Transcript TRIGONOMETRI - Himmadika UNS

KOMPETENSI
Memanipulasi aljabar untuk merancang rumus
trigonometri dan menyusun suatu bukti.
Merancang rumus trigonometri jumlah
dan selisih dua sudut dan sudut ganda
Membuktikan rumus identitas
trigonometri
Membandingkan nilai sinus, kosinus, dan  Menentukan luas segitiga yang
komponennya diketahui dengan
tangent suatu sudut
menggunakan fungsi trigonometri
Perhatikan
• Selesaikan
1.buktikan :
1  cos 2 A
 1  cos A  2
2  2 cos A
2. Buktikan bahwa :
1 + cos 2A + cos 4A + cos 6A = 4 cos A cos 2A cos 3A
3. Buktikan tan3A.tan2A.tanA=tan3A-tan2A-tanA
4. Hitung nilai sin 54 sin 18
5. Hitunglah Sin26+Sin242+Sin266+Sin278
Apa itu
sudut
Sisi akhir
Sisi awal
• Sudut dihasilkan oleh putaran sebuah sinar thd
titik pangkalnya ( dari sisi awal ke sisi akhir)
• Sudut diberi “tanda positive” jika putarannya
berlawanan dg putaran jarum jam
• Sudut diberi “tanda negative ” jika putarannya
searah dg putaran jarum jam
• Besar sudut ditentukan oleh jarak putar yg
dilalui dari sisi awal ke sisi akhir
• Satuan sudut :
siksagesimal : 1 putaran penuh dibagi 360
bag yg sama
1bag = 10
Sentisimal : 1 putaran penuh dibagi 400 bag
yg sama
Radian
Apa itu
radian?
sehingga di dapat
1 jejari
1 jejari
1 rad
1 jejari
1 rad : besar
sudut pusat
lingkaran yg
menghadap pd
busur yg
panjangnya=
jari2 lingkaran
maka, besar sudut yang terbentuk: 1 radian (rad)
Seberapa besar 1 radian itu?
Coba bandingkan
1
1
1
1
1 rad
1
60°
1
Mana yang lebih besar ? 1 rad atau 60º ?
Panjang Busur dan Radian
r
r
1 rad
r
r
r
 rad
r
Hubungan Radian  Derajat
Kita putar jejari sejauh 180
r
1 derajat = 1 putaran penuh dibagi 360 bag yg
sama
Ingat: panjang setengah lingkaran = π r
p rad
r
p rad = 180
Rumus Perubahan
  rad :  p
180
180

rad  : 
p
KESIMPULAN
2p rad  360
p rad  180


1 rad 
180

p
p
1 
rad
180

4
Perbandingan trig
• Ada berapa perbandingan
antar sisi dr segitiga siku-siku
tsb
Diketahui segitiga siku-siku berikut
sin A 
cos A 
tan A 
y
r
x
r
y
x
csc A 
r

side opposite
hypotenuse
y

side adjacent
sec A 
r

side opposite
cot A 
x
hypotenuse
side adjacent
x
y



hypotenuse
side opposite
hypotenuse
side adjacent
side adjacent
side opposite
Perbandingan trigonometri sisi-sisi segitiga
siku-siku
Sudut Istimewa segitiga siku-siku yaitu :
1. 00
2. 30o
3. 450
4. 60o
5. 90o
SUDUT ISTIMEWA
.
Untuk  300 dan  600
.
B
1
30O
O
30O
Segitiga
C
C
X
OAB
segitiga
sama
dengan r=1,
1
CB=CA=
A
OC=
1
3
2
1
2
adalah
sisi
SUDUT ISTIMEWA
Untuk  450
C
Sin 450 =
Cos 450 =
450
2
AB
1
1


2
AC
2 2
1
450
Tg 450 =
A
1
B
SUDUT ISTIMEWA
Untuk  00
Sb. : y
Sin 00 =
Cos 00 =
Y=0
Tg 00 =
Catatan :
X=r
Y=0
X=r
Sb.: x
SUDUT ISTIMEWA
Untuk  900
y r
 1
Sin 900 =
r r
Sin 900 =
y=r
Cos 900 =
Catatan :
X=0
Y=r
X=0
KESIMPULAN SUDUT
ISTIMEWA

0O
30O
0
1
2
Cos
1
1
2
2
Tg
0
1
3
3
Sin 1
2
Ctg
2

3
45O
60O
1
2
1
2
2
2
90O
1
1
2
0
1
3
?
1
1
3
3
0
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI DI
BERBAGAI KUADRAN
00    90 0
900    1800
Sudut di Kuadran I = 
Sin bernilai (+)
Cos bernilai (+)
Tan bernilai (+)
Sudut di Kuadran II = β = (180 - )
Hanya Sin bernilai (+)
180    270
0
0
2700    3600
Sudut di Kuadran III =γ =(180 + )
Hanya Tan bernilai (+)
Sudut di Kuadran IV =θ =( 360 -)
Hanya Cos bernilai (+)
Perbandingan Trig sudut Berelasi
A dalam derajat

sin A  cos(90  A)

cos A  sin( 90  A)

csc A  sec(90  A)

sec A  csc(90  A)

tan A  cot(90  A)

cot A  tan(90  A)
A: dalam radian
p


sin A  cos  A 
2 
p

cos A  sin   A 
2 
p


csc A  sec  A 
2 
p


sec A  csc  A 
2 
 p  A 
2 
p

cot A  tan  A 
2 
tan A  cot
KOORDINAT KUTUB DAN
KARTESIUS
KOORDINAT KUTUB
Koordinat Kutub
r

B(r, θ)
B(r,)
KOORDINAT KARTESIUS
A(x, y)
Koordinat kartesius
A (x,y)
MENGUBAH KOORDINAT KUTUB MENJADI
KOORDINAT KARTESIUS
Koordinat kutub B(r,)
Dari
x
 Cosθ diperoleh x = r . cos θ
r
y
 Sinθ diperoleh y = r . sin θ
sedangkan
r
Sehingga didapat
Koordinat kartesius B(x,y) = (r.Cos , r.Sin)
MENGUBAH KOORDINAT KARTESIUS
MENJADI KOORDINAT KUTUB
Koordinat kartesius A (x,y)
r
x y
2
y
Tanθ 
x
2
y
θ  arc.Tan
x
Sehingga koordinat kutub A (r,)
IDENTITAS TRIGONOMETRI
Merancang rumus trigonometri jumlah
dan selisih dua sudut dan sudut ganda
The Unit Circle
y
Diberikan segitiga siku siku
berikut:.
btk x:
(x,y)
1
y
x
x
Btk y:
Dan utk nilai tan:
Lingkaran satuan Pythagoras
2
2
y
x
2
2
sin   cos   2  2
r
r

x2  y 2
r
1  tgn2
1  ctgn2
 sec 2 
 cos ec 2
2

r2
r
2
1

C
cos   ) 

G
A
cos  
AE  AF cos 
GF  CF sin 
F
Segitiga AFC
D E B
AE
AF
GF
sin  
CF
Segitiga CGF


Segitiga AEF,
AD
AC
AF
cos β 
AC
AF  AC cos 
CF
sin  
AC
CF  AC sin 
GF  AC sin  sin 
Cause DE  GF
DE  AC sin  sin 
AE  AC cos  cos 
AD  AE  DE
AC cos ( + )  AC cos  cos   AC sin  sin 
cos ( + )  cos  cos   sin  sin 
TRIGONOMETRIC IDENTITIES
sin   cos   1
2
2
tan   1  sec 
2
2
1  cot   cos ec 
2
2
henny
TRIGONOMETRIC IDENTITIES
Identitas trig utk :
sin  A  B )  sin A cos B  cos A sin B
cos A  B )  cos A cos B  sin A sin B
tan A  tan B
tan  A  B ) 
1  tan A tan B
5
TRIGONOMETRIC IDENTITIES
JUMALH & SELISIH 2 SUDUT
sin  A  B )  sin A cos B  cos A sin B
cos A  B )  cos A cos B  sin A sin B
tan A  tan B
tan  A  B ) 
1  tan A tan B
5
TRIGONOMETRIC IDENTITIES
SUDUT GANDA:
sin 2 A  2 sin A cos A
cos 2 A  cos A  sin A
2
2
cos 2 A  1  2 sin A
2
cos 2 A  2 cos A  1
2
2 tan A
tan 2 A 
2
1  tan A
6
TRIGONOMETRIC IDENTITIES
SETENGAH SUDUT:
A
A
sin A  2 sin cos
2
2
2 A
2 A
2 A
2 A
cos A  cos
 sin
 2 cos
 1  1  2 sin
2
2
2
2
A
2 tan
2
tan A 
2 A
1  tan
2
7
TRIGONOMETRIC IDENTITIES
JUMLAH/SELISIH 2 FUNGSI TRIG:
A B
A B
sin A  sin B  2 sin
cos
2
2
A B
A B
sin A  sin B  2 cos
sin
2
2
A B
A B
cos A  cos B  2 cos
cos
2
2
A B
A B
cos A  cos B  2 sin
sin
2
2
8
TRIGONOMETRIC IDENTITIES
BENTUK LAIN:
2 sin A cos B  sin  A  B )  sin  A  B )
2 cos A cos B  cos( A  B)  cos( A  B)
2 sin A sin B  cos( A  B)  cos( A  B)
9
TRIGONOMETRIC IDENTITIES
Buktikan
2
tan A  cot A 
sin A
sec 40  sec 80  sec160  6
Jika A+B+C + D=1800 Buktikan :
cosAcosB+cos Ccos D = sin Asin B +sin C sin D
Dalam segitiga ABC , Buktikan
tg A +tg B +tg C = tg A tgB tg C
10
ATURAN SINUS DAN KOSINUS
ATURAN SINUS
a  b  c
SinA SinB SinC
ATURAN KOSINUS
a2  b2  c 2  2bcCosA
b2  a2  c 2  2acCosB
c 2  a2  b2  2abCosC
ATURAN SINUS
a  b  c
SinA SinB SinC
Bukti :
bSinA  aSinB
a
b

SinA SinB
CD  SinΑ
b
CD
 SinB
a
CD  b.SinA
CD  aSinB
ATURAN
KOSINUS
a2  b2  c 2  2bcCosA
2
2
2
b  a  c  2acCosB
c 2  a2  b2  2abCosC
Deriving the Law of Cosines
h  b  sin A
C
k  b  cos A
b
• Dengan Pythagoras teo
k
h
a
c-k
A
a   b  sin A )   c  b  cos A )
2
2
2
B
c
a 2  b 2 sin 2 A  c 2  2  c  b  cos A  b 2 cos 2 A
a 2  b 2  sin 2 A  cos 2 A )  c 2  2  c  b  cos A
a 2  b 2  c 2  2  c  b  cos A
43
PERSAMAAN TRIGONOMETRI
Bentuk I
acos x = b, syarat bahwa -aba
b
cos x = a
cos x = cos 
x =  + k.360;
x = -  + k.360 ; kB
Contoh:
Tentukan nilai x yang memenuhi;
Cos x = - ½ , 0 x  360

Cos x = - ½
 Cos x = cos 120
x = 120 + k.360
untuk k=0, x1 = 120
x = -120 + k.360
untuk k=1, x2 = 240
Jadi HP = {120, 240}

4sin 2x = -2 3
 Sin 2x = - ½ 3
 Sin 2x = sin 210
2x = 210 + k.360
x= 105  + k.180
Untuk k=0, x1= 105 
Untuk k =1, x2=285
2x = (180-210)+k.360
2x = -30 + k.360
x = -15 + k.180
Untuk k=1, x3=165, untuk k=2, x4=345
Jadi HP ={105 , 165  , 285, 345}

asin x = b,
b
sin x = a
sin x = sin 
x =  + k.360;
x = -  + k.360 ; kB
Contoh :
4sin 2x = -2 3 ; 0 x  360
tan x = ba
tan x = tan 
x =  + k.180;
x = -  + k.180 ; kB
Contoh:
Tentukan nilai x yg memenuhi,
tan x = - 3 , 0 x  360

CONTOH
Tentukan nilai x yang memenuhi:
 Cos (x-30).sin(x-120) = 1, 0 x360 
Jawab:
Sin (2x-30-120) – sin (-30+120)=2
Sin(2x-150) = 2-sin 90
Sin (2x-150 ) = 1
2x -150  = 90  + k .360 
2x = 240  + k.360 

x= 120  + k.180 
untuk k=0, x1=120 ; untuk k=1, x2=300 
2x -150  = (180  - 90 ) + k .360  (kembali bentuk yg
sama)
4. Bentuk a Cos x + b Sin x = c
 Penyelesaian : a Cos x + b Sin x = c

b
c
Cos x  Sin x 
a
a
Misal Tan  = Shg Cos  =


 Cos x + Tan  Sin x =

a
a 2  b2
c
ac
Cos x Cos   Sin x Sin  
a
a
a b
2
2



c
Cos ( x   ) 
a  b
2
2
Syarat ada penyelesaian :
c
a b
2
2
1
atau a  b  c
Contoh : Tentukan x yang memenuhi
-3 Cos 2x + Sin 2x = 1 ; 0º  x  360º
Jawab : Cara I
-3 Cos 2x + Sin 2x = 1

2
2
2

1
1
Cos 2 x 
Sin 2 x 
3
 3
 Cos 2x - Tan 30º Sin 2x = 1
 3
1
3
 Cos (2x + 30 ) =
.
 3 2
 Cos (2x + 30) = Cos 120
 2x =90+360x=45 +k 180x1=45,x2 =
225
 2x = -150 + k 360  x = -75 + k 180  x3
= 105, x4 = 285 ; HP {45, 105, 225, 285}
5. Bentuk Persamaan Kuadrat
a. p Sin2 x + qSin x + r = 0
Syarat : q2 – 4 p r  0 dan -1  Sin x  1
 q  q  4 pr
Sin x =
2p
2
atau dengan pemfaktoran
b. p Cos2 x + q Cos x + r = 0
Syarat : q2 – 4 p r  0 dan -1  Cos x  1
 q  q  4 pr
Cos x =
2p
2
atau dengan pemfaktoran
c. p Tan2 x + q Tan x + r = 0
Syarat : q2 – 4 p r  0 dan -  < Tan x < 
 q  q  4 pr
2p
2
Tan x =
atau dengan pemfaktoran
Contoh : Tentukan x yang memenuhi
7 Sin x – 3 Cos 2x + 5 = 0 ; 0º  x  360º
Jawab :
7 Sin x – 3 Cos 2x + 5 = 0
 7 Sin x -3 (1-2 sin2 x ) + 5 = 0
 7 Sin x – 3 + 6 Sin2 x + 5 = 0
 6 Sin2 x + 7 Sin x + 2 = 0
 (3 Sin x + 2 ) ( 2 Sin x + 1) = 0
 3 Sin x + 2 = 0  2 Sin x + 1 = 0
 Sin x = -0,66... V sin x = -0,5
Untuk Sin x = -0,66...
x = 221,8 + k.380  x1 = 221,8
x = (180 -221,8) + k.360
x = -41,8 + k.360  x2 = 318,2
Untuk sin x = -0,5
 x = 210 + k.360  x3 = 210
x = (180 -210) + k 360
x = -30 + k 360  x4 = 330
HP ={ 210º, 221,8º, 318,2º, 330º}