AKAR-AKAR PERSAMAAN Muhammad Fitrullah, ST Kuliah Analisa Numerik dan Pemodelan Teknik Metalurgi – Fakultas Teknik Universitas Sultan Ageng Tirtayasa.
Download ReportTranscript AKAR-AKAR PERSAMAAN Muhammad Fitrullah, ST Kuliah Analisa Numerik dan Pemodelan Teknik Metalurgi – Fakultas Teknik Universitas Sultan Ageng Tirtayasa.
AKAR-AKAR PERSAMAAN Muhammad Fitrullah, ST Kuliah Analisa Numerik dan Pemodelan Teknik Metalurgi – Fakultas Teknik Universitas Sultan Ageng Tirtayasa METODE GRAFIS METODE GRAFIS (GRAFICAL METHOD) Metode yang sederhana untuk memperoleh taksiran atas akar persamaan f (x) = 0 adalah membuat gambar grafik fungsi dan mengamati di mana ia memotong sumbu x. Titik ini, yang mewakili nilai x untuk mana f (x) = 0, memberikan aproksimasi (hampiran) kasar dari akar. Nilai praktis dari teknik-teknik grafis sangat terbatas karena kurang tepat. Namun, metode grafis dapat di manfaakan untuk memperoleh taksiran kasar dari akar. Taksiran-taksiran ini dapat diterapkan sebagai terkaan awal untuk metode numerik yang di bahas di sini dan bab berikutnya. Misalnya perangkat lunak komputer TOOLKIT Elektronik yang menyertai naskah ini memperbolehkan anda untuk menggambarkan fungsi pada suatu rentang tertentu. Gambaran ini dapat digunakan untuk memilih terkaan yang mengurung akar sebelum mengimplementasikan metode numerik. Pilihan penggambaran akan sangat meningkatkan kegunaan perangkat lunak tersebut. Selain menyediakan terkaan kasar untuk akar, taksiran grafis merupakan sarana yang penting untuk memahami sifat-sifat fungsi dan mengantisipasi kesukarankesukaran yang tersembunyi dari metodemetode numerik F (x) x (a) F (x) x (b) F (x) x (c) F (x) x (d) (x i) (x ii) GAMBAR 1. Ilustrasi sejumlah cara umum bahwa suatu akar mungkin terjadi dalam selang yang di tentukan oleh batas bawah xi dan batas atas xu. Bagian (a) dan (c) menunjukan bahwa jika f(xi) dan f(xu) keduanya bertanda sama, maka di dalam selang tidak akan terdapat akar sebanyak bilangan genap. Bagian (b) dan (d) menunjukkan bahwa jika fungsi berbeda pada tanda titik-titik ujung, maka dalam selang akan terdapat akar sebanyak bilangan ganjil. METODE BAGI DUA (Bisection Method) Bisection (Metode Bagi Dua) Prinsip: Ide awal metode ini adalah metode table, dimana area dibagi menjadi N bagian. Hanya saja metode biseksi ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan. Langkah – langkah dalam menyelesaikan Metode Bagi Dua : Langkah 1 : Pilih a sebagai batas bawah dan b sebagai batas atas untuk taksiran akar sehingga terjadi perubahan tanda fungsi dalam selang interval. Atau periksa apakah benar bahwa f(a) . f(b) < 0 Taksiran nilai akar baru, c diperoleh dari : Langkah 3 : ab c 2 Menentukan daerah yang berisi akar fungsi: Langkah 3 : Jika z merupakan akar fungsi, maka f(x < z) dan f(x > z) saling berbeda tanda. f(a)*f(c) negatif, berarti di antara a & c ada akar fungsi. f(b)*f(c) positif, berarti di antara b & c tidak ada akar fungsi Menentukan kapan proses pencarian akar fungsi berhenti: Langkah 4 : Proses pencarian akar fungsi dihentikan setelah keakuratan yang diinginkan dicapai, yang dapat diketahui dari kesalahan relatif semu. Contoh : Carilah salah satu akar persamaan berikut: xe-x+1 = 0 disyaratkan bahwa batas kesalahan relatif (εa) =0.001 dengan menggunakan range x=[−1,0] Dengan memisalkan bahwa : (xl) = batas bawah = a ab (xu) = batas atas =b 2 (xr) = nilai tengah = x maka diperoleh tabel biseksi sebagai berikut : Pada iterasi ke 10 diperoleh x = -0.56738 dan f(x) = -0.00066 Untuk menghentikan iterasi, dapat dilakukan dengan menggunakan toleransi error atau iterasi maksimum. Catatan : Dengan menggunakan metode biseksi dengan tolerasi error 0.001 dibutuhkan10 iterasi, semakin teliti (kecil toleransi errornya) maka semakin bear jumlah iterasi yang dibutuhkan. “ METODA POSISI SALAH ATAU PALSU “ False Position Prinsip: Di sekitar akar fungsi yang diperkirakan, anggap fungsi merupakan garis lurus Titik tempat garis lurus itu memotong garis nol ditentukan sebagai akar fungsi. LANGKAH -LANGKAH 1.Perkirakan akar fungsi (bisa dengan cara memplot fungsi). 2. Tentukan batas awal yang mengurung akar fungsi. 3. Tarik garis lurus penghubung nilai fungsi pada kedua batas, lalu cari titik potongnya dengan garis nol. 4. Geser salah satu batas ke titik potong itu, sementara batas lain tidak berubah. Ulangi langkah 3. 5. Ulangi langkah 4 sampai dianggap cukup. 6. Titik potong garis nol dan garis lurus yang terakhir dinyatakan sebagai akar fungsi. Metode false position juga menggunakan dua batas seperti metode bisection. Namun, berbeda dari metode bisection, pada metoda false position hanya satu batas yang berubah. Pada contoh sebelum ini, batas a berubah sementara batas b tetap. Pada contoh berikut terjadi sebaliknya. Menghitung akar fungsi dengan metode false position, menggunakan a dan b sebagai batas awal: • jika batas a tetap, batas b berubah: • jika batas b tetap, batas a berubah: • kesalahan relatif semu: Penghitungan dihentikan jika kesalahan relatif semu sudah mencapai / melampaui batas yang diinginkan. Catatan: (Metoda Posisi Palsu) Metoda ini menggabungkan ide metoda biseksi dan metoda secant. Dalam penyelesaian f (x) = 0, ditentukan suatu interval [po,p1] dimana f kontinyu pada interval ini, dan f(po) . f(p1) < 0 (berlawanan tanda). Metode Iterasi Satu Titik Sederhana Metode iterasi sederhana adalah metode yang memisahkan x dengan sebagian x yang lain sehingga diperoleh : x = g(x). dikenal juga sebagai metode x = g(x) Bentuk iterasi satu titik ini dapat dituliskan dalam bentuk x(n+1)=g(xn) Dimana n=0,1,2,3,.... Contoh Gunakan metode iterasi satu titik untuk mendapatkan akar dari x 3x 20 0 3 Langkah – langkah penyelesaian menyusun kembali persamaan tersebut dalam bentuk x=g(x). x 3 (3x 20) x 20 x 3 20 x 2 x 3 ………. (1) 3 20 x (3 ) x ………. (2) ………. (3) ………. (4) Dari rumusan pertama dapat dinyatakan persamaan iterasinya sebagai dengan n = 1,2,3,..... 3 (3x 20) x ( n 1 ) n dari nilai xo = 1, maka: Jika diambil x1 3 (3 1 20) 2.843867 x 2 3 (3 2.843867 20) 3.055686 Dan seterusnya. Hasilnya dapat ditabelkan sebagai berikut Nilai Iterasi dari persamaan 1 iterasi x g(x) Ea 1 1 2.843867 2 2.843867 3.055686 6.931961 3 3.055686 3.078205 0.731565 4 3.078205 3.08058 0.077088 5 3.08058 3.08083 0.008122 6 3.08083 3.080856 0.000856 7 3.080856 3.080859 9.02E-05 8 3.080859 3.080859 9.5E-06 9 3.080859 3.080859 1E-06 10 3.080859 3.080859 1.05E-07 Nilai Iterasi dari persamaan 2 iterasi x g(x) Ea 1 1 -6.33333 2 -6.33333 -91.3457 93.06663 3 -91.3457 -254070 99.96405 4 -254070 -5.5E+15 100 5 -5.5E+15 -5.4E+46 100 6 -5.4E+46 -5E+139 100 7 -5E+139 8 9 10 Nilai Iterasi dari persamaan 3 iterasi x g(x) Ea 1 1 -10 2 -10 0.206186 4950 3 0.206186 -6.7625 103.049 4 -6.7625 0.46804 1544.854 5 0.46804 -7.19182 106.508 6 -7.19182 0.41049 1852.007 7 0.41049 -7.0634 105.8115 8 -7.0634 0.426516 1756.071 9 0.426516 -7.09702 106.0098 10 -7.09702 0.422229 1780.847 Nilai Iterasi dari persamaan 4 iterasi x g(x) Ea 1 1 4.795832 2 4.795832 2.677739 -79.1 3 2.677739 3.235581 17.24086 4 3.235581 3.030061 -6.78272 5 3.030061 3.098472 2.207889 6 3.098472 3.074865 -0.76773 7 3.074865 3.082913 0.26104 8 3.082913 3.080158 -0.08944 9 3.080158 3.081099 0.030566 10 3.081099 3.080777 -0.01045 Dari hasil di atas nampaknya persamaan 2 dan 3 memberikan hasil yang tidak konvergen. Persamaan 4, seperti halnya persamaan 1, mampu memberikan nilai akar yang kita cari. Pengertian Salah satu metode penyelesaian akar-akar persamaan non linier f(x), dengan menentukan satu nilai tebakan awal dari akar yaitu xi Grafik Pendekatan Metode Newton-Raphson f ( xi ) Kemiringan f ' ( xi ) f (x) xi 1 f ( xi1 ) Kemiringan f ' ( xi 1) f ( xi ) f ( xi1 ) 0 xi2 xi1 xi xi1 xi x Langkah-langkah penyelesaian Metode Newton-Raphson Langkah 1 Cari f’(x) dan f”(x) dari f(x) Langkah 2 Tentukan titk x0 dan Uji sesuai : f(x0 ).f"(x0 ) 1 f'(x0 ).f'(x0 ) Apakah memenuhi syarat persamaan? Jika tidak, cari nilai xo baru. Langkah 3 Lakukan iterasi dengan persamaan : f ( xi ) xi 1 xi f ' ( xi ) Contoh Soal: Pernyataan Masalah: Gunakan Metode Newton-Raphson untuk menaksir akar dari : f(x) = e-x-x menggunakan sebuah tebakan awal x0= 0. Solusi : Langkah 1: Turunan pertama dan kedua dari fungsi f(x) = e-x-x dapat dievaluasikan sebagai : x f ' ( x) e 1 f ' ' ( x) e x x0 0 Langkah 2: Lakukan uji syarat persamaan f ( x0 ). f " ( x0 ) 1 f ' ( x0 ). f ' ( x0 ) 1.(1) 1 (2).(2) f ( x 0) e 0 0 1 f ' ( x 0 ) e 0 1 2 f ' ' ( x 0 ) e 0 1 1 1 1 1 4 4 memenuhi syarat persamaan, sehingga akar-akarnya dapat dicari dengan metode Newton-Raphson Langkah 3: Lakukan Iterasi dengan : f ( xi ) xi 1 xi f ' ( xi ) Akar x akan semakin akurat, jika nilai f(x) semakin mendekati 0 Iterasi, i 0 1 2 3 4 akar x4 xi 0 0,500000000 0,566311003 0,567143165 0,567143290 f(xi)=e-x-x f’(xi)=-e-x1 1 0,106530659 1,304510116x10-3 1,96536x10-7 6,43x10-10 -2 -1,60653066 -1,567615513 -1,567143362 -1,567143291 f(x4) dekat dengan harga 0 Kelemahan Metode Newton-Raphson 1. Jika fungsi f(x) mempunyai beberapa akar (titik) penyelesaian, akar-akar penyelesaian tersebut tidak dapat dicari secara bersamaan. 2. Tidak dapat mencari akar kompleks (imajiner). 3. Tidak bisa mencari akar persamaan yang tidak memenuhi persyaratan persamaannya, meskipun ada akar penyelesaiannya. 4. Untuk persamaan non linier yang cukup kompleks, pencarian turunan pertama dan kedua f(x) akan menjadi sulit. METODE SECANT “METODE SECANT” Waktu di SMA, kita sering menyelesaikan persamaan kuadrat yaitu berbentuk f(x) = a. x²+ b.x+ c misalnya persamaan kuadrat: x²- 9 = 0, maka akar-akarnya dapat ditentukan dengan persamaan abc x = (-b ± √ b²-4.ac)/2a Maka akar x2- 9 = adalah x1= + 3 dan x2= 3 Hasil perhitungan dari rumus ABC merupakan akar-akar bagi persamaan tersebut. Akar-akar tersebut memberikan nilai-nilai x yang menjadikan persamaan itu sama dengan nol. Namun untuk bentuk-bentuk persamaan non-linear dengan derajat lebih dari dua, terkadang akan ditemukan kesulitan untuk mendapatkan akar-akarnya. Untuk itu diperlukan metode-metode untuk mencari akar bagi persamaan non-linear tersebut. Diantaranya adalah Metode Grafik, Metode Interval Tengah ( Bisection Method ), Metode Interpolasi Linear, Metode Secant, Metode Newton-Raphson, Metode Muller, Metode Literasi Satu Titik : Metode x= g(x), dan Metode Bairstow. Namun disini kami hanya membahas tentang penyelesaian persamaan non-linear dengan menggunakan Metode Secant. Metode Secant merupakan perbaikan dari Metode Newton, yaitu nilai turunan f'(x) didekati dengan beda hingga (∆) gambar 1. Penentuan nilai turunan fungsi dengan metode Secant. Dimana, Sehingga dalam persamaan Newton-Rhapson menjadi: Algoritma program untuk metode Secant: Tentukan X0, X1, toleransi, dan jumlah iterasi maksimum. Hitung Xbaru = X1 - f(X1)( X1- X0)/f(X1 X0). Jika nilai mutlak (Xbaru - X1) < toleransi, diperoleh tulisan xbaru sebagai hasil perhitungan. jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya. Jika jumlah iterasi > iterasi maksimum, akhiri program. X = Xbaru, dan kembali ke langkah (2). Contoh 1: hitung akar persamaan dari : f(x) = x³ - 3x - 20, Perkiraan awal X 1= 6, f(6)=178 X 2= 2, f(2)=-18 iterasi pertama: x3=178-6 =2.3673469 iterasi kedua: X 2= 2 , f(2)=-18 x3=2.3673469, f(2.3673469)= -13.83464426 x4= 2.3673469--13.83464426 =3.587438053 Iterasi X1 X2 X3 f(x1) f'(x2) f(x3) 1 6 2 2.367346900 178 -18 -13.83464426 2 2 2.367346900 3.587438053 -18 -13.83464426 15.40697963 3 2.367346900 3.587438053 2.944590049 -13.83464426 15.40697963 -3.302376572 4 3.587438053 2.944590049 3.058058742 15.40697963 -3.302376572 -0.576057128 5 2.944590049 3.058058742 3.082034087 -3.302376572 -0.576057128 0.029936467 5 3.058058742 3.082034087 3.080849690 -0.576057128 0.029936467 -0.000248906 5 3.082034087 3.080849690 3.080859456 0.029936467 -0.000248906 -1.06044E-07 Contoh 2 hitung akar persamaan dari : y = x³+ x²- 3x-3 dengan menggunakan metode secant, disyaratkan bahwa batas kesalahan relatif < 0.01%. Hasil : Iterasi x0 1 1 2 x1 x2 F(x0) F(x1) 2 1,571429 -4 3 2 1,571429 1,705411 3 -1,36443 7,856304 3 1,571429 1,705411 1,735136 -1,36443 -0,24775 1,713119 4 1,705411 1,735136 1,731996 -0,24775 0,029255 -0,18126 5 1,735136 1,731996 1,732051 0,029255 -0,00052 0,003137 6 1,731996 1,732051 1,732051 -0,00052 -1E-06 6,34E-06 fx ( x 102 a εa(%) Keuntungan: cepat konvergen Kerugian: tidak selalu konvergen (bisa divergen) METODE TERBUKA AKAR GANDA Akar ganda berpadanan dengan suatu titik dimana fungsi menyinggung sumbu x. Misalnya, akar ganda-dua dihasilkan dari persamaan f ( x) x 5x 7 x 3 3 2 f ( x) x 3x 1x 1 x=1 Akar ganda Akar ganda dua Akar ganda tiga Akar ganda empat Dan seterusnya Penyelesaian akar ganda Ralston dan Rabinowitz (1978) xi 1 f ( xi ) xi m f ' ( xi ) Kelemahan: multiplisitas akar harus diketahui Dimana m adalah bilangan multiplisitas akar Misalnya : akar tunggal, m = 1 akar ganda dua, m = 2 akar ganda tiga, m = 3, dst Penyelesaian akar ganda Ralston dan Rabinowitz mendefinisikan suatu fungsi baru yaitu: f ( x) u ( x) f ' ( x) yaitu untuk mengembangkan suatu bentuk alternatif dari metode Newton-Rapshon menjadi: xi 1 u xi xi u ' xi Penyelesaian akar ganda Persamaan tersebut dideferensialkan untuk memberikan: u ' ( x) f ' ' ( x) f ' ( x) f ( x) f ' ' ( x) f ' ( x) 2 dan setelah disubtitusikan ke persamaan semula menjadi: Penyelesaian akar ganda Metode Newton-Rapshon yang dimodifikasi untuk akar ganda xi 1 xi f ( xi ) f ' ( x ) f ' ( xi ) 2 f ( xi ) f ' ' ( xi ) STUDI KASUS DESAIN RANGKAIAN LISTRIK 11/6/2015 65 Latar belakang Hukum Kirchoff untuk mempelajari keadaan mantap (tidak berubah terhadap waktu) dari rangkaian listrik. Masalah lainnya adalah keadaan transien mencangkup rangkaian dimana perubahan periode secara mendadak 11/6/2015 66 Saat tercapai steady state baru, terjadi penyesuaian diikuti penutupan sakelar Lama periode penyesuaian, tergantung pada: 1) sifat penyimpan muatan (kapasitor) 2) sifat penyimpan energi (induktor) Dalam rangkaian listrik, bila sakelar ditutup, arus akan mengalami osilasi sampai tercapai steady state baru. 11/6/2015 67 q C Rumus Arus penurunan tegangan (VR) tahanan VR=iR q C Arus induktor di dt perubahan tegangan (VL) L VL = L di dt Besar perubahan tegangan sepanjang kapasitor (Vc) VC = 11/6/2015 q C 68 Hkm. Kirchhoff II : Penjumlahan aljabar dari tegangan di sekeliling rangakaian tertutup adalah nol • Setelah sakelar ditutup: L di q Ri 0 dt C • Arus dihubungkan dengan muatan: i dq dt • Karenanya: 11/6/2015 d 2q dq q L 2 R 0 dt C dt 69 Solusi yang diberikan: q(t ) q0 e Rt / 2 L Cos 2 1 R t LC 2 L Dimana: t=0, q=qo=VoC, Vo=teg. Muatan baterai. Q(t) digambarkan: Ket: Muatan pada sebuah kapasitor sebagai fungsi waktu diikuti penutupan sakelar 11/6/2015 70 Sejenis persoalan desain teknik elektro bisa meliputi penentuan harga tahanan yang layak untuk mendisipasikan energi pada suatu kelajuan tertentu dengan harga L dan C yang diketahui. Untuk studi kasus sekarang, dianggap muatan harus didisipasikan hingga 1% dari harga awalnya (q/q0 = 0.01)dalam waktu t = 0.05 detik , dengan L = 5H dan C = 10-4F. Solusi : Perlu diselesaikan Persamaan (6.11) untuk R dengan harga-harga yang diketahui yaitu q,q0,L dan C. Metode bagi dua akan digunakan untuk keperluan ini. 11/6/2015 71 Dengan mengatur kembali persamaan sebelumnya: 2 f ( R) e Rt / 2 L 1 R q Cos t LC 2L q0 • Atau memakai harga numerik: f ( R) e 0.05 R Cos 2000 0.01R 0.05 0.01 2 Pemeriksaan terhadap persamaan ini menyarankan bahwa bentangan awal bagi R yang cukup pantas adalah 0 sampai 400( karena 2000-0.01R2 harus lebih besar dari nol) Gambar 6.7 yaitu suatu grafik dari Persamaan (6.12) memastikan hal ini.Dua puluh iterasi metode bagi dua memberikan R = 328.1515dengan suatu kesalahan yang lebih kecil dari 0.0001% 11/6/2015 72 Ket: Grafik ini dipakai untuk memperoleh tebakan awal bagi R yang mengurung R 11/6/2015 73