Potencias y raíz cuadrada 1

Potencias de exponente natural mayor que 1

En la expresión 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 se repite el mismo factor 14 veces.

Para abreviar escribimos: 3 · 3 · 3 ·3 · 3 · 3 ·3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 3

14 3 14 = 4.782.969

3

14

es una potencia de base

3

y exponente

14

:

La

base

es el factor que se repite.

El exponente indica el número de veces que se repite

3

14

exponente

base

23 4 = 23 · 23 · 23 · 23 23 cuatro veces Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados: 5 2 es el cuadrado de 5.

Las potencias de exponente 3 se llaman cubos: 10 3 es el cubo de 10.

10 3 = 1000

Otros ejemplos:

(a) 2 ·2 · 2 ·2 · 2 ·2 · 2 ·2 · 2 ·2 = 2 10 = 1.024

(b) 6 5 = 6 · 6 · 6 · 6 · 6

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Potencias y raíz cuadrada 2

Potencias de base un número negativo

Si la base es un número negativo: (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = (–3) 4 = 81 Un número positivo .

Pero (–3) · (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = (–3)

En general:

5

= –243 Si el exponente es 4 , resulta un número positivo porque hay un número par de signos negativos. Si el

exponente

es

5

, resulta un número

negativo

porque hay un número impar de signos negativos. Un número Recuerda que (–) · (–) = + y que (–) · (–) · (–) = (–) Las potencias de base negativa y exponente par son positivas.

Las potencias de base negativa y exponente impar son negativas.

negativo (–5) 2 –5 2 .

¡Cuidado!

= 25, pero = –25

Otros ejemplos:

Son positivas: Son negativas

: (a) (–2) 6 = 64 (b) (–4) 2 = 16 (c) (–1)·(–1)·(–1)·(–1)·(–1)·(–1) )·(–1)·(–1) = (–1) 8 = 1 (a) (–2) 5 = –32 (b) (–4) 3 = –64 (c) (–1)·(–1)·(–1)·(–1)·(–1 )·(–1)·(–1) = (–1) 7 = –1

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Potencias y raíz cuadrada 3

En la expresión

Potencia de un producto

(3 · 2 · 5) 3 la base de la potencia es un producto.

es la potencia de un producto Puede hacerse de dos modos: Modo 1º Efectuando antes el producto de la base y después la potencia: (3 · 2 · 5) 3 = 30 3 27.000

Modo 2º Repitiendo la base tantas veces como indica el exponente: (3 · 2 · 5) 3 = ( 3 = ( 3 · 2 · 3 · 5) · ( 3 · 3 ) · ( 2 · 2 · 2 · 5) · ( 3 · 2 · 5) · 2 ) · (5 · 5 · 5) = 3 2 · 2 2 · 5 2 Luego, (3 · 2 · 5) 3 = 3 2 · 2 2 · 5 2 La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores.

Otros ejemplos:

(a) (4 · 8) 2 = 32 2 = 4 2 = 1024 · 8 2 (b) (5 · (–4)) 3 = 5 3 · (–4) 3 = (–20) 3 (c) (2+3) 3 = 5 3 = 125, pero 2 3 + 3 3 = 8 + 27 = 35 ¡Ojo!

Es falso que (2+3) 3 = 2 3 + 3 3

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Potencias y raíz cuadrada 4

Potencia de un cociente

En la expresión (32 : 8) 3 la base de la potencia es un cociente.

es la potencia de un cociente Puede hacerse de dos modos: Modo 1º Efectuando primero el cociente de la base y después la potencia: (32 : 8) 3 = 4 3 64 Modo 2º Repitiendo la base tantas veces como indica el exponente: (32 : 8) 3  32 8 · 32 8 · 32 8  32 8 · 32 · 8 · · 8 32  32 3 8 3 32768 512  64 Luego, (32 : 8) 3 = 32 3 : 8 3 La potencia de un cociente es igual al cociente de la potencia del dividendo y de la potencia del divisor.

Otros ejemplos: (b) [(–15) : 3) (c) (32 – 8) 3 3 = (–5) = 24 3 3 (a) (6 : 2) = –125 4 = 3 4 O también: = 13824, pero 32 3 = 81 – 8 3 O también: 15 3  (  15 )  3 3 3 3 6 2  4   27 = 32768 – 512 = 32256 6 4 2 4 3375   1296 16  125 ¡Ojo! Es falso que (32 – 8) 3 = 32 3 – 8 3

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 81

Potencias y raíz cuadrada 5

Producto de potencias de la misma base

Los factores del producto 4 2 · 4 5 · 4 3 Puede hacerse de dos modos: Modo 1º Directamente, multiplicando: son potencias que tienen la misma base.

Es un producto de potencias de la misma base 4 2 · 4 5 · 4 3 = 16 · 1024 · 64 = 1048576 Modo 2º Escribiendo cada potencia como producto y agrupar después: 4 2 · 4 5 · 4 3 = (4 ·4) · (4 · 4 · 4 · 4 · 4) · (4 ·4 ·4) = 4 2+5+3 = 4 10 Luego, 4 2 · 4 5 · 4 3 = 4 2+5+3 2, 5 y 3 factores El

producto de potencias de la misma base

es igual a una potencia con la misma base, y de exponente la suma de los exponentes de los factores.

Ejemplos: –2 = ( –2) 1

1

. (–2) 4 · (–2) · (–2) 2 = (–2) 4+1+2 = (–2) 7 = –128, utilizando la propiedad vista.

También es igual a: 16 · (–2) · 4 = –128, haciendo los productos de las potencias.

2.

En forma de potencia, la expresión: (a) 9 · (–3) 3 · (–3) = (–3) 2 · (–3) 3 · (–3) = (–3) 6 o 6 1 = 6 Igualmente: (b) 16 · (–2) 3 = (–2) 4 · (–2) 3 = (–2) 7

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Potencias y raíz cuadrada 6

Cociente de potencias de la misma base

El dividendo y el divisor de 6 5 : 6 3 son potencias de la misma base Es un cociente de potencias de la misma base Puede hacerse de dos modos: Modo 1º Modo 2º Calculando las potencias y dividiendo: 6 5 6 3 Desarrollando las potencias y simplificando:  6 5 6 5 : 6 3   6 · 6 · 6 · 6 · 6  6 · 6  6 2  6 5  2 6 3 6 · 6 · 6 7776  36 216 6 5 : 6 3 = 6 5–3 El

cociente de dos potencias de la misma base

es una potencia con la misma base, y con exponente la diferencia entre los exponentes del dividendo y del divisor.

Caso:

El cociente 5 4 : 5 4 = 1 Pero si aplicamos la propiedad 5 4 : 5 4 = 5 4–4 = 5 0 Se admite que: 5 0 = 1; (–7) 0 = 1 Ejercicio: Escribe en forma de potencia: (a) 2 7 : 2 4 (a) 2 7 : 2 4 = 2 7–4 = 2 3 (b) (–5) 6 : (–5) 3 = (–5) 6-3 (b) (–5) = (–5) 3 6 : (–5) 3

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Potencias y raíz cuadrada 7

Potencia de una potencia

La expresión (5 2 ) 4 es una potencia cuya base es otra potencia. Se llama

potencia de una potencia

Puede hacerse de dos modos: Modo 1º Directamente, haciendo la potencia de la potencia: (5 2 ) 4 = (25) 4 = 390625 Modo 2º Escribiendo como producto de potencias y agrupar después:

(5 2 ) 4

= 5 2 ·5 2 · 5 2 · 5 2 = 5 2+2+2+2 =

5 2 · 4

= 5 8 (5 2 ) 4 = 5 2 · 4 La

potencia de una potencia

es igual a otra potencia con la misma base, y de exponente el producto de exponentes.

Ejercicios

1

. Calcula: [(–2) 4 ] 2

2

. Calcula: [(3 5 ) 4 ] 2

3

. Calcula: {[(–1) 3 ] 9 } 7 [(–2) 4 ] 2 = (–2) 4·2 = (–2) 8 = 64 [(3 5 ) 4 ] 2 = 3 5·4·2 = 3 40 {[(–1) 3 ] 9 } 7 = (–1) 3·9·7 = (–1) 189 = –1 3 40 es un número enorme: tiene 20 cifras.

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Potencias y raíz cuadrada 8

Cuadrados perfectos

Cuadrado de lado 1: 1 ficha cuadrada Cuadrado de lado 2: 4 fichas cuadradas Cuadrado de lado 3: 9 fichas 1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 Cuadrado de lado 4: 16 fichas 4 2 = 16 Cuadrado de lado 5: 25 fichas 5 2 = 25 A los números:

1, 4, 9, 16, 25, 36, …

se les llama

cuadrados perfectos

Los

cuadrados perfectos

se obtiene elevando al cuadrado los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

100, 144 y 10000 son cuadrados perfectos, pues: 100 = 10 2 , 144 = 12 2 , 10000 = 100 2

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Potencias y raíz cuadrada 8

Cuadrados perfectos

Cuadrado de lado 1: 1 ficha cuadrada Cuadrado de lado 2: 4 fichas cuadradas Cuadrado de lado 3: 9 fichas 1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 Cuadrado de lado 4: 16 fichas 4 2 = 16 Cuadrado de lado 5: 25 fichas 5 2 = 25 A los números:

1, 4, 9, 16, 25, 36, …

se les llama

cuadrados perfectos

Los

cuadrados perfectos

se obtiene elevando al cuadrado los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

100, 144 y 10000 son cuadrados perfectos, pues: 100 = 10 2 , 144 = 12 2 , 10000 = 100 2

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Potencias y raíz cuadrada 9

Raíz cuadrada exacta

Sabemos que los números:

1, 4, 9, 16, 25, 36, …

de los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

son los

cuadrados perfectos

También se dice que 1, 2, 3, 4, 5, 6, … son la

raíz cuadrada

de los números:

1, 4, 9, 16, 25, 36, …

respectivamente.

Se escribe así: 1  1 4  2 9  3 16  4 25  5

Raíz cuadrada exacta

de número es otro número que elevado al cuadrado es igual al número dado.

La raíz cuadrada es la

operación opuesta

de elevar al cuadrado Ejemplos:

1º.

Como 100 = 10 2 , se cumple que 10  100

2º.

3º.

144  12 y 10000  100 , pues 12 2

Ten en cuenta:

Como 36 = 6 2 = (–6) 2  14 y 100 2  10000 .

, 6 y –6 son raíces cuadradas de 36.

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Potencias y raíz cuadrada 9

Raíz cuadrada exacta

Sabemos que los números:

1, 4, 9, 16, 25, 36, …

de los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

son los

cuadrados perfectos

También se dice que 1, 2, 3, 4, 5, 6, … son la

raíz cuadrada

de los números:

1, 4, 9, 16, 25, 36, …

respectivamente.

Se escribe así: 1  1 4  2 9  3 16  4 25  5

Raíz cuadrada exacta

de número es otro número que elevado al cuadrado es igual al número dado.

La raíz cuadrada es la

operación opuesta

de elevar al cuadrado Ejemplos:

1º.

Como 100 = 10 2 , se cumple que 10  100

2º.

3º.

144  12 y 10000  100 , pues 12 2

Ten en cuenta:

Como 36 = 6 2 = (–6) 2  14 y 100 2  10000 .

, 6 y –6 son raíces cuadradas de 36.

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Potencias y raíz cuadrada 11

Cálculo de la raíz cuadrada por aproximaciones (I)

Paso 1º:

Determinar el número de cifras de la raíz cuadrada del número dado.

Observa: 1  1 100  10 10000  100 1000000  1000

1 cifra

La raíz cuadrada de cualquier número comprendido

entre

1 y 100 tendrá

1 cifra 2 cifras

100 y 10000 tendrá

2 cifras 3 cifras

10000 y 1000000 tendrá

3 cifras

4 cifras Así, por ejemplo: 95 tendrá 1 cifra 324 tendrá 2 cifras 8924 tendrá 2 cifras De otra manera: 39827 tendrá 3 cifras Para averiguar

el número de cifras de la raíz cuadrada de un número

, basta con

formar grupos de dos cifras, empezando por la derecha

(el último grupo puede estar formado por una sola cifra).

La raíz cuadrada tendrá tantas cifras como grupos se hayan formado

.

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Potencias y raíz cuadrada 12 Números 2001 - Matemáticas 1º ESO

Cálculo de la raíz cuadrada por aproximaciones (II)

Paso 2º:

Buscar dos cuadrados perfectos entre los cuales esté el número dado.

Por ejemplo: 12824 Tendrá 3 cifras: será un número entre 100 y 1.000.

Como 100 2

= 10.000 < 12.824 < 40.000 =

200 2

100  12824  200 · Para determinar la cifra de las decenas calculamos los cuadrados de 110, 120, 130, etc.

Como 110 2

= 12.100 y

120 2

= 14.400, 12.100 < 12.834 < 14.400

110  12824  120 · Para determinar la cifra de las unidades calculamos los cuadrados de 111, 112, 113, etc.

Como

:

111 2 113 2

= 12.321 < 12.834,

112 2

= 12.769 < 12.834,

114 2

= 12.544 < 12.834, = 12.996 > 12.834

113  12824  114 Luego, 12824  113 (con resto 55, pues 12.824 – 113 2 = 55). Otro ejemplo: Calcula por aproximación 3456 3456 (tendrá 2 cifras) Probamos con 40 2 , 50 2 , 60 2 , etc.

Luego, 50  3456  60 Haciendo los cuadrados de 51, 52, …, se observa que: 40 2 = 1600 50 2 60 2 = 2500 = 3600 3456 3456  58 , resto 92.

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Potencias y raíz cuadrada 13

Regla para el cálculo de la raíz cuadrada (I)

La regla tradicional para el cálculo de la raíz entera de un número requiere una organización específica que indicamos a continuación.

Para calcular la raíz de un número, por ejemplo 1º. Se divide el radicando en grupos de dos cifras, empezando por la derecha.

2º. Se trazan líneas que faciliten la aplicación de la regla.

3º. Esta regla tiene pasos parecidos a los empleados en la división; también se restará y se bajarán cifras, pero en este caso por grupos de dos 4º. El último paso consistirá en la comprobación: en la prueba de la radicación: 118527 11 11 85 27 85 27 Espacio para operar resto Lugar para la raíz Espacio para pruebas y tanteos 118527 = (raíz) 2 + resto

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Potencias y raíz cuadrada 14

Regla para el cálculo de la raíz cuadrada (II)

Calculemos 118527

2º.

Se hace el cuadrado de 3 y se resta al primer grupo: a 11

3º.

Se baja el segundo grupo de cifras: 85

5º.

Se resta 285 – 256.

7º.

Se baja el tercer grupo de cifras: 27

9

º.

Se resta 2927 – 2736 El número

191

es el resto de la raíz.

11 85 27

–9 3 4 4 6 4 · 4 = 256 68 4 · 4 = 2736 –2 56 29 27 –27 36 191

Por tanto, 118527  344 , y el resto es 191

11º.

Se hace la prueba

: 344 2 + 191 = 118336 + 191 = 118527

1º.

Se calcula la raíz cuadrada del primer grupo de cifras: de 11. Es

3 4º.

Se toma el doble de

3

que es 6: a su izquierda se coloca otro número (6

d

), de modo que (6

d

·d), dé un número lo más próximo a 285, sin superarlo Ese número es 4: 64 · 4 = 256

6º.

El número d (

4

) se coloca a la derecha del 3:

34 8º.

Se toma el doble de 34, 68, y se procede como en

4º

Ese nuevo d vale también 4 . Se multiplica: 684 · 4 = 2736.

10º.

La cifra 4 se coloca a la derecha de 34:

3 4 4 IMAGEN FINAL

Potencias y raíz cuadrada 16

Resolución de problemas

Problema:

Se colocan fichas en filas y en columnas de modo que formen el mayor cuadrado posible. Quedan sin colocar 43 fichas. Si se tuviera 22 fichas más se podría formar un cuadrado sin que sobrara ninguna ficha. ¿Cuántas fichas hay?

Primero: Tantear para comprender mejor Observamos que el número de fichas debe ser un cuadrado perfecto más 43 ( fichas sobrantes). Si ese número fuese 28 , se tendría: 28 2 Sumando a ese número 22 (las fichas que faltan) deberá dar otro cuadrado perfecto. Pero, 827 + 22 = 849 no lo es. + 43 = 784 + 43 = 827. Luego no puede haber 827. El número 28 no es válido.

Segundo: Hacer un dibujo Con las fichas que sobran y faltan (43 + 22 = 65), completaríamos un cuadrado de lado 1 unidad mayor.

Luego 64, que es 65 – 1, es el doble del lado. (Quitamos 1 por que se repite.) El lado valdrá la mitad de 64: 32. El número de fichas será: 32 2 + 43 = 1067.

Tercero: Comprobación.

Si a 1067 se le suman 22: 1067 + 22 = 1089, que es igual a 33 2 .

Sobran

43

Faltan

22 IMAGEN FINAL