Open Course Selamat Belajar oleh: Sudaryatno Sudirham Tujuan mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan rangkaian orde kedua. memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan paksa.
Download ReportTranscript Open Course Selamat Belajar oleh: Sudaryatno Sudirham Tujuan mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan rangkaian orde kedua. memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan paksa.
Slide 1
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 2
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 3
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 4
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 5
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 6
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 7
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 8
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 9
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 10
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 11
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 12
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 13
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 14
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 15
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 16
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 17
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 18
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 19
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 20
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 21
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 22
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 23
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 24
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 25
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 26
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 27
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 28
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 29
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 30
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 31
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 32
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 33
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 34
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 35
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 36
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 37
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 2
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 3
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 4
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 5
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 6
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 7
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 8
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 9
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 10
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 11
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 12
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 13
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 14
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 15
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 16
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 17
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 18
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 19
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 20
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 21
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 22
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 23
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 24
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 25
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 26
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 27
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 28
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 29
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 30
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 31
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 32
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 33
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 34
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 35
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 36
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham
Slide 37
Open Course
Selamat Belajar
oleh: Sudaryatno Sudirham
Tujuan
mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan
rangkaian orde kedua.
memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan
paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi.
mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde
kedua.
Bentuk Umum
Persamaan Rangkaian
Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
y = tanggapan rangkaian yang dapat
berupa tegangan ataupun arus
fungsi pemaksa atau
fungsi penggerak.
tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilai elemen yang membentuk rangkaian
Persamaan diferensial orde ke-dua muncul karena
rangkaian mengandung kapasitor dan induktor
dengan tegangan sebagai
peubah status
dengan arus
sebagai peubah status
sedangkan peubah dalam persamaan rangkaian
harus salah satu di ataranya, tegangan atau arus
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Alami
Tanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) bernilai nol:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy 0
dt
Dugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai
K dan s yang masih harus ditentukan.
Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh
aKs
Ke
st
2
e
st
as
2
bKse
st
cKe
st
0
atau
bs c 0
Bagian ini yang harus bernilai nol yang
memberikan persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
2
as bs c 0
Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu
mempunyai dua akar yaitu
s1 , s 2
2
b
b 4 ac
2a
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai
dua solusi homogen, yaitu
y a1 K 1e
s1 t
dan
ya 2 K 2e
s2t
dan tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk
y a K 1e
s1 t
K 2e
s2t
Seperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini
diperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Paksa
Tanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian di
mana x(t) 0:
2
a
d y
dt
2
b
dy
cy x ( t )
dt
Bentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)
sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaitu
Jika x ( t ) 0 , maka
yp 0
Jika x ( t ) A konstan,
t
maka
Jika
x ( t ) Ae
Jika
x ( t ) A sin t , maka
Jika
x ( t ) A cos t , maka
y p konstan K
eksponensi al, maka
y p eksponensi al Ke
y p K c cos t K s sin t
y p K c cos t K s sin t
Perhatikan : y K c cos t K s sin t adalah bentuk umum
fungsi sinus maupun
cosinus .
t
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tanggapan Lengkap
Tanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alami
dan tanggapan paksa
y y p y a y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awal
Jika rangkaian mengandung C dan L, dua elemen
ini akan cenderung mempertahankan statusnya.
Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi
yaitu
vC (0 ) vC (0 )
dan
iL (0 ) iL (0 )
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Kondisi Awal
Secara umum, kondisi awal adalah:
y (0 ) y (0 )
dan
dy
(0 ) y ' (0 )
dt
Nilai sesaat sebelum dan sesudah
penutupan/pembukaan saklar harus sama, dan
laju perubahan nilainya harus kontinyu
y
y
0
t
Pada rangkaian orde
pertama dy/dt(0+) tidak
perlu kontinyu
0
t
Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0+)
harus kontinyu sebab ada d2y/dt2
dalam persamaan rangkaian yang
hanya terdefinisi jika dy/dt(0+) kontinyu
Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde Ke-dua
Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan
Persamaan karakteristik
as
2
bs c 0
dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0;
c). Dua akar kompleks konjugat s1,s2 = j jika {b24ac } < 0.
Tiga kemungkinan akar ini akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk tanggapan
Persamaan karakteristik dengan
dua akar riil berbeda,
s1 s2, {b2 4ac } > 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-1
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
8,5 k
Saklar S telah lama berada pada posisi 1.
Pada t = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
Pada t = 0- : i ( 0 ) 0 dan v ( 0 ) 12 V
Persamaan Rangkaian pada t > 0 : v L
di
Ri 0
dt
Karena i = -iC = -C dv/dt, maka: v LC
2
d v
dt
2
d v
dt
2
2
R dv
RC
dt
2
0
dt
L dt
8 ,5 10
v
0
LC
2
d v
dv
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan karakteristik:
s
2
3
8 , 5 10 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
3
6
0
2
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal: v C ( 0 ) 15 V dan i L ( 0 ) 0
Karena persamaan rangkaian menggunakan v
sebagai peubah maka kondisi awal arus iL(0+)
harus diubah menjadi dalam tegangan v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dv C ( 0 )
dt
0
dt
0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Kondisi awal:
v ( 0 ) 15 V
dv ( 0 )
0
dt
500 t
8000 t
K 2e
Dugaan tanggapan lengkap: v 0 K 1 e
0 500 K 1 8000 K 2
15 K1 K 2
0 500 K 1 8000 (15 K 1 )
K1
8000 15
16
K 2 1
7500
Tanggapan lengkap menjadi: v 16 e 500 t e 8000 t V
(hanya ada tanggapan alami).
Ini adalah pelepasan muatan kapasitor pada
rangkaian R-L-C seri
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan
lengkap : v 16 e
500 t
e
8000 t
V
16
v
[V] 12
v
8
4
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-4
Perhatikan bahwa pada t = 0+ tegangan kapasitor adalah 15 V
Pada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,
ada perlawanan dari induktor yang menyebabkan
penurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Contoh-2
1H
S
+
19 V
+
v
iC
0,25 F
Saklar S telah lama tertutup.
Pada t = 0 saklar dibuka.
Tentukan perubahan tegangan
kapasitor dan arus induktor.
i
8,5 k
Sebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.
i L (0 )
19
8500
Persamaan Rangkaian pada t > 0 :
i iC C
vC (0 ) 0 V
2 mA
dv C
dt
did 2 v
dv
L
Ri
0
vvLC
RC
0
dtdt 2
dt
2
d v
dt
2
R dv
L dt
dt
2
8 ,5 10
0
LC
2
d v
v
3
dv
dt
6
4 10 v 0
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Persamaan
karkterist ik : s 8 ,5 10 s 4 10 0
2
3
akar - akar : s1 , s 2 4250 10
Dugaan ta
nggapan
lengkap
3
6
( 4 , 25 ) 4 500 , 8000
2
: v 0 K 1e
500 t
K 2e
8000 t
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi awal:
i L ( 0 ) 2 mA
vC (0 ) 0 V
dan
Karena persamaan rangkaian menggunakan v sebagai
peubah maka kondisi awal iL(0+) harus diubah menjadi
dalam v
i L ( 0 ) iC ( 0 ) C
dv C ( 0 )
dt
dv C ( 0 )
dt
2 10
C
3
2 10
3
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
dv ( 0 )
Kondisi awal: v ( 0 ) 0
dt
Dugaan ta
nggapan
2 10
6
0 , 25 10
: v 0 K 1e
lengkap
3
0 K1 K 2
500 t
8 10
K 2e
3
8000 t
8000 500 K 1 8000 K 2
8000 500 K 1 8000 K 1
K1
Tegangan kapasitor menjadi
8000
K 2 K1 1
1, 06
7500
: v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
Ini adalah pengisian kapasitor oleh arus
induktor pada rangkaian R-L-C seri
Arus induktor
: i L iC C
133 10
dv
0 , 25 10
dt
3 500 t
e
2e
6
530 e
8000 t
mA
500 t
8000 e
8000 t
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
Tanggapan lengkap : v 1, 06 e
500 t
1e
8000 t
V
1
v
[V]
0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
-1
Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naik
karena menerima pelepasan energi dari induktor
Kenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudian
menurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnya
diterima.
Dua Akar Riil Berbeda, Tanggapan Alami
v 16 e
500 t
e
8000 t
v 1, 06 e
V
16
500 t
1e
8000 t
V
1
v [V]
Pelepasan energi induktor
v
12
[V]
v
8
0. 5
0
0
4
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-0. 5
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
-1
-4
Untuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitor
Seandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadi
dengan konstanta waktu
RC 8500 0 . 25 10
6
2125 10
-6
atau 1/ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecil
sehingga 1/ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.
Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/
= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.
Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar
Riil Sama Besar
s1 = s2, {b2 4ac } = 0
Dua Akar Riil Sama Besar
Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagai
s1 s
dan
s 2 s ; dengan 0
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
s1t
K 2e
s2t
st
y p K 1e
Tanggapan paksa
Kondisi awal pertama
K 2e
( s )t
Tanggapan alami
Kondisi awal kedua
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 s K 2 ( s )
y ( 0 ) y p ( 0 ) ( K 1 K 2 ) s K 2 B 0
y (0 ) y p (0 ) K 1 K 2
y ( 0 ) y p ( 0 ) K 1 K 2 A0
A0 s K 2 B 0
K2
B 0 A0 s
dan
K 1 A0
B 0 A0 s
Dua Akar Riil Sama Besar
Tanggapan lengkap menjadi
1 e t st
e
y y p A0 ( B 0 A0 s )
t
1
e t 1
e
t
lim
lim
0
0
y y p A0 ( B 0 A0 s ) t e
y y p K a K b t e
ditentukan oleh kondisi awal
st
st
ditentukan oleh kondisi awal dan s
s sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemen yang membentuk rangkaian dan
tidak ada kaitannya dengan kondisi awal
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Contoh-3.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
4 k
Sakalar telah lama di posisi 1. Pada t
= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukan
perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 4 k dari contoh sebelumnya)
Sebelum saklar dipindahkan: v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
di
Persamaan rangkaian untuk t > 0: v L
iR 0
dt
2
Karena i = iC = C dv/dt
LC
d v
dt
2
RC
dt
Persamaan karakteristik:
2
3
2
4 10
s 4 10 s 4 10
v0
dt
2
d v
dv
3
dv
dt
6
0
4 10 v 0
6
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
Persamaan
2
karakteris tik : s 4000 s 4 10
akar - akar : s1 , s 2 2000
Karena persamaan
maka tanggapan
karakteris tik memiliki
6
0
4 10
6
4 10
6
2000 s
akar sama besar
lengkap akan berbentuk :
v v p K a K b t e
st
0 K a K b t e
st
Tak ada fungsi pemaksa
Kondisi
Kondisi
awal pertama
awal kedua
dv
dt
dv
dt
v ( 0 ) v ( 0 ) v ( 0 ) 15 K a .
(0 ) 0
dv
dt
K be
(0 ) 0 K b K a s
Jadi : v 15 30000 t e
st
K a K bt s e
st
K b K a s 30000
2000 t
V
Dua Akar Riil Sama Besar, Tanggapan Alami
v 15 30000 t e
2000 t
V
15
10
v 30000 t e
2000 t
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
v 15 e
0.002
2000 t
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua akar kompleks konjugat
{b2 4ac } < 0
s1 j
dan
s 2 j
Dua Akar Kompleks Konjugat
Akar-Akar Kompleks Konjugat
s1 j
dan
s 2 j
Tanggapan lengkap akan berbentuk
y y p K 1e
( j ) t
K 2e
( j ) t
y p K 1e
j t
K 1 (cos t j sin t )
K 2e
j t
e
t
K 2 (cos t j sin t )
( K 1 K 2 ) cos t j ( K 1 K 2 ) sin t
K a cos t K b sin t
y y p K a cos t K b sin t e
t
Kondisi awal pertama: y ( 0 ) y p ( 0 ) K a
Kondisi awal kedua:
K a y (0 ) y p (0 )
t
y ( 0 ) y p ( 0 ) {( K b K a ) sin t ( K b K a ) cos t }e
y p ( 0 ) K a K b
K a K b y ( 0 ) y p ( 0 )
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Contoh-4.
1H
S 1 2
+
15 V
+
v
iC
0,25 F
i
1 k
Saklar S sudah lama pada posisi 1.
Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.
Carilah perubahan tegangan kapasitor.
(Diganti dengan 1 k dari contoh sebelumnya)
Pada t = 0+ : v ( 0 ) 15 V ; i ( 0 ) 0
vL
di
iR 0
dt
Persamaan rangkaian untuk t > 0:
2
Karena i = iC = C dv/dt
d v
LC
dt
2
dt
Persamaan karakteristik:
2
2
3
1 10
v0
dt
2
d v
dv
RC
3
s 1 10 s 4 10
dv
4 10 v 0
dt
6
0
6
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Persamaan
karakteris tik : s
2
1000
dv
6
0
2
4 10
4 10
dt
akar - akar : s1 , s 2 500
500
6
500 j 500
15
dua akar kompleks konjugat
j dengan 500 ; 500
15
Tanggapan lengkap akan berbentuk:
v 0 K a cos t K b sin t e
Kondisi
awal pertama
Kondisi
awal kedua
v ( 0 ) 15 K a
dv
dt
(0 ) 0 K a K b
Kb
Tanggapan
t
K a
lengkap : v 15 cos( 500 15 t )
500 15
500
15
15
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
500 t
V
15
15 cos( 500 15 t
v 10
[V]
5
15 sin( 500 15 t )
t
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Dua Akar Kompleks Konjugat, Tanggapan Alami
Perbandingan tanggapan rangkaian:
Dua akar riil berbeda: sangat teredam, v 16 e 500 t e 8000 t V
Dua akar riil sama besar : teredam kritis, v 15 30000 t e 2000 t V
Dua akar kompleks konjugat : kurang teredam,
v 15 cos( 500 15 t )
15 sin( 500 15 t ) e
15
10
5
0
0
-5
-10
-15
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
500 t
V
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Contoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinus
vs =
26cos3t u(t) V
+
i
vs
5
1H
1
F
6
+
v
Rangkaian mendapat masukan
sinyal sinus yang muncul pada t = 0.
Tentukan perubahan tegangan dan
arus kapasitor, apabila kondisi awal
adalahi(0) = 2 A dan v(0) = 6 V
Pada t = 0+ : i(0+) = 2 A dan v(0+) = 6 V
Persamaan rangkaian untuk t > 0 :
v s Ri L
dv
RC
di
dt
2
LC
d i
2
dt
dt
5 dv
1 d v
2
d v
2
v vs
2
6 dt
dt
v0
5
6 dt
dv
dt
2
v 26 cos 3 t
6 v 156 cos 3 t
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
Persamaan
2
karakteris tik : s 5 s 6 0 ( s 2 )( s 3 );
akar - akar : s1 , s 2 2 , 3
Dugaan ta nggapan
paksa : v p A c cos 3 t A s sin 3 t
2
Persamaan rangkaian
d v
dt
2
5
dv
6 v 156 cos 3 t
dt
9 A c 15 A s 6 A c cos 3 t 9 A s 15 A c 6 A s sin 3 t 156 cos 3 t
3 A c 15 A s 156
Ac
Tanggapan
156 0
3 75
dan 15 A c 3 A s 0
2 ; As
5 156 0
75 3
10
paksa : v p 2 cos 3 t 10 sin 3 t
Dugaan tan ggapan lengkap
: v 2 cos 3t 10 sin 3t K 1 e
2t
K 2e
3t
masih harus ditentukan melalui
penerapan kondisi awal
Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus
1 dv
awal : v ( 0 ) 6 dan i ( 0 ) 2
Kondisi
(0 )
dv
6 dt
Aplikasi
kondisi
awal pertama
Aplikasi
kondisi
awal kedua :
K1 6
Tanggapan
i
1 dv
dt
: 6 2 K1 K 2 K 2 8 K1
12 30 2 K 1 3 K 2
K2 2
: v 2 cos 3 t 10 sin 3 t 6 e
lengkap
( 0 ) 12
sin 3 t 5 cos 3 t 2 e
2t
e
3t
2t
2e
3t
V
A
6 dt
30
v [V] 20
i [A]
10
Amplitudo tegangan
menurun
vs
Amplitudo arus
meningkat
v
0
-10 0
-20
-30
t [s]
i
2
4
6
8
10
Courseware
Analisis Transien Rangkaian Orde Ke-Dua
Sudaryatno Sudirham