Il est possible de simuler les éclipses des satellites par Jupiter. Conditions ? S’ b0 - dans la projection le satellite doit passer derrière S a J - être à moins d’un rayon de Jupiter g S’’ On connaît la longitude jovicentrique du satellite b = gJS = lS Soit a l’angle SJT a = β0-b Terre Si 90° < a < 270° le satellite est en arrière de Jupiter. Soleil Critère de distance Satellite-Jupiter : valeur de x(S’’’). yp p 2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II x(S’’’) S’’’ p’ 18 Eclipses • Test sous Géogébra pour savoir si le satellite est derrière et près de Jupiter : S’ a>90 ∧ a>270 b0 Si le test vrai, il est derrière, s’il est faux devant. S a J g S’’ • Test distance à Jupiter Le satellite sera à l’intérieur du cercle de Jupiter si : Terre abs(x(S’’’)) < C6 / 1000 •Test complet (valeur logique) pour le non l’affichage du satellite : fecl = α > 90 ° ∧ α < 270 ° ∧ abs(x(PS)) < C6 / 1000 p 2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II Soleil yp x(S’’’) S’’’ p’ 19 IV - Tracé des configurations temporelles Comme dans le TD1, on peut tracer les configurations temporelles en faisant croître les ordonnée des satellites en fonction de la variable tps. Il faudra alors activer la trace des points PxSD 2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 20 V - Erreur due à l’effet de projection En projetant suivant une direction parallèle à l’axe Terre-Jupiter et non la direction terre Satellite on fait une approximation donc une erreur. Cette erreur peut être calculée à partir du schéma suivant : Projection réelle P’ intersection de ST avec la droite de projection S Y J R P’ P b e de t i o r d tion c e j o pr g Projection utilisée P intersection de la ligne passant pas S et parallèle à la droite de projection Erreur : e = PP’ d T 2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 21 Erreur due à l’effet de projection suivant une direction parallèle à l’axe TerreJupiter et non la direction terre Satellite. Calcul S Le satellite est repéré par le rayon R de son orbite et l’angle b de JS avec la droite de projection. Y J R P’ P b e de t i o r d tion c e j o pr g Similitude des triangles SPP’ et SYT PP' YS = SP YJ JT e R cos b = R sin b R sin b d Construction et calculs dans Géogébra en faisant varier l’angle b, c’est-à-dire le temps. Faire tracer la variation de e en fonction de tps avec une échelle appropriée. d L’erreur pour Callipso ne dépasse pas 3 km et l’erreur sur l’angle, Jupiter au plus près, vaut atan(3/((5.2-1)*150000000) 5/1000ème de sec d’arc. 2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II T 22 . . . . . FIN 2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 23 orbite Jupite r Les satellites vus de la Terre S’ Méthode analytique J S lSat Connaissant à une date t g a la longitude héliocentrique de la Terre lJup la longitude héliocentrique de Jupiter lTerre les rayons des orbites aTerre et aJup la position du satellites par rapport à Jupiter lSat Il faut calculer a l’orientation de GJ pour projeter S sur la perpendiculaire à GJ Triangle OGJ : aT = a J GJ 2 a J GJ cosa a J 2 GJ 2 a T 2 cosa = 2 a J GJ 2 2009/10/18 2 2 La course des satellites galiléens de Jupiter II e Terre orbit GJ 2 = OJ 2 OG 2 2 OJ OG cos(l Jup lTerre ) GJ 2 = a J 2 aT 2 2 a J aT cos(l Jup lTerre ) G lJup O lTerre g 24 Vision géocentrique Quand la vision de la Terre est-elle semblable (à une homothétie près) À la convention d’observation TD partie I ? La Terre doit voir Jupiter dans la direction de longitude géocentrique = +90° g Quand cela se produit-il ? 2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 25 Quand cela se produit-il ? J2 J1 g Jupiter doit être entre les deux traits verticaux bleus. Longitudes héliocentriques des points J1J2 Construire les demi-droites limites et trouver les points d’intersection avec l’orbite de Jupiter : J1et J2. Mesurer par Géogébra les longitudes de J1 et J2 et l’angle J1HJ2. 2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 26 Longitudes de Jupiter J2 J1 g yv1=demidroite[(-gdist+B16,0),(-gdist+B16,100)] yv2=demidroite[(gdist+B16,0),(gdist+B16,100)] P1J=intersection[yv1,cj] gHJ2 = 101.1° P2J=intersection[yv2,cj] gHJ1 = 78.9° Durée du passage ? Période sidérale de Jupiter : 360° en 4333j 2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 267 jours 27 ► 2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 28