Transcript Peserta pelatihan dapat: 1. Menentukan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut 2. Mengkonversi koordinat kartesius dan koordinat kutub 3.

Peserta pelatihan dapat:
1. Menentukan nilai perbandingan trigonometri
suatu sudut
2. Mengkonversi koordinat kartesius dan koordinat
kutub
3. Menerapkan aturan sinus dan cosinus
4. Menentukan luas suatu segitiga
5. Menerapkan rumus trigonometri jumlah dan
selisih dua sudut
6. Menyelesaikan persamaan trigonometri
A
B
a
O
b
Sinargaris OA disebut sisi/kaki awal,
sinargaris OB disebut sisi/kaki tujuan,
dan titik O disebut titik-sudut.
Ditulis a = AOB
Suatu sudut dapat dibangkitkan/
digenerasikan/dibentuk dari suatu
sinargaris diputar mengelilingi titik O
menuju suatu sinargaris yang lain.
Sudut a diperoleh dari sinargaris OA
diputar berlawanan arah dengan arah
jarum jam mengelilingi titik O hingga
sampai di sinargaris OB. Sudut a
dikatakan sudut positif.
Sudut b diperoleh dari sinargaris OA
diputar searah dengan arah jarum
jam mengelilingi titik O hingga sampai
di sinargaris OB. Sudut b dikatakan
sudut negatif
Sudut a dan sudut b dikatakan coterminal (kaki-awal dan kaki-tujuannya sama).
Dalam trigonometri, banyak putaran dan arah putaran tidak dibatasi.
Sudut yang diperhatikan, yaitu sudutsudut yang sisi/kaki awal-nya membuat
beberapa revolusi terhadap titik O, searah
atau berlawanan arah dengan arah jarum
jam, sebelum terhenti pada sisi/kaki
tujuan/terminal-nya.
l2
a
a’
O
l1
Sudut a dan sudut a’, keduanya positif,
coterminal, tetapi berbeda.
Sisi/kaki awal l1 sudut a’ membuat suatu revolusi-lengkap terhadap titik O
sebelum berimpit dengan sisi/kaki terminal l2
Dalam suatu sistem koordinat kartesius (rectangular), suatu sudut dikatakan dalam posisi
standar, apabila titik sudutnya berimpit dengan pusat koordinat dan sisi/kaki awalnya
berimpit dengan sumbu x positif.
Apabila sisi/kaki tujuan/terminal dari suatu sudut dalam posisi standar terletak pada kuadran
pertama, maka sudut tersebut disebut sudut kuadrant-pertama. Analogis terhadap prinsip ini,
untuk sudut-sudut kuadrant-kedua, kuadran-ketiga, dan kuadran-keempat.
y
y
b
a
O
O
x
y
x
y
d
g
O
x
O
l
x
B
a
A
O
Sudut pusat: a = AOB
Apabila suatu lingkaran dibagi dalam 360 bagian yang sama, maka setiap
sudut pusat yang berkaitan dengan satu bagian tersebut dikatakan
mempunyai ukuran satu derajat, dinyatakan dengan 1o.
Dalam posisi standar, suatu sudut satu derajat diperoleh dengan memutar
1
sumbu-x positif berlawanan arah dengan arah jarum jam sebesar 360
dari
suatu revolusi lengkap.
Derajat-derajat dibagi-bagi dalam menit-menit dan detik-detik.
1o = 60’ dan 1’ = 60”
y
y
a
a
x
O
Sudut lancip
Sudut siku-siku
y
a = 90o
0 < a < 90
o
x
O
o
a
O
x
Sudut tumpul
90o < a < 180o
y
y
45o + 360o = 405o
45o
O
x
O
y
x
Sudut positif yang
coterminal dengan
sudut 45o
45o - 360o = -315o
O
x
Sudut negatif yang
coterminal dengan
sudut 45o
Sudut a yang coterminal dengan sudut yang
berukuran 780o, sehingga 0o < a < 360o.
y
60o
780O = 2  360O + 60O  a = 60O
780o
x
y
y
30o
o
750
x
750O = 30O + 2  360O
Sudut positif dan
sudut negatif
yang coterminal
dengan sudut
30o, dalam posisi
standar.
-690o
30o
x
-690O = 30O - 2  360O
B
1
Satu radian didefinisikan
sebagai besaran yang
ditunjukkan dari suatu
ruasgaris sepanjang 1
diputar berpangkal dari
ujung pertama, sehingga
perjalanan putaran ujung
kedua berupa suatu busur
lingkaran sepanjang 1.

O
1
A
AOB = 1 radian
 = s ; s panjang busur, r jari-jari lingkaran
r
Sudut  dengan satuan radian
 
1 radian = 180

O
dan  radian = 180o
 57, 29578O
titik B merupakan tempat
terakhir hasil putaran titik A.
Rumus Conversi
Keliling suatu lingkaran yang berjari-jari 1 adalah 2.
2 radian = 360o
Ruasgaris OA sepanjang 1
diputar dengan titik O
sebagai pusat putaran,
sehingga tempat kedudukan
putaran titik A berupa suatu
busur lingkaran sepanjang 1;
derajat radian
=
180

1O =  radians  0,0174533 radians
180
25

8
 = 25 = 3,125 radians
8
Conversi 45o ke radians
45 = radian  radians = 
180

4

5
12
 = 12 = 2, 4 radians
5
Conversi  ke derajat
6
derajat 6
=  derajat = 180 = 30
180

6
y
y
= 
2
 = 2
x
x
y
y
 = 3
4
x
x
= 
6
A. Dalam posisi standar, carilah sudut positif dan sudut negatif yang coterminal dengan
sudut-sudut berikut:
1. 150O
2. 210O
3. - 60O
4. 5
5. 7
6. 9
6
3
4
B. Sketsalah sudut-sudut berikut dalam posisi standar:
1. 156O
2. - 105O
3. - 318O
4. - 3
5
5. - 5
4
6. 4
3
C. Conversilah sudut-sudut berikut dalam satuan radians:
1. 150O
2. 210O
3. - 240O
4. - 45O
5. -120O
6. 300O
D. Conversilah sudut-sudut dalam radians berikut dalam satuan derajat:
1. 5
2. 7
3. 3
4. - 3
5. - 9
6. 
6
6
4
2
4
3
E. Sudut pusat  tertentu oleh suatu busur sepanjang s dan jari-jari lingkaran sepanjang r.
Carilah besar sudut pusat yang diketahui panjang busur dan jari-jari lingkarannya
berikut:
1. s = 20cm, r = 4cm 2. s = 38cm, r = 8cm 3. s = 6m, r = 24cm
Nilai Perbandingan Trigonometri suatu Sudut
A
a
c
b
b
C
a
B
sin a = BC = a
AB c
csc a = AB = c
BC a
sin b = AC = b
AB c
csc b = AB = c
AC b
cos a = AC = b
AB c
sec a = AB = c
AC b
cos b = BC = a
AB c
sec b = AB = c
BC a
tan b = AC = b
BC a
cot b = BC = a
AC b
tan a = BC = a
AC b
cot a = AC = b
BC a
A
a
c
b
b
C
B
a
sin a = BC = a 
AB c 
1
  csc a = sin a
csc a = AB = c 
BC a 
cos a = AC = b 
AB c 
1
  sec a = cos a
sec a = AB = c 
AC b 
tan a = BC =
AB
cot a = AC =
BC
a
b
1
  cot a = tan a
b
a
1.
2.
3.
g
2
1
15
2
d

8
Carilah nilai fungsifungsi trigonometri dari
sudut d .
Carilah nilai fungsifungsi trigonometri dari
sudut 
4. Misalkan a suatu sudut lancip sedemikian, sehingga
trigonometri yang lain dari a .
5. Misalkan b suatu sudut lancip sedemikian, sehingga
trigonometri yang lain dari b.
1
Carilah nilai fungsifungsi trigonometri dari
sudut g .
sin a = 12. Carilah nilai-nilai fungsi
cosb =
3.
4
Carilah nilai-nilai fungsi
6. ABC siku-siku di A sebangun dengan DEF siku-siku di D. AB = 2, AC = 3, dan DF = 8. Carilah
nilai-nilai fungsi trigonometri sudut-sudut lancip pada masing-masing segitiga tersebut.
A
a
c
b
b
C
a
B
sin a = BC = a 
AB c 
BC
  sin a = AB = cos b  sin a = cos (90 - a )
cos b = BC = a 
AB c 
cos a = AC = b 
AB c 
AC
  cos a = AB = sin b  cos a = sin (90 - a)
sin b = AC = b 
AB c 
tan a = BC = a 
AC b 
BC
  tan a = AC = cot b  tan a = cot (90 - a)
cot b = BC = a 
AC b 
1. Carilah nilai-nilai fungsi trigonometri untuk sudut-sudut 45o, 30o, dan 60o
2. Lengkapilah gambar segitiga berikut dengan ukuran-ukuran yang sesuai.
(Gunakan kalkulator atau tabel trigonometri)
….
……..
35
4
26o
……..
….
5
….
….
4
P(x,y)
O

1
y
x
Q
y

= y
1
  P(x, y) = P(cos ,sin )
cos  = x = x 
1

sin  =
Fungsi-fungsi sinus dan cosinus didefinisikan untuk semua sudut (positif, negatif,
dan nol), dan memperhatikan letak titik P pada lingkaran berpusat di O dan berjarijari 1, maka
-1 < sin  < 1
dan -1 < cos  < 1
 di Kuadran I
P(cos , sin )
1
y

O
x
Q
 di Kuadran II
y = sin   0
x = cos   0
y = sin   0
x = cos   0
P(cos , sin )
y
Q
1
x O

 di Kuadran III
y = sin   0
Q x
y
x = cos   0

O
1
P(cos , sin )
 di Kuadran IV
y = sin   0
x = cos   0

O
x Q
y
1
P(cos , sin )
sin( + 2) = sin  dan cos( + 2) = cos 
sin(-) = - sin  dan cos(-) = cos 
tan  = sin  ,    + k, k bilangan bulat
cos 
2
cot  = cos  ,   k, k bilangan bulat
sin 
tan  = tan( + ) dan cot  = cot( + )
tan(-) = - tan  dan
cot(-) = - cot 
1 ,    + k, k bilangan bulat
cos 
2
csc  = 1 ,   k, k bilangan bulat
sin 
sec  =
sin 2  + cos 2  = 1
tan 2  + 1 = sec 2 
cot 2  + 1 = csc 2 
cos(a - b) = cos a.cos b + sin a.sin b
sin 2a = 2.sin a.cos a
cos(a + b) = cos a.cos b - sin a.sin b
cos 2a = cos 2 a - sin 2 a
sin(a + b) = sin a.cos b + cos a.sin b
cos(a - b) = sin a.cos b - cos a.sin b
tan a + tan b
1 - tan a.tan b
tan a - tan b
tan(a - b) =
1 + tan a.tan b
sin(a + b) + sin(a - b) = 2.sin a.cos b
tan(a + b) =
sin(a + b) - sin(a - b) = 2.cos a.sin b
cos(a - b) + cos(a + b) = 2.cos a.cos b
cos(a - b) - cos(a + b) = 2.sin a.sin b
cos 2a = 1 - 2.sin 2 a
cos 2a = 2.cos 2 a - 1
tan 2a = 2.tan 2a
1 - tan a
sin a =  1 - cos a
2
2
cos a =  1 + cos a
2
2
A
a
OB = r
Q
c
b
a = b = c = 2r
sin a sin b sin g
O
C
g
a
b
B
a 2 = b 2 + c 2 - 2bc.cos a
b 2 = a 2 + c2 - 2ac.cos b
c 2 = a 2 + b 2 - 2ab.cos g
LABC = 12 .absin g = 12 .acsin b = 12 .bcsin a
LABC = r 2 .sin a.sin b.sin g
T
r

O
X
Titik O disebut khutub
Garis OX disebut sumbu khutub
Panjang OT = r, disebut vektor radius dari T
Sudut antara OX dan OT = , disebut argumen dari T atau sudut
khutub dari T
Bilangan r dan  disebut koordinat-koordinat khutub dari T dan
ditulis T(r,)
Pada umumnya r diambil positif dan 0 <  < 2
Jadi setiap titik pada bidang datar letaknya ditunjukkan oleh r dan .
Sebaliknya setiap pasang r dan  menunjukkan letak suatu titik dalam bidang
datar tersebut.
T(r,)
 + 180O
r

O
T’(r,+180 )
Atau T’(r,+)
O
X
P(r,g)
Q(r’,a)
r'
r
ag
O
X
Y
T(x,y) atau
T(r,)
r
y

O
x = r cos  dan
r =  x 2 + y2
y = r sin 
dan
 = arctan
y
x
x
S
r = + x 2 + y2
X
,  = arccos
 = arcsin
x
x 2 + y2
y
x 2 + y2
Y

T 1, 3
3
r = + 12 + ( 3) 2 = 2

 = arccos 1   = 60O = 
2
3

r


= T 2, 60O = T  2, 3  dalam koordinat khutub

O

 T 1, 3 dalam koordinat kartesius
1
X
T  2, 3 
2
=
O

3
X
x = 3cos 6 = 3.
P  3, 6 
y = 3sin 6 = 3. 12 =
=
3 3
2
3
2
 P  3, 6  dalam koordinat khutub
3
=
3
2

6
X
O
=P

3 3
2

, 23 dalam koordinat kartesius
Y
3
2
O
P

3 3
2
3 3
2
, 32

X
Y
O
105o
3
2
X
4
O
X
Q
Y
3 3
2
P
T
3 3
S
3
O
3
105o
X
O
X