Transcript BAB 6 PEMBEZAAN DAN PENGAMIRAN BERANGKA  PEMBEZAAN BERANGKA TERBITAN PERTAMA TERBITAN KEDUA   PENGAMIRAN BERANGKA PETUA TRAPEZIUM PETUA SIMPSON KAMIRAN ROMBERG KUADRATUR GAUSS 

BAB 6
PEMBEZAAN DAN
PENGAMIRAN BERANGKA

PEMBEZAAN BERANGKA
TERBITAN PERTAMA
TERBITAN KEDUA


PENGAMIRAN BERANGKA
PETUA TRAPEZIUM
PETUA SIMPSON
KAMIRAN ROMBERG
KUADRATUR GAUSS

PEMBEZAAN BERANGKA

Tujuan Penggunaan:

mendptkan terbitan:



Jenis Pembezaan:



bg fungsi f(x) yg agak sukar
fungsi f(x) tidak diketahui dan hanya di beri maklumatnya dlm
bentuk jadual (set data)
Terbitan Pertama
Terbitan Kedua
Jenis Kaedah yg digunakan:

Terbitan Pertama



Rumus Beza Depan,Beza Belakang (n=2,n=3,n=5)
Rumus Beza Tengah (n=3,n=5)
Terbitan Kedua

Rumus Beza Tengah (n=3,n=5)
TERBITAN PERTAMA

n=2

Rumus Beza Depan

f ( xi 1 )  f ( xi ) f ( xi  h)  f ( xi )
f ( xi ) 

xi 1  xi
h
Rumus Beza Belakang
f ( xi )  f ( xi 1 ) f ( xi )  f ( xi  h)
f ( xi ) 

xi  xi 1
h
contoh
i
x
f
0
0.5
0.25
1
1.0
1.0
2
1.5
2.25
3
2.0
4.0
Dapatkan f’(1.0) dgn h = 0.5 menggunakan
rumus beza depan 2 titik dan beza belakang 2
titik.
Penyelesaian :
Rumus beza depan 2 titik
f’(x) = f(x+h) – f(x) f’(1.0) = f(1.5) – f(1.0)
h
0.5
f’(1.0) = 2.25 – 1.0
0.5
= 2.5
Rumus beza belakang 2 titik
f’(x) = f(x) – f(x-h) f’(1.0) = f(1.0) – f(0.5)
h
0.5
f’(1.0) = 1.0 – 0.25
0.5
= 1.5
TERBITAN PERTAMA

n=3

Rumus Beza Depan
1
f ( xi )   3 f ( xi )  4 f ( xi  h)  f ( xi  2h)
2h

Rumus Beza Belakang
1
f ( xi )   f ( xi  2h)  4 f ( xi  h)  3 f ( xi )
2h

Rumus Beza Tengah
f ( xi  h)  f ( xi  h)
f ( xi ) 
2h
contoh
i
x
f
0
0
0
1
0.5
0.25
2
1.0
1.0
3
1.5
2.25
4
2.0
4.0
Dapatkan f’(1.0) dgn h = 0.5 menggunakan rumus
beza depan 3 titik dan beza belakang 3 titik.
Penyelesaian :
Rumus beza depan 3 titik
f’(x) = 1 [-3f(x)+4f(x+h)- f(x+2h)
2h
f’(1.0) = 1 (-3(1.0) +4(2.25) – 4.0
2(0.5)
= 2.0
Rumus beza belakang 2 titik
f’(x) = 1 [3f(x)- 4f(x-h)+ f(x-2h)
2h
f’(1.0) = 1 (3(1.0) -4(0.25) + 0.0)
2(0.5)
= 2.0
TERBITAN PERTAMA

n=5
Rumus Beza Tengah
1
 f ( xi  2h)  8 f ( xi  h)  8 f ( xi  h)  f ( xi  2h)
f ( xi ) 
12 h


Rumus Beza Depan
1
 25 f ( xi )  48 f ( xi  h)  36 f ( xi  2h)  16 f ( xi  3h)  3 f ( xi  4h)
f ( xi ) 
12 h
TERBITAN KEDUA

n=3


Rumus Beza Tengah
1
f ( xi )  2  f ( xi  h)  2 f ( xi )  f ( xi  h)
h
n=5

Rumus Beza Tengah
1
 f ( xi  2h)  16 f ( xi  h)  30 f ( xi )  16 f ( xi  h)  f ( xi  2h)
f ( xi ) 
2
12 h
contoh
Diberi f(x) = x3, dapatkan f’(2.0) dengan h = 0.1
menggunakan rumus beza depan 2 titik & 3 titik
Penyelesaian:
Buat jadual sendiri utk nilai x yg berkaitan.
I
X
F
0
2.0
1
2.1
2
2.2
PENGAMIRAN BERANGKA
(KUADRATUR)
b

f ( x ) dx

Pengamiran tentu f(x) berbentuk

Tujuan:

a
mendptkan kamiran:


bg fungsi kamiran f(x) yg agak sukar
fungsi kamiran f(x) tidak diketahui dan hanya di
beri maklumatnya dlm
bentuk jadual (set data)
b
 f ( x)dx
a
Jika f(x) adalah fungsi selanjar pd selang [a,b]
maka kamiran tentu mewakili luas di bawah
graf y=f(x) yg dibatasi oleh paksi x, garis x=a
dan garis x=b

y=f(x)
a
b

Kaedah yg akan dibincangkan
merupakan kaedah utk menganggarkan
luas tersebut sbg penghampiran kpd
b
 f ( x)dx
a

kaedah yg selalu digunakan ialah:

Kaedah Newton-Cotes. Terdiri drpd:




Petua Trapezium
Petua Simpson
Kamiran Romberg
Kuadratur Gaussan

Jika dlm kaedah interpolasi, f(x) dpt
dihampiri dgn polinomial penghampiran
Pnb (x), maka
dgn pengamiran tentu:
b
 f ( x)dx   p ( x)dx
n
b
dpt dihampiri olh  pn ( x)dx
a
utk sebarang sub selang x0  x  xn di dlm
selang [a,b]
 Penghampiran ini menjadi hampir tepat
jika ralat e=[f(x)-pn(x)] di dlm selang
(xk,xk+1) cukup kecil
a
a
PETUA TRAPEZIUM
y=f(x)
a

Rumus Petua Trapezium
b

a
h
f ( x)dx   f (a)  f (b), h  b  a
2
b
PETUA TRAPEZIUM
y=f(x)
a
b
Menggunakan penghampiran polinomial
interpolasi linear p1(x) atau garis lurus terhadap
fungsi f(x) yg hendak dikamirkan
 Rumus Petua Trapezium gubahan dgn n sub selang
b
h
a f ( x)dx  2 ( f0  f n )  2( f1  f 2  ... f n1 )

contoh
2
Nilaikan kamiran
x3 + 1.dx dengan bilangan
1
selang,N=4. Gunakan petua trapezium
Penyelesaian:
N=4, a=1, b= 2 N=(b-a)/h  h = (b-a)/N
h = (2-1)/4
h = 0.25
Bina jadual bagi nilai yang diperlukan
k
0
1
2
3
x
1
1.25
1.5
1.75
f(x) 2
2.9531
4.375
6.3594
4
2
9
Gunakan rumus trapezium bg n sub-selang
h[f0 +f4 + 2(f1+f2+f3)]
2
= 0.25 [2+ 9 + 2(2.9531+ 4.375 +6.3594)
2
= 4.7969
PETUA SIMPSON


Ia menggunakan penghampiran interpolasi
kuadratik P2(x) (atau parabola) terhadap
fungsi f(x) yg hendak dikamirkan
Rumus Petua Simpson
b

a

h
ba
f ( x)dx   f (a)  4 f (a  h)  f (b), h 
3
2
Rumus Petua Gubahan Simpson

Ada 2 jenis:


Gubahan satu-pertiga
Gubahan tiga-perlapan

Rumus Petua Gubahan Simpson satupertiga
b
h
a f ( x)dx  3 ( f0  f n )  4( f1  f3  ... f n1 )  2( f 2  f 4  ..  f n2 )
 Rumus Petua Gubahan Simpson tigaperlapan
3h 

( f 3i 2  f 3i 1 )  2 f 3i 
a f ( x)dx  8 ( f0  f n )  3
i 1
i 1

b
N/3
4
(N/3)-1
3
contoh
2
Nilaikan kamiran
x3 + 1.dx dengan bilangan
1
selang,N=4. Gunakan petua SIMPSON 1/3
Penyelesaian:
N=4, a=1, b= 2 N=(b-a)/h  h = (b-a)/N
h = (2-1)/4
h = 0.25
Bina jadual bagi nilai yang diperlukan
k
0
1
2
3
x
1
1.25
1.5
1.75
f(x) 2
2.9531
4.375
6.3594
4
2
9
Gunakan rumus SIMPSON 1/3 bg 4 sub-selang
h[f0 +f3 + 4(f1)+2(f2)]
3
= 0.25 [2+ 9 + 4(2.9531+ 6.3594)+2(4.375)]
3
= 4.75
contoh
Nilaikan kamiran
x3 + 1.dx dengan bilangan
selang,N=3. Gunakan petua SIMPSON 3/8
Penyelesaian:
N=3, a=1, b= 2 N=(b-a)/h  h = (b-a)/N
h = (2-1)/3= 0.333
Bina jadual bagi nilai yang diperlukan
k
0
1
2
3
x
1
1.3333
1.6667
2
f(x) 2
3.3702
5.6299
9
Gunakan rumus SIMPSON 3/8 bg 3 sub-selang
3h[f0 +f4 + 3 (f1+f2)+]
8
= 3(0.3333) [2+ 9 + 3(3.3702+ 5.6299)+ )]
8
= 4.7496
KAMIRAN ROMBERG




Berdasarkan kaedah ekstrapolasi Richardson
dan penggunaan Petua Trapezium sbg
penghampiran awal
Penyelesaian adalah dgn mendapatkan nilai
bagi Ri,1 dan seterusnya Ri,j
Susunan nilai yg dikira digambarkan seperti
rajah berikut.
Kiraan ditamatkan apabila Ri , j  Ri , j 1   bagi
suatu nilai  yang ditetapkan dan ambil
b
sebagai penghampiran terbaik
 f ( x)dx  Ri, j
a

Rumus Romberg bg mendptkan Ri,1:
2

1
Ri ,1   Ri 1,1  hi 1  f 2 k 1 , i  1,2,...,n
2
k 1

Rumus Romberg bg mendptkan Ri,j:
i 2

j 1
Ri , j 

4 Ri , j 1  Ri 1, j 1
4
j 1
1
, i  2,3,...,n dan j  2,3,...,i
Penggunaan Kamiran Romberg tidak melibatkan
kiraan yg rumit tetapi hanya menggunakan nilai
sebelum utk mendapatkan nilai yg baru
y=f(x)
a
i
h
R
i,1
1
h1
R
1,1
2
h2
R
2,1
3
h3
R
3,1
b
R
i,2
R
2,2
R3,2
R
R
i,3
3,3
KUADRATUR GAUSSAN



Rumus Newton-Cotes dan Kamiran Romberg
diperolehi berdasarkan beza antara x yang
seragam.
Tetapi penghampiran pengamiran menjadi
lebih tepat jika titik sampling (x) yg
bersesuaian dipilih. (beza selang mungkin
tidak seragam)
Justeru itu kaedah kaudaratur gaussan
memenuhi penyelesaian ini.
ilustrasi
f(a)
a
f(b)
b
petua trapezium
f(x1)
a x1
f(x2)
x2 b
Petua gauss

Bentuk am rumus kuadratur gauss:
1
n
 f ( t ) dt  
1
i1
i
f ( xi )
Nilai  dan x bergantung kepada nilai n
Ketepatan nilai hampiran bergantung kpd polinomial
berdarjah paling tinggi 2n-1
Jika n = 2 ( 2 titik), rumus tersebut adalah
1
2
 f ( t ) dt  
1
i1
i
f ( x i ) = 1f(x1) + 2f(x2)
Polinomial paling tinggi berdarjah 3 dpt digunakan
sebagai penghampiran
Dgn mengambil f(t) = 1, t, t2, t3 kita perolehi
f(t) = 1
1
1
1
1
1f(x1) + 2f(x2) = -1f(t).dt = -11.dt = 2
  1+  2 = 2
f(t) = t
1f(x1) + 2f(x2) = -1f(t).dt = -1t.dt = 0
 1 x1 +
f(t) = t2
2 x2 = 0
1
1
1f(x1) + 2f(x2) = -1f(t).dt = -1t2.dt = 2/3
 1 x12 +
f(t) = t3
2 x22 = 2/3
1
1
1f(x1) + 2f(x2) =  f(t).dt =  t3.dt = 0
 1 x13 +
-1
 2 x2 3 = 0
-1
Diperolehi
 1=  2 = 1
X1 = -1/3 = -0.5774
X2 = 1/3 = 0.5774
Maka rumus kuadratur Gauss 2 titik ialah
1
 f ( t ) dt
 f ( -0.5774)
) + f(0.5774)
1
f(-1/3)
f(1/3)
-1 -1/3 0 -1/3 1
Perhatikan, batas dalam rumus diatas
ialah [-1, 1]. Jika diberi masalah dalam
sebarang batas [ a, b]. Penukaran batas
perlu dilakukan dari [a, b] - ][-1, 1]
seperti berikut:
b

a
ba
ba
ba
f ( x)dx 
f
t
dt

2 1  2
2 
1
dengan
ba
ba
x
t
2
2
ba
dan dx 
dt
2
Contoh
0.3
Nilaikan ex .dx dengan menggunakan
0.1
kamiran gauss 2 titik
Penyelesaian:
- tukarkan batas
a = 0.1, b= 0.3  x = b-a t + b+a
2
2
 x = (0.2/2)t + (0.4/2)
 x = 0.1 t + 0.2
dx = ((b-a)/2) dt  0.1dt
Gantikan ke dalam persamaan
0.3
f(x) .dx 
0.1
1
0.1 f(0.1t+0.2).dt
-1
1
1
1
1
1
0.1 f(0.1t+0.2).dt  0.1e 0.1t+0.2 .dt
Guna rumus gauss 2 titik
1
 f ( t ) dt
 f ( -0.5774)
) + f(0.5774)
1

0.1[e
0.1(-0.5774)+0.2 +

e 0.1(0.5774)+0.2 ]
Rumus Kuadratur Gauss 3 titik
Rumus diperolehi sama seperti sebelum ini
Polinomial paling tinggi berdarjah 5 (2n-1) dpt
digunakan sebagai penghampiran
Dgn mengambil f(t) = 1, t, t2, t3,t4, t5 kita perolehi
1
3
 f ( t ) dt  
1
i1
i
f ( x i ) = 1f(x1) + 2f(x2) + 3f(x3)
1= 3= 5/9 = 0.5556 , 2 = 8/9=
0.8889
-x1 = x3 = 3/5 = 0.7746 , x2 = 0