Transcript Persamaan Non Linier-2

PERSAMAAN NON LINEAR
METODE TERTUTUP:
• Metode Biseksi
• Metode Regula-Falsi
METODE BISEKSI
1. membagi range menjadi 2 bagian
2. dari dua bagian ini dipilih bagian mana
yang mengandung akar dan bagian yang
tidak mengandung akar dibuang
3. lakukan langkah 1&2 berulang-ulang
hingga diperoleh akar persamaan
(dimana f(x) = 0 atau mendekati 0)
METODE BISEKSI
1. tentukan batas bawah (a) dan batas atas (b).Kemudian
dihitung nilai tengah :
ab
x=
2
2. Lakukan pengecekan keberadaan akar pada nilai x.
Secara matematik, suatu range terdapat akar
persamaan bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau
dituliskan :
f(a) . f(b) < 0
3. Setelah diketahui dibagian mana terdapat akar, maka
batas bawah dan batas atas di perbaharui sesuai
dengan range dari bagian yang mempunyai akar.
Tahapan/Algoritma
METODE BISEKSI
1. Definisikan fungsi f(x)
2. Tentukan nilai a dan b (batas bawah dan batas atas [a,b])
3. Tentukan nilai toleransi  dan iterasi maksimum (N)
  nilai toleransi lebar selang yang mengurung akar
4.
5.
6.
7.
8.
Hitung f(a) dan f(b)
Jika f(a).f(b)>0  proses berhenti (tidak ada akar)
Jika f(a).f(b)<0  hitung x = (a+b)/2
Hitung f(x)
Cek! Jika f(a).f(x)<0  range baru adalah [a,x], dimana
nilai b=x, f(b)=f(x)
9. Cek! Jika f(a).f(x)>0  range baru adalah [x,b], dimana
nilai a=x, f(a)=f(x)
Tahapan/Algoritma
METODE BISEKSI
Iterasi akan berhenti JIKA:
1. Lebar range baru  |a-b| < 
dimana,   nilai toleransi lebar selang yang mengurung akar
2. Nilai f(x)  0
3. Error relatif hampiran akar  |(xlama – xbaru)/xbaru| < 
dimana,   error relatif hampiran yang diinginkan
4. Iterasi > iterasi maksimum
BILA tidak memenuhi kriteria berhenti, MAKA ULANGI
tahapan ke 6 (enam)
Contoh METODE BISEKSI
•
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
•
Selesaikan persamaan xe-x+1 = 0, dengan menggunakan
range x=[-1,0] dan tolerasi  0.001
a
-1.00000000
-1.00000000
-0.75000000
-0.62500000
-0.62500000
-0.59375000
-0.57812500
-0.57031250
-0.57031250
-0.56835938
x
-0.50000000
-0.75000000
-0.62500000
-0.56250000
-0.59375000
-0.57812500
-0.57031250
-0.56640625
-0.56835938
-0.56738281
b
0.00000000
-0.50000000
-0.50000000
-0.50000000
-0.56250000
-0.56250000
-0.56250000
-0.56250000
-0.56640625
-0.56640625
f(a)
-1.71828183
-1.71828183
-0.58775001
-0.16765372
-0.16765372
-0.07514236
-0.03061924
-0.00878000
-0.00878000
-0.00336366
f(x)
0.17563936
-0.58775001
-0.16765372
0.01278176
-0.07514236
-0.03061924
-0.00878000
0.00203538
-0.00336366
-0.00066198
f(b)
selang baru
1.00000000
[a,x]
0.17563936
[x,b]
0.17563936
[x,b]
0.17563936
[a,x]
0.01278176
[x,b]
0.01278176
[x,b]
0.01278176
[x,b]
0.01278176
[a,x]
0.00203538
[x,b]
0.00203538
[x,b]
lebar selang baru
0.500000000000000
0.250000000000000
0.125000000000000
0.062500000000000
0.031250000000000
0.015625000000000
0.007812500000000
0.003906250000000
0.001953125000000
0.000976562500000
pada iterasi ke 10, ditemukan x = -0,56835938 dengan f(x)
= -0,000666198, dan |a-b| mendekati  yaitu 0,000976525…
METODE REGULA-FALSI
• metode pencarian akar persamaan
dengan memanfaatkan kemiringan dan
selisih tinggi dari dua titik batas range
• Dua titik a dan b pada fungsi f(x)
digunakan untuk mengestimasi posisi c
dari akar interpolasi linier
• Dikenal dengan metode False Position
METODE REGULA-FALSI
• metode pencarian akar persamaan
dengan memanfaatkan kemiringan dan
selisih tinggi dari dua titik batas range
• Dua titik a dan b pada fungsi f(x)
digunakan untuk mengestimasi posisi c
dari akar interpolasi linier
• Dikenal dengan metode False Position
METODE REGULA-FALSI
f (b)  f (a) f (b)  0

ba
bx
f (b)(b  a)
x b
f (b)  f (a)
Tahapan/Algoritma
METODE REGULA-FALSI
1.
2.
3.
Definisikan fungsi f(x)
Tentukan range[a,b] (batas bawah dan batas atas)
Tentukan nilai toleransi  dan iterasi maksimum (N)
  nilai toleransi lebar selang yang mengurung akar
4.
5.
6.
7.
Hitung f(a) dan f(b)
Pada iterasi ke 1 s.d ke N, hitung:
–
Nilai X
–
Hitung f(x)
x b
f (b)(b  a)
f (b)  f (a)
Cek! Jika f(a).f(x)<0  range baru adalah [a,x], dimana nilai b=x,
f(b)=f(x)
Cek! Jika f(a).f(x)>0  range baru adalah [x,b], dimana nilai a=x,
f(a)=f(x)
Contoh
METODE REGULA-FALSI
•
Selesaikan persamaan xe-x+1 = 0, dengan menggunakan
range x=[-1,0]
a
x
b
f(a)
f(x)
f(b)
selang baru
lebar selang baru
1
-1.00000000
-0.36787944
0.00000000
-1.71828183
0.46853639
1.00000000
[a,x]
0.632120558828558
2
-1.00000000
-0.50331433
-0.36787944
-1.71828183
0.16742008
0.46853639
[a,x]
0.496685667867014
3
-1.00000000
-0.54741205
-0.50331433
-1.71828183
0.05364869
0.16742008
[a,x]
0.452587949055602
4
-1.00000000
-0.56111504
-0.54741205
-1.71828183
0.01657537
0.05364869
[a,x]
0.438884956205268
5
-1.00000000
-0.56530829
-0.56111504
-1.71828183
0.00506290
0.01657537
[a,x]
0.434691710896212
6
-1.00000000
-0.56658534
-0.56530829
-1.71828183
0.00154103
0.00506290
[a,x]
0.433414658191591
7
-1.00000000
-0.56697370
-0.56658534
-1.71828183
0.00046855
0.00154103
[a,x]
0.433026300851106
8
-1.00000000
-0.56709175
-0.56697370
-1.71828183
0.00014242
0.00046855
[a,x]
0.432908252338095
9
-1.00000000
-0.56712763
-0.56709175
-1.71828183
0.00004328
0.00014242
[a,x]
0.432872374140620
10
-1.00000000
-0.56713853
-0.56712763
-1.71828183
0.00001315
0.00004328
[a,x]
0.432861470216905
11
-1.00000000
-0.56714184
-0.56713853
-1.71828183
0.00000400
0.00001315
[a,x]
0.432858156392051
12
-1.00000000
-0.56714285
-0.56714184
-1.71828183
0.00000121
0.00000400
[a,x]
0.432857149287304
13
-1.00000000
-0.56714316
-0.56714285
-1.71828183
0.00000037
0.00000121
[a,x]
0.432856843218383
14
-1.00000000
-0.56714325
-0.56714316
-1.71828183
0.00000011
0.00000037
[a,x]
0.432856750201096
15
-1.00000000
-0.56714328
-0.56714325
-1.71828183
0.00000003
0.00000011
[a,x]
0.432856721932251
16
-1.00000000
-0.56714329
-0.56714328
-1.71828183
0.00000001
0.00000003
[a,x]
0.432856713341079
17
-1.00000000
-0.56714329
-0.56714329
-1.71828183
0.00000000
0.00000001
[a,x]
0.432856710730139
Contoh
METODE REGULA-FALSI
•
pada iterasi ke 17, ditemukan x = -0,56714329 dengan
f(x) = 0
TUGAS
1. Temukan akar f(x)=ex-5x2 dalam
range[0,1] dan  = 0,00001
(menggunakan metode Biseksi)