Transcript matematika rekayasa TL 2105 rofiq iqbal What is it all about? – Mathematical Modelling – Approximation – Numerical method.

matematika rekayasa
TL 2105
rofiq iqbal
What is it all about?
– Mathematical Modelling
– Approximation
– Numerical method
Motivation
• Why do we use approximations?
– They are made up of the simplest functions –
polynomials.  Numerical method
– We can differentiate and integrate them very easily.
– We can use them in cases where we do not know the
actual function!
Why engineering mathematics?
• Persoalan model matematis banyak muncul di
bidang teknik lingkungan
• Model matematis sering muncul dalam bentuk
rumit dan tidak ideal
• Model matematis tidak dapat diselesaikan
dengan metode analitis, yaitu metode
penyelesaian model amtematis dengan rumus2
aljabar yang sudah baku
Metode Analitik
• Metode sejati, memberi solusi sejati (exact
solution), yaitu solusi dengan galat/error = 0
• Hanya unggul untuk persoalan terbatas, yaitu
yang memiliki tafsiran geometrik rendah
• Persoalan di dunia nyata seringkali nonlinier dan
melibatkan bentuk dan proses yang rumit
• Nilai praktis penyelesaian metode analitik
menjadi terbatas
Metode Numerik
• Metode Numerik: Teknik menyelesaikan masalah
matematika dengan pengoperasian hitungan /
aritmetika biasa (tambah, kurang, kali dan bagi).
• Secara harfiah: cara berhitung dengan
menggunakan angka
• Pada umumnya mencakup sejumlah besar kalkulasi
aritmetika yang sangat banyak dan menjenuhkan
• Diselesaikan dengan algoritma (serangkaian
perintah untuk menyelesaikan masalah).
• Karena itu diperlukan bantuan komputer untuk
melaksanakannya
Motivasi
Kenapa diperlukan?
• Pada umumnya permasalahan dalam sains
dan teknologi digambarkan dalam
persamaan matematika
• Persamaan ini sulit diselesaikan dengan
“tangan”  analitis sehingga diperlukan
penyelesaian pendekatan  numerik
Penyelesaian persoalan numerik
• Identifikasi masalah
• Memodelkan masalah ini secara matematis
• Identifikasi metode numerik yang diperlukan
untuk menyelesaikannya
• Implementasi metode ini dalam komputer
• Analisis hasil akhir: implementasi, metode,
model dan masalah
Sumber Kesalahan
• Kesalahan pemodelan
contoh: penggunaan hukum Newton
asumsi benda adalah partikel
• Kesalahan bawaan
contoh: kekeliruan dlm menyalin data
salah membaca skala
• Ketidaktepatan data
• Kesalahan pemotongan (truncation error)
• Kesalahan pembulatan (round-off error)
Kesalahan pemotongan (i)
• Kesalahan yang dihasilkan dari penggunaan
suatu aproksimasi pengganti prosedur
matematika yang eksak
Contoh: approksimasi dengan deret Taylor
n
x
x 2

x
f ( xi 1 )  f ( xi )  f ( xi )
 f ( xi )
   f n ( xi )
 Rn
1!
2!
n!
x  xi 1  xi
Kesalahan:
f ( n 1) ( ) ( n 1)
Rn 
x
(n  1)!
Kesalahan pemotongan (ii)
• Aproksimasi orde ke nol (zero-order appr.)
f ( xi 1 )  f ( xi )
• Aproksimasi orde ke satu (first-order appr.)
f ( xi 1 )  f ( xi )  f ( xi )
x
1!
• Aproksimasi orde ke dua (second-order appr.)
x
x 2
f ( xi 1 )  f ( xi )  f ( xi )
 f ( xi )
1!
2!
• Done.
• Next, reviewing basic knowledge in
mathematics.
• Vector.
vektor
• Ukuran yang dinyatakan dengan dua nilai.
Segmen garis yang punya arah.
– Panjang garis panjang vektor
– Arahnya disebut arah vektor
– Dua vektor adalah sama jika dan hanya jika punya
panjang dan arah yang sama
koordinat kartesian
z
x
r  xˆi  yˆj  zkˆ  xxˆ  yyˆ  zzˆ
y
Vectors
• Magnitude and Direction
• Typically written using unit vectors:
r  xˆi  yˆj  zkˆ  xxˆ  yyˆ  zzˆ
• Unit vector just direction vector:
r  rrˆ
15
r
 rˆ 
r
Length = 1
Vector Notation - 1
Multiplica tion:


X f Y
yi  fxi
Scalar ("inner") product:
 
X  Y  xi yi
Vector ("outer") product:
  
X Y  Z
  
XY  A
aij  xi y j
Dyadic ("tensor") product :
Double dot ("inner") product:
 
A : B  aij b ji
=
.
=
x
=
=
:
=
Vektor

matriks