Transcript fungsi trigonometri

FUNGSI TRIGONOMETRI
Sisi depan
Sisi samping

Keterangan gambar segitiga siku siku diatas ialah menjelaskan
tentang hubungan Sin, Cos, dan Tan dengan sudut yang
dibentuk oleh segitiga siku-siku. Adapun letak masing masing
sisi hadap, miring dan dekatan tidaklah tetap seperti pada
contoh gambar diatas, melainkan menyesuaikan dimana letak
sudut ditentukan.
 Dari
contoh gambar diatas, bisa kita
simpulkan bahwa sinus bisa kita peroleh
dengan persamaan :
sin  
sisi depan
sisi miring
cos  
sisi samping
sisi miring
tan  
sisi depan
sisi samping
 Dari
contoh diatas, kita beralih ke fungsi
trigonometri berdasarkan lingkaran satuan,
jika dipahami dengan cara ini maka daerah
asalnya akan berupa himpunan bilangan riil
bukan berupa himpunan beberapa sudut.
y
P(x,y)
y
x
Lingkaran satuan
t
x
A(1,0)

Andaikan C adalah lingkaran satuan yaitu, lingkaran x² + y² = 1
berpusat dititik asal dengan radius 1, Nyatakan titik ( 1,0 ) oleh A
dan andaikan t sembarang bilangan positif. Maka terdapat tepat
satu titik P(x, y) pada C sedemikian sehingga panjang busur AP,
yang diukur menurut arah berlawanan dengan putaran jarum jam
dari A sepanjang lingkaran satuan adalah t. Keliling C adalah 2π;
sehingga jika t > 2π, diperlukan lebih dari satu putaran lengkap
dari lingkaran satuan untuk menelusuri busur AP . Jika t = 0, P
= A.

Demikian juga jika t < 0, maka akan diperoleh persis satu titik
P(x, y) pada lingkaran satuan itu, sehingga dengan demikian bila
anda mengukurnya searah putaran jarum jam pada C, maka
panjang busur AP adalah t. Jadi dengan sembarang bilangan ri’il t
, kita dapat menyesuaikannya dengan sebuah titik unik P(x, y).
Ini memungkinkan kita membuat definisi kunci dari sinus (sin)
dan cosinus (cos).
Andaikan t menentukan titik P(x,y)
seperti ditunjukkan di atas. Maka
sin t = y cos t = x
 Beberapa
kenyataan segera jelas terlihat dari
definisi yang baru saja diberikan . Pertama, x
dan y bervariasi antara -1 dan 1, sehingga
sin t  1
cos t  1
 Karena
t dan t + 2π menentukan titik P(x, y)
yang sama,
sin( t  2  )  sin t
cos( t  2  )  cos t
y
(x,y)
t
x
(1,0)
(x,-y)
-t
Dikatakan bahwa sinus dan
cosinus bersifat periodik
dengan perioda 2π. Secara
lebih umum, suatu fungsi f
dikatakan periodik jika
terdapat suatu bilangan
positif p sedemikian
sehingga f (t + p) = f ( t )
untuk semua t dalam daerah
asal f . Dan bilangan p
terkecil yang memenuhi
disebut periode f.
y
(0,1)
t
(y,x)
(x,y)
t
x
(1,0)
y=x
sin(  t )   sin t
Titik - titik P yang
berpadanan
dengan t dan –t simetri
terhadap
(x, y) sumbu x. Sehingga
dengan
demikian koordinat xnya akan sama,
sedangkan koordinat ynya hanya berbeda
tanda, sehingga :
cos(  t )  cos t
Dengan kata lain, sinus ialah fungsi ganjil
sedangkan cosinus ialah fungsi genap. Titiktitik P yang berpadanan dengan t dan π/2 – t
simetri terhadap garis y = x
Sehingga koordinat-koordinatnya saling
bertukar. Ini berarti bahwa :
sin(

 t )  cos t
cos(
2

 t )  sin t
2
Akhirnya kita sebutkan sebuah kesamaan
penting yang menghubungkan fungsi-fungsi
sinus dan cosinus
sin
2
t  cos t  1
2
t
Sin t
Cos t
0
0
1
π/6
1/2
√3/2
π/4
√2/2
√2/2
π/3
√3/2
1/2
π/2
1
0
2π/3
√3/2
-1/2
3π/4
√2/2
-√2/2
5π/6
1/2
-√3/2
π
0
-1
Untuk menggambarkan grafik y = sin t dan y =
cos t, dengan prosedur yang telah baku (buat
table nilai), table nilai sudah tersedia. Salah
satu tabelnya ialah Tabel II dari Apendiks; table
ringkas untuk bilangan khusus, dari table
diatas kita dapat menggambarkan grafik.
1
y = cos t
-2π
-π
y = sin t
π
-1
2π
t
Bahkan dengan pengamatan sekilas saja, dapat
dilihat 4 hal tentang grafik ini :
 Sin t dan cos t keduanya berkisar dari -1
sampai 1.
 Kedua grafik berulang dengan sendirinya
pada selang yang berdampingan sepanjang
2π.
 Grafik y = sin t simetri terhadap titik asal,
dan y = cos t terhadap sumbu y.
 Grafik y = sin t sama seperti y = cos t, tetapi
digeser π/2 satuan ke kanan.
tan t 
sec t 
sin t
cot t 
cos t
cos t
sin t
1
1
cos t
csc t 
sin t
Contoh 1. Buktikan bahwa tangen adalah
fungsi ganjil.
Penyelesaian
tan(  t ) 
sin(  t )
cos(  t )

 sin t
  tan t
cos t
Contoh 2. Periksa kebenaran identitas identitas berikut
1  tan t  sec t
2
2
1  cot t  csc t
2
2
1  tan t  1 
2
sin
2
t
2
cos t  sin
2

1  cot t  1 
sin
2
t

sin
2
2
2
t
 sec t
2
2
cos t
t  cos t
sin
1

cos t
2
2
t
2
cos t
cos t
2

1
sin
 csc t
2
2
t
y
1
-2π
--π
0
-1
y = tan x
π
2π
Perhatikan bahwa terdapat
asimtot-asimtot tegak pada 3π/2, -π/2, π/2, 3π/2, dan
seterusnya. Karena pada nilainilai t ini cos t = 0, yang berarti
bahwa ( sin t )/(cos t)
menyangkut suatu pembagian
oleh nol.
 Sudut
biasanya diukur dalam derajat atau
dalam radian. Sudut yang berpadanan
terhadap satu putaran penuh berukuran
360˚, tetapi hanya 2π radian. Demikian pula,
sudut lurus berukuran 180˚ atau π radian,
kenyataan yang bermanfaat untuk diingat
 180˚ = π radian ≈ 3,1415927 radian
 Ini menuju pada konversi biasa yang
diperlihatkan pada Gambar.8 dan pada faktafakta berikut,
 1 radian ≈ 57,29578˚ 1˚ ≈ 0,0174533 radian

Pembagian suatu putaran menjadi 360 bagian
dilakukan demikian saja (menurut bangsa
Babylon kuno, yang menyenangi kelipatan 60).
Pembagian kedalam 2π bagian adalah lebih
mendasar dan berlatar belakang pada pemakaian
ukuran radian yang umum dalam kalkulus.
Khususnya, perhatikan bahwa panjang busur “s”
dari potongan busur sebuah lingkaran radius “r”
dengan sudut pusat “t” radian memenuhi
s
1

2 r
2
Yaitu, s = r t

Bilamana r = 1, ini memberikan s = t. Dengan
kalimat, panjang busur pada potongan lingkaran
satuan dengan sudut pusat” t” radian adalah “
t”. Ini benar walaupun jika t negatif, asalkan
kita menafsirkan panjang adalah negatif
bilamana diukur dalam arah putaran jarum jam.
Derajat
Radian
0
0
30
π/6
s
45
π/4
t rad
60
π/3
90
π/2
120
2π/3
135
3π/4
150
5π/6
180
π
r
s = rt
Contoh: Cari jarak yang ditempuh oleh sebuah
sepeda dengan roda yang mempunyai radius 30
cm, bila roda itu berputar sampai 100 putaran.
Penyelesaian.
Dengan mengenali bahwa 100 putaran
berpadanan dengan 100.(2π) radian.
s = ( 30 ) ( 100 ) ( 2π ) = 6000π ≈ 18849,6 cm
Jika θ adalah sudut yang berukuran t radian,
maka:
sin   sin t
cos   cos t
 Dalam
kalkulus, jika kita temui sebuah sudut
yang diukur dalam derajat, kita biasanya
mengubahnya kedalam radian sebelum
melakukan perhitungan. Misalkan,
sin 31,6˚ = sin ﴾ 31,6. radian ﴿ ≈ sin ( 0,552 )
 Kesamaan
ganjil-genap
sin (-x) = -sin x
cos ﴾-x﴿ = cos x
tan ﴾-x) = - tan x
 Kesamaan fungsi ko
sin ﴾π/2 - x﴿ = cos x
cos ﴾π/2 – x﴿ = sin x
tan ﴾π/2 – x ﴿= cot x
 Kesamaan
Pythagoras
sin² x + cos² x = 1
1 + tan² x = sec² x
1 + cot² x = csc² x
 Kesamaan penambahan
sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y
cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y
tan (x + y) =
tan x  tan y
1  tan x tan y
 Kesamaan
sudut – ganda
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = cos² x - sin² x = 2 cos² x – 1
= 1 – 2 sin²x
 Kesamaan setengah sudut
1  cos x
 
sin    
2
2
1  cos x
 
cos    
2
2
 Kesamaan
jumlah
x y
x y
sin x  sin y  2 sin 
 cos 

 2 
 2 
x y
x y
cos x  cos y  2 cos 
 cos 

 2 
 2 
 Kesamaan
hasil kali
sin x sin y = - ½ [cos (x + y) – cos(x – y)]
cos x cos y = ½ [cos (x + y) + cos(x – y)]
sin x cos y = ½ [sin (x + y) + sin(x – y)]
Contoh: Cari cos 51,8˚
Penyelesaian.
Prosedur yang paling sederhana ialah menekan
tombol yang tepat pada kalkulator. Tetapi jika
ingin memakai tabel.II dari Apendiks, pertama
kita ubah 51,8˚ ke radian.
Jadi, 51,8˚ = 51,8˚﴾ π/180 ﴿ ≈ 0.904 radian
Cos (51,8˚) ≈ cos (0,904) ≈ 0.6184
1. Konversikan ukuran derajat berikut menjadi
radian (gunakan π dalam jawaban):
a. 300
b. -600
c. 450
d. 2400
2. Konversikan ukuran radian berikut menjadi
derajat
a. 7 π/6
c. 9 π/8
b. 4 π/3
d. -35 π/18
3. Buktikan bahwa kesamaan berikut ini adalah
benar:
1
a. (1+ sin z)(1- sin z) =
2
sec z
b. (sec t – 1)(sec t + 1) = tan2 t
c. sin t (csc t – sin t) = cos2 t
d.
1
sin t cos t

cos t
sin t
 tan t