Transcript Simultaneous Linear Equations Topic: Gauss-Seidel Method 2015/11/6 Gauss-Seidel Method Adalah metode ITERASI Prosedur dasar: - Menyelesaikan tiap persamaan linier secara aljabar untuk xi - Membuat nilai.

Simultaneous Linear Equations
Topic: Gauss-Seidel Method
2015/11/6
1
Gauss-Seidel Method
Adalah metode ITERASI
Prosedur dasar:
- Menyelesaikan tiap persamaan linier secara aljabar untuk xi
- Membuat nilai asumsi solusi
- Selesaikan untuk tiap xi dan ulangi
- Gunakan perkiraan kesalahan relatif tiap akhir iterasi untuk
mengecek apakah error sudah mencapai angka toleransi.
Gauss-Seidel Method
Kenapa?
Untuk mengatasi round-off error (kesalahan pembulatan).
Metode eliminasi seperti Gaussian Elimination and LU
Decomposition(*) rawan terhadap kesalahan pembulatan.
Gauss-Seidel Method
Algorithm
Sistem persamaan linier
a11x1  a12 x2  a13 x3  ...  a1n xn  b1
a21 x1  a22 x2  a23 x3  ... a2n xn  b2
.
.
.
.
.
.
an1x1  an2 x2  an3 x3  ...  ann xn  bn
Kita mengubah sistem
persamaan [A]{X}={B}
untuk menyelesaikan x1
dengan persamaan
pertama, menyelesaikan
x2 dengan persamaan
kedua, dan seterusnya.
Gauss-Seidel Method
Algorithm
General Form of each equation
n
c1   a1 j x j
x1 
j 1
j 1
a11
cn1 
xn1 
n
a
j 1
j  n 1
n 1, j
an1,n1
n
c n   a nj x j
n
c2   a2 j x j
x2 
j 1
j 2
a 22
xj
xn 
j 1
j n
a nn
Menjadi:
Untuk sistem
persamaan 3x3
b1  a12 x2  a13 x3
x1 
a11
b2  a21 x1  a23 x3
x2 
a22
b3  a31 x1  a32 x2
x3 
a33
Now we can start the solution process by
choosing guesses for the x’s. A simple way to
obtain initial guesses is to assume that they are
zero. These zeros can be substituted into
x1equation to calculate a new x1=b1/a11.
Batas akhir iterasi
New x1 is substituted to calculate x2 and x3. The procedure is
repeated until the convergence criterion is satisfied:
a i 
x
baru
i
lama
i
x
baru
i
x
100   diperkenankan
a 
approximation error, sering digunakan, seringkali
disebut sebagai galat absolut.
t 
True error, kurang berarti.  digunakan Relative error,
dalam prosentase
Gauss-Seidel Method: Example 1
Diketahui sistem persamaan
Initial Guess: asumsi nilai awal,
 25 5 1  a1  106.8 
 64 8 1 a   177.2 

  2 

144 12 1  a3  279.2
 a1   1 
a   2
 2  
 a 3  5 
Gauss-Seidel Method: Example 1
Tulis ulang untuk aplikasi
Gauss-Seidel
 25 5 1  a1  106.8 
 64 8 1 a   177.2 

  2 

144 12 1  a3  279.2
106 .8  5a 2  a 3
a1 
25
177 .2  64 a1  a3
a2 
8
279 .2  144 a1  12 a 2
a3 
1
Gauss-Seidel Method: Example 1
Masukkan nilai perkiraan awal untuk selesaikan ai
 a1   1 
a   2
 2  
 a 3  5 
a1 
106 .8  5(2)  (5)
 3.6720
25
177 .2  643.6720   5
a2 
 7.8510
8
Initial Guess
a3 
279 .2  144 3.6720   12 7.8510 
 155 .36
1
Gauss-Seidel Method: Example 1
Finding the absolute relative approximate error
a
i
x inew  x iold

100
new
xi
a 1 
3.6720 1.0000
x100  72.76%
3.6720
a 2 
 7.8510 2.0000
x100  125.47%
 7.8510
a 3 
 155.36  5.0000
x100  103.22%
 155.36
At the end of the first iteration
 a1   3.6720 
a    7.8510
 2 

 a 3    155.36
The maximum absolute
relative approximate error is
125.47%
Gauss-Seidel Method: Example 1
Iteration #2
Using
 a1   3.6720 
a    7.8510
 2 

 a3    155.36
the values of ai are found:
a1 
106 .8  5 7.8510   155 .36
 12.056
25
a2 
177 .2  6412.056   155 .36
 54.882
8
from iteration #1
a3 
279 .2  144 12.056   12 54.882 
 798 .34
1
Gauss-Seidel Method: Example 1
Hitung “the absolute relative approximate error”
a 1 
12.056 3.6720
x100  69.542%
12.056
a 2 
 54.882  7.8510
x100  85.695%
 54.882
a 3 
 798.34   155.36
x100  80.54%
 798.34
Akhir iterasi kedua
 a1   12.056 
a     54.882
 2 

 a3   798.34
Galat absolut terbesar
85.695%
Gauss-Seidel Method: Example 1
Tersukan iterasi, kita dapatkan nilai berikut.
Iteration
1
2
3
4
5
6
a1
3.672
12.056
47.182
193.33
800.53
3322.6
a 1 %
72.767
67.542
74.448
75.595
75.850
75.907
a2
-7.8510
-54.882
-255.51
-1093.4
-4577.2
-19049
a 2 %
125.47
85.695
78.521
76.632
76.112
75.971
! Lho, kok? – Error nya nggak berkurang?
a3
-155.36
-798.34
-3448.9
-14440
-60072
-249580
a 3 %
103.22
80.540
76.852
76.116
75.962
75.931
Gauss-Seidel Method: Pitfall
Salahnya dimana?
Contoh tadi mengilustrasikan kemungkinan kesalahan pada
Gauss-Siedel method: tidak semua sistem persamaan akan
konvergen.
Is there a fix?
One class of system of equations always converges: One with a
diagonally dominant coefficient matrix.
Diagonally dominant: [A] in [A] [X] = [C] is diagonally dominant
if:
n
n
aii   aij
j 1
j i
Untuk semua ‘i’ ;
DAN
a ii   a ij
j 1
j i
Untuk minimal
sebuah ‘i’
Gauss-Seidel Method: Pitfall
Diagonally dominant: Koefisien pada diagonal harus sama atau lebih
besar dari jumlah semua koefisien pada baris itu, dan minimal satu baris
harus memiliki diagonal yang lebih besar dari jumlah koefisien pada
baris itu.
Manakah matriks yang diagonally dominant?
 2 5.81 34
A    45 43 1 
123 16
1 
124 34 56 
[B]   23 53 5 
 96 34 129
Gauss-Seidel Method: Example 2
Sistem persamaan linier
12x1  3x2 - 5x3  1
x1  5x2  3x3  28
3x1  7x2  13x3  76
Matriks Koefisien nya
adalah
12 3  5
A   1 5 3 
 3 7 13 
Dengan asumsi nilai awal
 x1  1 
 x   0 
 2  
 x 3  1 
Akan konvergen kah?
Gauss-Seidel Method: Example 2
Cek apakah matriks nya diagonally dominant
12 3  5
A   1 5 3 
 3 7 13 
a11  12  12  a12  a13  3   5  8
a22  5  5  a21  a23  1  3  4
a33  13  13  a31  a32  3  7  10
Benar. Seharusnya konvergen dengan Gauss-Siedel Method
Gauss-Seidel Method: Example 2
Tulis ulang
Asumsi nilai awal
12 3  5  a1   1 
 1 5 3  a   28

  2  
 3 7 13   a3  76
1  3 x 2  5 x3
x1 
12
28  x1  3x3
x2 
5
76  3 x1  7 x 2
x3 
13
 x1  1 
 x   0 
 2  
 x 3  1 
x1 
x2 
1  30   51
 0.50000
12
28  0.5  31
 4.9000
5
76  30.50000   74.9000 
x3 
 3.0923
13
Gauss-Seidel Method: Example 2
The absolute relative approximate error
0.50000 1.0000
a 1 
100  67.662%
0.50000
a
a
2
3
4.9000 0

100  100.00%
4.9000
3.0923 1.0000

100  67.662%
3.0923
Galat absolut terbesar di akhir iterasi pertama adalah 100%
Gauss-Seidel Method: Example 2
Setelah iterasi #1
 x1  0.5000
 x    4.9000
 2 

 x3   3.0923
Masukkan nilai x pada persamaan
1  34.9000   53.0923 
x1 
 0.14679
12
x2 
28  0.14679   33.0923 
 3.7153
5
x3 
76  30.14679   74.900 
 3.8118
13
Setelah iterasi #2
 x1  0.14679
 x    3.7153 
 2 

 x3   3.8118 
Gauss-Seidel Method: Example 2
Galat absolut dari Iterasi #2
a 1 
0.14679 0.50000
100  240.62%
0.14679
a 2 
3.7153 4.9000
100  31.887%
3.7153
a 3 
3.8118 3.0923
100  18.876%
3.8118
Galat absolut maksimum 240.62%
Lebih besar dari iterasi #1. Is this a problem?
Gauss-Seidel Method: Example 2
Ulangi iterasi, didapatkan…
Iteration
1
2
3
4
5
6
a1
0.50000
0.14679
0.74275
0.94675
0.99177
0.99919
 x1  0.99919
Hasil akhir  x    3.0001 
 2 

 x3   4.0001
a 1
a2
67.662
240.62
80.23
21.547
4.5394
0.74260
4.900
3.7153
3.1644
3.0281
3.0034
3.0001
a
a3
2
100.00
31.887
17.409
4.5012
0.82240
0.11000
3.0923
3.8118
3.9708
3.9971
4.0001
4.0001
a
3
67.662
18.876
4.0042
0.65798
0.07499
0.00000
 x1  1 
Mendekati solusi sejati  x    3 
 2  
 x 3   4 
Latihan
Sistem persamaan linier
3x1  7x2  13x3  76
x1  5x2  3x3  28
12x1  3x2 - 5x3  1
With an initial guess of
 x1  1 
 x   0 
 2  
 x3  1 
Gauss-Seidel Method
The Gauss-Seidel Method can still be used
The coefficient matrix is not
diagonally dominant
But this is the same set of
equations used in example #2,
which did converge.
 3 7 13 
A   1 5 3 
12 3  5
12 3  5
A   1 5 3 
 3 7 13 
If a system of linear equations is not diagonally dominant, check to see if
rearranging the equations can form a diagonally dominant matrix.
Gauss-Seidel Method
Not every system of equations can be rearranged to have a
diagonally dominant coefficient matrix.
Observe the set of equations
x1  x2  x3  3
2 x1  3x2  4 x3  9
x1  7 x2  x3  9
Which equation(s) prevents this set of equation from having a
diagonally dominant coefficient matrix?
Gauss-Seidel Method
Summary
-Advantages of the Gauss-Seidel Method
-Algorithm for the Gauss-Seidel Method
-Pitfalls of the Gauss-Seidel Method
Gauss-Seidel Method
Questions?
Metode Penyelesaian
Metode grafik
Eliminasi Gauss
Metode Gauss – Jourdan
Metode Gauss – Seidel
LU decomposition
LU Decomposition
A=LU
Ax=b LUx=b
Define Ux=y
Ly=b
Solve y by forward substitution
Ux=y
Solve x by backward substitution
LU Decomposition by Gaussian
elimination
There are infinitely many different ways to decompose A.
Most popular one: U=Gaussian eliminated matrix
L=Multipliers used for elimination
 1
m
 2,1
 m3,1
A
 
mn 1,1

 mn ,1
0
0

1
0

m3, 2

1



mn 1, 2
mn 1,3

mn , 2
mn ,3
mn , 4
0 a11(1)
0 0  0
0 0  0

 0  
1   0

 1  0
0
a12(1)
a13(1)

( 2)
a22
0
( 2)
a23
( 3)
a33





0
0
0
0
an( n1) n 1
0
a1(1n) 

a2( 2n) 
a3(3n) 

 
an( n1) n 

(n)
ann 
Compact storage: The diagonal entries of L matrix are all 1’s,
they don’t need to be stored. LU is stored in a single matrix.
NEXT: Solusi persamaan Non Linier
 Persamaan matematis yang sulit diselesaikan
dengan “tangan”  analitis, sehingga
diperlukan penyelesaian pendekatan  numerik
 Metode Numerik: Teknik menyelesaikan
masalah matematika dengan pengoperasian
hitungan, umumnya mencakup sejumlah besar
kalkulasi aritmetika yang sangat banyak dan
menjenuhkan
 Diselesaikan dengan algoritma (serangkaian
perintah untuk menyelesaikan masalah),
sehingga diperlukan bantuan komputer untuk
melaksanakannya
Sumber Galat / Error
 Kesalahan pemodelan
contoh: penggunaan hukum Newton
asumsi benda adalah partikel
 Kesalahan bawaan
contoh: kekeliruan dlm menyalin data
salah membaca skala
 Ketidaktepatan data
 Kesalahan pemotongan / penyederhanaan
persamaan(truncation error)
 Kesalahan pembulatan (round-off error)
Solusi Persamaan Non Linear
1)Metode Akolade (bracketing method)
/ Closed method
• Metode Bagi dua (Bisection Method)
• Metode Regula Falsi (False Position
Method)
• Metode Grafik
Kerugian: relatif lambat konvergen
Keuntungan: selalu konvergen
Solusi Persamaan Non Linear
2) Metode Terbuka
Contoh: • Iterasi Titik-Tetap (Fix Point Iteration)
• Metode Newton-Raphson
• Metode Secant
Keuntungan: cepat konvergen
Kerugian: tidak selalu konvergen