Transcript INVESTIGACIÓN OPERATIVA Curso 2003/2004 ASPECTOS GENERALES DE PROGRAMACION LINEAL Tema 2 PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA 1.

INVESTIGACIÓN OPERATIVA
Curso 2003/2004
ASPECTOS GENERALES DE PROGRAMACION LINEAL
Tema 2 PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA
1. Introducción. Relación con la Programación
Lineal Continua
2. Aplicaciones. Medida de la eficiencia
productiva mediante modelos de análisis
envolvente de datos (DEA).
3. Formulación de problemas de programación
entera y mixta. Aplicaciones.
4. Algoritmos de solución
5. Implementación informática
6. Estudios de casos reales de aplicación
1. Introducción. Programación Lineal Continua
• Objetivos: minimizar o maximizar una función
lineal en la presencia de restricciones lineales
del tipo desigualdad o igualdad.
• Llamamos “vector factible” al conjunto de
valores que satisfacen todas las restricciones.
• Resolución: consiste en encontrar aquel valor
del vector factible que minimiza/maximiza la
función objetivo “solución óptima”.
Formulación del problema
Función objetivo:
Max(Min) Z=c1x1+c2x2+..+cnxn
Restricciones (limitaciones del conjunto de soluciones)
s.a
a11x1+a12x2+..+a1nxn   = b1
a21x1+a22x2+..+a2nxn   = b2
.................................................
am1x1+am2x2+..+ammxn   = bm
Otras restricciones características del tipo de variables
x1,x2,...xn  0
Variables de decisión (incógnitas) xj (j=1,2,....n)
Recursos disponibles (datos) b1,b2,...bm
Coeficientes tecnológicos aij , cj (i=1,2,..,m: j=1,2,....,n)
Ejemplo1
X1 cantidad de producto 1
X2 cantidad de producto 2
Planta
1
2
3
Ganancia
Capacidad usada
Producto 1
Producto 2
1
0
3
0
2
2
3
5
Capacidad
disponible
4
12
18
Lupita está preocupada por su sobrepeso y el costo de la comida diaria,
ella sabe, que para bajar de peso, debe consumir a lo más, 1350
kcalorías, pero requiere de un mínimo de 500 mgr de vitamina A, 350 mgr.
de Calcio, 200 mgr. de proteinas y 150 mgr de minerales. Con los
alimentos de la tabla, formula el PL que resolvería la dieta de Lupita.
ALIMENTO
PORCION
VITAM. A
CALCIO
PROTEINAS
MINERALES
COSTO
KALORIAS
LECHE
1 TAZA
105
75
50
35
$5
60
HUEVO
2 PIEZAS
75
80
50
15
$7
50
ESPINACAS
1 RACION
100
125
78
$2
CHULETAS
2 CHULETS
25
10
55
PESCADO
1 MOJARRA
150
50
100
PASTEL
2 REB.
30
05
08
50
$45
175
$60
150
$50
200
Ejercicio 2
La cadena de restaurantes California,
que trabaja 24 h. al día, ha abierto un
nuevo restaurante en Las Palmas, y por
ello requiere contratar camareros. El
administrador ha dividido las 24 horas en
varios turnos. Si cada camarero trabaja 3
horarios consecutivos, formular el
problema de P.L. que determine el
mínimo número de camareros por
contratar.
Horario
mínimo
camareros
0-3
4
3-6
3
6-9
8
9-12
6
12-15
7
15-18
14
18-21
10
21-24
5
Ejercicio 3
Una empresa determinada tiene disponible un millón de
euros para invertir. El gerente tiene a su cargo, la díficil tarea
de decidir en cuales de los cinco proyectos siguientes desea
invertir:
Si el elegir un
proyecto
implica, pagar el
costo total del
mismo, formular
el modelo P.L.
que defina la
mejor inversión
para
la
empresa.
PROYECTO
COSTO
UTILIDAD
1
500000
325000
2
200000
122000
3
195000
095000
4
303000
111000
5
350000
150000
Métodos de resolución: Método Gráfico
Muy fácil de utilizar pero sólo es aplicable a problemas con dos variables.
Max Z= X1+1.4X2
S.a X1+0.5X26,
0.5X1+X26,
X1+X27
1.4X1+X29
X1,X20
13
12
11
10
9
8
X2_1
7
X2_2
6
X2_3
X2_4
5
4
3
2
1
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Resolver gráficamente el problema de P.L del Ejemplo1:
Max Z=3x1+5x2
s.a.
x14
2x2 12
3x1+2x2 18
x1,x20
Métodos de resolución: Método Simplex
Suposiciones:
1.
El conjunto formado por las restricciones es convexo
2.
La solución siempre ocurre en un punto extremo
3.
Un punto extremo siempre tiene dos puntos adyacentes
Método:
•
Encontrar una solución inicial factible y calcular su valor en la la función
objetivo
•
Examinar un punto extremo adyacente al encontrado en la etapa 1 y calcular el
nuevo valor de Z. Si el Z mejora repetir la etapa 2. Caso contrario examinar
otro punto.
•
Regla de parada: cuando no existe ningún extremo adyacente que mejore la
solución, nos hallamos en el óptimo.
Programación Lineal Entera
De aplicación cuando las variables de decisión han de ser enteras
(número de personal a contratar).
Debemos indicar qué variables ha de tomar valores enteros
El Método Simplex no garantiza un solución factible adecuada al
problema
Algoritmo de Bifurcación y Acotamiento ABA
•
Primeramente aplicamos el M. Simplex para obtener una solución
inicial. Si esta es entera (final)
•
Caso contrario aplicamos ABA: cada iteración de ABA escoge un
variable que presenta solución no entera y divide el problema en
dos sub-problemas añadiendo a cada uno de ellos una nueva
restricción (valor superio/inferior). Cada sub-problema se
resuleve aplicando el M. Simplex
Programación Lineal Binaria
De aplicación cuando las variables de decisión sólo pueden tomar
dos valores Xi (0,1) “Ejercicio 3”
Max Z=325x1+122x2+95x3+11x4+150x5
s.a 500x1+200x2+195x3+303x4+350x51000
Resolución:
Mediante el algoritmo ABA modificado, sujeto a Xi (0,1)
Programación Multiobjetivo
En muchas ocasiones, el decisor se enfrenta a situaciones en
donde existen varios objetivos a maximizar o minimizar:
Ejemplo: Podemos querer maximizar el bienestar de la población
minimizando los costes de implantación de una determinada
política
“El enfoque multiobjetivo busca el conjunto de soluciones
eficientes o pareto óptimas
Max
Z1=2x1-x2+95x3+11x4+150x5
Max
Z2=-x1+5x2
s.a
x1+x28
-x1+x23
x16, x24 , x1,x20
Análisis Envolvente de Datos (DEA)